閉包へいほう (位相いそう空間くうかん論ろん)

閉包へいほうの例れい

部分ぶぶん集合しゅうごう

A

閉包へいほう

A

数学すうがくにおいて、位相いそう空間くうかんの部分ぶぶん集合しゅうごうの閉包へいほう（へいほう、英えい: closure）は、その部分ぶぶん集合しゅうごうの触さわ点てん（部分ぶぶん集合しゅうごうの点てんとそれらの集積しゅうせき点てん）を全すべて集あつめて得えられる集合しゅうごうである。直観ちょっかん的てきには、部分ぶぶん集合しゅうごうの触さわ点てんとはその部分ぶぶん集合しゅうごうの「いくらでも近ちかく」にある点てんと考かんがえられる。閉包へいほうの概念がいねんは様々さまざまな意味いみで開ひらき核かくの概念がいねんの双対そうついになっている。

定義ていぎ

触さわ点てん

ユークリッド空間くうかんの部分ぶぶん集合しゅうごう S に対たいして、点てん x が S の触さわ点てん（閉包へいほう点てん）(英語えいご: adherent point, closure point, point of closure)であるとは、x を中心ちゅうしんとする任意にんいの開ひらき球体きゅうたいが必かならず S の点てんを少すくなくとも一ひとつ含ふくむときにいう（x が S に属ぞくするときは、所期しょきの点てんとして x 自身じしんを選えらんでよい）。

この定義ていぎは「ユークリッド空間くうかん」の部分ぶぶんを「任意にんいの距離きょり空間くうかん X」に書かき換かえて直ただちに一般いっぱん化かすることができる。きちんと述のべれば、距離きょり d を持もつ距離きょり空間くうかん X に対たいして、X の点てん x が X の部分ぶぶん集合しゅうごう S の触さわ点てんであるとは、各かく r > 0 に対たいして S の適当てきとうな点てん y を選えらべば d(x, y) < r とできるときにいう（やはり y = x ととり得える）。これは、式しきで書かけば x が

d(x, S) := inf{d(x, s) : s ∈ S} = 0

を満みたすことに他たならない。これをさらに「開ひらき球体きゅうたい」の代かわりに「近傍きんぼう」を考かんがえて、一般いっぱんの位相いそう空間くうかんに対たいするものに一般いっぱん化かすることができる。すなわち、位相いそう空間くうかん X の部分ぶぶん集合しゅうごう S に対たいして、X の点てん x が S の触さわ点てんであるとは、x の任意にんいの近傍きんぼうが必かならず S の点てんを少すくなくとも一ひとつ含ふくむときに言いう（この定義ていぎは、近傍きんぼうの定義ていぎにそれが開ひらけであることを含ふくむか否ひかに依よらない）。

集合しゅうごうの閉包へいほう

集合しゅうごう S の閉包へいほうとは、S の触さわ点てん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを言いい、cl(S) や Cl(S) あるいは S や S⁻ などで表あらわす。集合しゅうごうの閉包へいほうは以下いかのような性質せいしつを持もつ。

cl(S) は S を含ふくむ閉集合しゅうごう（閉拡大だい集合しゅうごう）である。
cl(S) は S を含ふくむ閉集合しゅうごう全すべての交まじわりに一致いっちする。
cl(S) は S を含ふくむ最小さいしょうの閉集合しゅうごうである。
集合しゅうごう S が閉であるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは S = cl(S) を満みたすことである。
S が T の部分ぶぶん集合しゅうごうならば cl(S) は cl(T) の部分ぶぶん集合しゅうごうである。
A が閉集合しゅうごうであるならば、A が S を含ふくむことと A が cl(S) を含ふくむこととは同値どうちである。

二に番目ばんめと三さん番目ばんめの性質せいしつはしばしば位相いそう的てきな閉包へいほう（作用素さようそ）の定義ていぎとして用もちいられるもので、また他たの種類しゅるいの閉包へいほう作用さように対たいしても意味いみを持もつ（後述こうじゅつ）。

（距離きょり空間くうかんなどの）第だい一いち可算かさん空間くうかんでは、cl(S) は S 内うちのあらゆる収斂しゅうれん点てん列れつの極限きょくげん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうに一致いっちする。一般いっぱんの位相いそう空間くうかんに対たいしては、「点てん列れつ」を「有向ゆうこう点てん族ぞく」または「フィルター」に置おき換かえたものが成なり立たつ。

双対そうつい性せいにより、上記じょうきの性質せいしつにおいて、「閉包へいほう」・「拡大かくだい集合しゅうごう」・「交叉こうさ」・「含ふくむ」・「最小さいしょう」・「閉」をそれぞれ「内部ないぶ」・「部分ぶぶん集合しゅうごう」・「合併がっぺい」・「含ふくまれる」・「最大さいだいの」・「開ひらく」に置おき換かえたものもやはり成立せいりつする。詳細しょうさいは後述こうじゅつ。

