閉グラフ定理ていり

数学すうがくの分野ぶんやにおける閉グラフ定理ていり（へいグラフていり、英語えいご: closed graph theorem）とは、バナッハ空間くうかんの間あいだの連続れんぞく線形せんけい作用素さようそを作用素さようそのグラフに関かんして特徴付とくちょうづけるような、関数かんすう解析かいせき学がくにおける基本きほん的てきな結果けっかの一ひとつである。

閉グラフ定理ていり

任意にんいの関数かんすう T : X → Y に対たいし、T のグラフを

$\lbrace (x,y)\in X\times Y\mid Tx=y\rbrace$

によって定義ていぎする。もし X が位相いそう空間くうかんで Y がハウスドルフ空間くうかんであるなら、次つぎを示しめすことは容易よういである: もし T が連続れんぞくであるなら、T のグラフは閉である。

もし X と Y がバナッハ空間くうかんで、T が至いたる所ところで定義ていぎされた（すなわち、T の定義ていぎ域いき D(T) が X であるような）線形せんけい作用素さようそであるなら、上うえの記述きじゅつの逆ぎゃくが成立せいりつする。これがすなわち閉グラフ定理ていりである: もし T のグラフが（直積ちょくせき位相いそうを備そなえた）空間くうかん X × Y において閉であるなら、T は閉作用素さようそと呼よばれ、この設定せっていの下したでは、T は連続れんぞくであると結論けつろん付つけることが出来できる。

上うえのような定義ていぎ域いきに関かんする制限せいげんは、閉非ひ有界ゆうかい線形せんけい作用素さようその存在そんざいがあるために必要ひつようとなる。$C([0,1])$ 上うえの微分びぶん作用素さようそが典型てんけい的てきな反例はんれいである。

閉グラフ定理ていりの一般いっぱん的てきな証明しょうめいには開ひらけ写像しゃぞう定理ていりが用もちいられる。実際じっさい、閉グラフ定理ていり、開ひらき写像しゃぞう定理ていりおよび有界ゆうかい逆ぎゃく写像しゃぞう定理ていりはすべて同値どうちである。この同値どうち性せいはまた X および Y がバナッハ空間くうかんであることの必要ひつよう性せいを明示めいじするために役やくに立たつ; 例たとえば、コンパクト・サポートを持もつような連続れんぞく関数かんすうや、あるいは上うえ極限きょくげんノルムを備そなえた有限ゆうげん個この非ひゼロな元もとからなる列れつを用もちいることで、有界ゆうかいな逆ぎゃくを持もつような線形せんけい作用素さようそを構成こうせいすることが出来できる。

閉グラフ定理ていりは次つぎのように書かき換かえることも出来できる。もし T : X → Y がバナッハ空間くうかんの間あいだの線形せんけい作用素さようそなら、次つぎの二ふたつは同値どうちである:

1. X 内うちの任意にんいの点てん列れつ {x_n} に対たいして、もし {x_n} が X においてある元もと x に収束しゅうそくするなら、Y 内うちの点てん列れつ {T(x_n)} も収束しゅうそくし、その極限きょくげんは T(x) となる。
2. X 内うちの任意にんいの点てん列れつ {x_n} に対たいして、もし {x_n} が X においてある元もと x に収束しゅうそくし、{T(x_n)} が Y においてある元もと y に収束しゅうそくするなら、y = T(x) が成立せいりつする。

一般いっぱん化か

閉グラフ定理ていりは、次つぎのようにして、より抽象ちゅうしょう的てきな位相いそうベクトル空間くうかんへと一般いっぱん化か出来できる。

樽たる型がた空間くうかん X からフレシェ空間くうかんへ Y の線形せんけい作用素さようそが連続れんぞくであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、そのグラフが直積ちょくせき位相いそうを備そなえた空間くうかん X×Y において閉であることである。

関連かんれん項目こうもく

• 不連続線ふれんぞくせん型がた写像しゃぞう

参考さんこう文献ぶんけん

• Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6 
• Rudin, Walter (1973), Functional analysis, Tata MacGraw-Hill .
• Proof of closed graph theorem - PlanetMath.org（英語えいご）