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数学 すうがく の一 いち 分野 ぶんや である函数 かんすう 解析 かいせき 学 がく において、ベクトル空間 くうかん の部分 ぶぶん 集合 しゅうごう の代数 だいすう 的 てき 内部 ないぶ (だいすうてきないぶ、英 えい : algebraic interior )あるいは動 どう 径 みち 核 かく (radial kernel)は、集合 しゅうごう の内部 ないぶ を細緻 さいち 化 か する概念 がいねん である。与 あた えられた集合 しゅうごう の代数 だいすう 的 てき 内部 ないぶ とは、その集合 しゅうごう に属 ぞく する点 てん であって、その点 てん を原点 げんてん としてもとの集合 しゅうごう が併呑 へいどん となるような点 てん 、すなわちその集合 しゅうごう の動 どう 径 みち 点 てん (英語 えいご 版 ばん ) [1] の全体 ぜんたい である。代数 だいすう 的 てき 内部 ないぶ の元 もと は、しばしば(代数 だいすう 的 てき )内 うち 点 てん (internal points)と呼 よ ばれる[2] [3] 。
具体 ぐたい 的 てき に、
X
{\displaystyle X}
が線型 せんけい 空間 くうかん であるとき、
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
の代数 だいすう 的 てき 内部 ないぶ は次 つぎ で定義 ていぎ される。
core
(
A
)
:=
{
x
0
∈
A
:
∀
x
∈
X
,
∃
t
x
>
0
,
∀
t
∈
[
0
,
t
x
]
,
x
0
+
t
x
∈
A
}
.
{\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\,\exists t_{x}>0,\,\forall t\in [0,t_{x}],\,x_{0}+tx\in A\right\}.}
[4]
一般 いっぱん に
core
(
A
)
≠
core
(
core
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}
であることに注意 ちゅうい されたい。しかし
A
{\displaystyle A}
が凸 とつ 集合 しゅうごう であるなら、
core
(
A
)
=
core
(
core
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}
である。また
A
{\displaystyle A}
が凸 とつ 集合 しゅうごう であるときは、
x
0
∈
core
(
A
)
,
y
∈
A
,
0
<
λ らむだ
≤
1
{\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1}
に対 たい して
λ らむだ
x
0
+
(
1
−
λ らむだ
)
y
∈
core
(
A
)
{\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)}
が成立 せいりつ する。
A
⊂
R
2
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}
が
A
=
{
x
∈
R
2
:
x
2
≥
x
1
2
or
x
2
≤
0
}
{\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}}
で与 あた えられるなら、
0
∈
core
(
A
)
{\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}
である。しかし、
0
∉
int
(
A
)
{\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}
および
0
∉
core
(
core
(
A
)
)
{\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}
である。
A
,
B
⊂
X
{\displaystyle A,B\subset X}
であるなら、次 つぎ が成 な り立 た つ。
A
{\displaystyle A}
が併呑 へいどん 集合 しゅうごう であるための必要 ひつよう 十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん は、
0
∈
core
(
A
)
{\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}
である[1] 。
A
+
core
B
⊂
core
(
A
+
B
)
{\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)}
[5]
B
=
core
B
{\displaystyle B=\operatorname {core} B}
[5] であるなら、
A
+
core
B
=
core
(
A
+
B
)
{\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}
である[5] 。
X
{\displaystyle X}
を線型 せんけい 位相 いそう 空間 くうかん とし、
int
{\displaystyle \operatorname {int} }
を内部 ないぶ 作用素 さようそ とし、
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X}
とする。このとき次 つぎ が成 な り立 た つ:
int
A
⊆
core
A
{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}
A
{\displaystyle A}
が空 そら でない凸 とつ 集合 しゅうごう で、
X
{\displaystyle X}
が有限 ゆうげん 次元 じげん であるなら、
int
A
=
core
A
{\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}
である[2] 。
A
{\displaystyle A}
が凸 とつ 集合 しゅうごう で、その内部 ないぶ が空 そら でないなら、
int
A
=
core
A
{\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}
である[6] 。
A
{\displaystyle A}
が閉凸集合 しゅうごう で、
X
{\displaystyle X}
が完備 かんび 距離 きょり 空間 くうかん であるなら、
int
A
=
core
A
{\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}
である[7] 。
^ a b Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and (
μ みゅー
,
ρ ろー
{\displaystyle \mu ,\rho }
)-Portfolio Optimization .
^ a b Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. pp. 199–200. doi :10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0
^ John Cook (May 21, 1988). “Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces ” (pdf). May 26, 2015 閲覧 えつらん 。
^ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis . Springer. ISBN 978-3-540-50584-6
^ a b c Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces . River Edge, NJ,: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1 . MR 1921556
^ Shmuel Kantorovitz (2003). Introduction to Modern Analysis . Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568
^ Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems , Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057 , https://books.google.co.jp/books?id=ET70F9HgIpIC&pg=PA56&redir_esc=y&hl=ja .