例れい

X が実数じっすう全体ぜんたいの成なす一いち次元じげんユークリッド空間くうかん R のとき、cl((0, 1)) = [0, 1] が成なり立たつ。
X = R のとき、有理数ゆうりすう全体ぜんたいの成なす部分ぶぶん集合しゅうごう Q の閉包へいほうは R 全体ぜんたいに一致いっちする。これを以って Q は R において稠密ちゅうみつであるという。
X をガウス平面へいめん C = R² とすれば cl({z ∈ C : |z| > 1}) = {z ∈ C : |z| ≥ 1} が成なり立たつ。
S がユークリッド空間くうかんの有限ゆうげん部分ぶぶん集合しゅうごうならば cl(S) = S が成なり立たつ。一般いっぱんの位相いそう空間くうかんにおいてこの性質せいしつは T₁-分離ぶんり公理こうりと同値どうちである。

実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう R に通常つうじょうの位相いそうとは異ことなる位相いそうを入いれる場合ばあいには、先さきの例れいとは結果けっかが異ことなりうる。

X = R で R に下しも極限きょくげん位相いそうを入いれるとき、cl((0, 1)) = [0, 1) が成なり立たつ。
R の全すべての部分ぶぶん集合しゅうごうが（開ひらかつ）閉であるような位相いそうを考かんがえれば、cl((0, 1)) = (0, 1) が成なり立たつ。
R 上うえの位相いそうで、空そら集合しゅうごうと R 自身じしんのみが（開ひらかつ）閉となるものを考かんがえれば、cl((0, 1)) = R が成なり立たつ。

これらの例れいから、与あたえられた部分ぶぶん集合しゅうごうの閉包へいほうというのが、その台だいとなる空間くうかんのうえの位相いそうに依存いぞんしていることが諒解りょうかいされる。後こう二に者しゃの例れいはもっと一般いっぱんに

任意にんいの離散りさん空間くうかんでは、任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうが（開ひらかつ）閉であるから、任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうはその閉包へいほうに一致いっちする。
任意にんいの密着みっちゃく空間くうかん X では、（開ひらかつ）閉集合しゅうごうは空そら集合しゅうごうと X 自身じしんのみであるから、空そら集合しゅうごうの閉包へいほうは空そら集合しゅうごうであり、空そらでない任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごう A に対たいしては cl(A) = X が成なり立たつ。すなわち、密着みっちゃく空間くうかんの任意にんいの空そらでない部分ぶぶん集合しゅうごうは稠密ちゅうみつ部分ぶぶん集合しゅうごうである。

という形かたちで述のべることができる。

集合しゅうごうの閉包へいほうは、どの空間くうかんで閉包へいほうにとるかによっても変かわってくる。例たとえば、X を有理数ゆうりすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう Q に（ユークリッド空間くうかん R から誘導ゆうどうされる部分ぶぶん空間くうかんとしての）通常つうじょうの位相いそうを入いれたものとし、S = {q ∈ Q : q² > 2} とすれば、S は Q において閉であり S の Q における閉包へいほうは S 自身じしんに一致いっちするが、S のユークリッド空間くうかん R における閉包へいほうは ${\sqrt {2}}$ 以上いじょうの実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうになる。

性質せいしつ

集合しゅうごう S が閉集合しゅうごうであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは Cl(S) = S を満みたすことである。特とくに、空そら集合しゅうごうの閉包へいほうは空そら集合しゅうごう（Cl(∅) = ∅）であり、全体ぜんたい集合しゅうごう X の閉包へいほうは X に一致いっちする（Cl(X) = X）。

集合しゅうごう族ぞくの交まじわりの閉包へいほうは、各かく集合しゅうごうの閉包へいほうの族ぞくの交まじわりに必かならず含ふくまれる（が、必かならずしも一致いっちしない）。また、有限ゆうげん個この集合しゅうごうの合併がっぺいについては、合併がっぺいの閉包へいほうと（各かく集合しゅうごうの）閉包へいほうの合併がっぺいとは一致いっちする。零れい個この集合しゅうごうの合併がっぺいは空そら集合しゅうごうとする規約きやくの下もとで、最初さいしょの空そら集合しゅうごうの閉包へいほうについての主張しゅちょうはこれに含ふくまれると考かんがえることができる。無限むげん個この合併がっぺいでは、等号とうごうが必かならずしも成なり立たつわけではないが、合併がっぺいの閉包へいほうは必かならず閉包へいほうの合併がっぺいを含ふくむ。式しきで書かけば

{\begin{aligned}{\overline {A\cap B}}&\subset {\bar {A}}\cap {\bar {B}},&{\overline {\bigcap _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }}}&\subset \bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\bar {S}}_{\lambda },\\{\overline {A\cup B}}&={\bar {A}}\cup {\bar {B}},&{\overline {\bigcup _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }}}&\supset \bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\bar {S}}_{\lambda }\end{aligned}}

などのように表あらわせる。

A を位相いそう空間くうかん X の S を含ふくむ部分ぶぶん空間くうかんとするとき、S の A における閉包へいほうは、S の X における閉包へいほうと A との交まじわりに等ひとしい。すなわち

{\text{Cl}}_{A}(S)=A\cap {\text{Cl}}_{X}(S)

が成なり立たつ。特とくに S が A において稠密ちゅうみつとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、A が Cl_X(S) の部分ぶぶん集合しゅうごうとなることである。

閉包へいほう作用素さようそ

詳細しょうさいは「閉包へいほう作用素さようそ」を参照さんしょう

閉包へいほう作用素さようそ ⁻ は

{\bar {S}}=X\smallsetminus (X\smallsetminus S)^{\circ }

および

S^{\circ }=X\smallsetminus {\overline {X\smallsetminus S}}

が成なり立たつという意味いみで、開ひらき核かく作用素さようそ ^o の双対そうついである。ただし、X は S を含ふくむ位相いそう空間くうかんとし、逆ぎゃく斜線しゃせんは集合しゅうごう論ろん的てき差さを表あらわすものとする。

従したがって、閉包へいほう作用さようその抽象ちゅうしょう論ろんおよびクラトフスキーの閉包へいほう公理こうりは、集合しゅうごうとその補ほ集合しゅうごうとを入いれ替かえる操作そうさで、直ただちに開ひらけ核かく作用素さようそについてのものに翻訳ほんやくすることができる。

圏けん論ろん的てきな解釈かいしゃく

閉包へいほう作用素さようそは、以下いかのように普遍ふへん射しゃを用もちいるとすっきりと定義ていぎすることができる。

集合しゅうごう X の冪べき集合しゅうごうは半はん順序じゅんじょ集合しゅうごうとして、X の部分ぶぶん集合しゅうごうを対象たいしょうとし、包含ほうがん写像しゃぞうを射いとする圏けん P と看做みなすことができる。さらに X 上うえの位相いそう T は P の部分ぶぶん圏けんであり、包含ほうがん函はこ手しゅ I: T → P を考かんがえることができる。X の部分ぶぶん集合しゅうごう A を固定こていして、A を含ふくむ X の閉集合しゅうごう全体ぜんたいのなす集合しゅうごう族ぞくをコンマ圏けん (A ↓ I) と同一どういつ視しすれば、この（半はん順序じゅんじょ集合しゅうごうでもある）圏けんは始はじめ対象たいしょうとして Cl(A) を持もつ。ゆえに、A から I への普遍ふへん射しゃが存在そんざいし、それは包含ほうがん射しゃ A → Cl(A) で与あたえられる。

同様どうように、X ∖ A を含ふくむ任意にんいの閉集合しゅうごうは A に含ふくまれる開ひらき集合しゅうごうと対応たいおうするから、コンマ圏けん (I ↓ X ∖ A) を A に含ふくまれる開ひらき集合しゅうごう全体ぜんたいのなす集合しゅうごうと解釈かいしゃくすることができて、A の内部ないぶ Int(A) がその終おわり対象たいしょうを与あたえる。

閉包へいほう作用素さようその持もつ性質せいしつは全すべてこの定義ていぎ（と上記じょうきの圏けんのいくつかの性質せいしつ）から導みちびくことができる。さらにこの定義ていぎが普遍ふへん射しゃとして述のべられていることにより、やはり普遍ふへん射しゃとして記述きじゅつされる他ほかの種類しゅるいの閉包へいほう（たとえば代数だいすう閉包へいほう）などと位相いそう的てきな閉包へいほうとの間あいだの類似るいじ対応たいおうが明確めいかくになるという利点りてんがある。

参考さんこう文献ぶんけん

John L. Kelley; General Topology; ISBN 0-387-90125-6, 日本語にほんご訳やく: 児玉こだま之宏ゆきひろ訳やく『位相いそう空間くうかん論ろん』吉岡よしおか書店しょてん〈数学すうがく叢書そうしょ〉、1968年ねん。
松坂まつさか和夫かずお『集合しゅうごう・位相いそう入門にゅうもん』岩波書店いわなみしょてん、1968年ねん。ISBN 4-00-005424-4。

外部がいぶリンク

Rowland, Todd. "Topological Closure". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
closure - PlanetMath.（英語えいご）