正規せいき作用素さようそ

数学すうがくの特とくに函数かんすう解析かいせき学がくにおける正規せいき作用素さようそ（せいきさようそ、英えい: normal operator）は、複素ふくそヒルベルト空間くうかん H 上うえの連続れんぞく線型せんけい作用素さようそ $N : H \to H$ でエルミート随伴ずいはん $N *$ を持もち、 $NN * = N * N$ を満みたすものを言いう^[1]。

正規せいき作用素さようそが重要じゅうようであるのは、それに対たいするスペクトル定理ていりが成なり立たつからである。今日きょうでは正規せいき作用素さようそのクラスはよく分わかっている。正規せいき作用さようの例れいとしては

ユニタリ作用素さようそ: $N * = N -1$
エルミート作用素さようそ（自己じこ随伴ずいはん作用素さようそ）: $N * = N$ ;（あるいは反はん自己じこ随伴ずいはん作用素さようそ: $N * = - N$ ）
正せい作用素さようそ（英語えいご版ばん）: $N = MM *$ ( $\exists M : H \to H$ は有界ゆうかい)
正規せいき行列ぎょうれつは考かんがえるヒルベルト空間くうかんが $C n$ のときの正規せいき作用素さようそと考かんがえられる。

性質せいしつ[編集へんしゅう]

正規せいき作用素さようそはそのスペクトル定理ていりによって特徴とくちょうづけられる。コンパクト正規せいき作用素さようそ（特とくに有限ゆうげん次元じげん線型せんけい空間くうかん上じょうの正規せいき作用素さようそ）はユニタリ対たい角かく化か可能かのうである^[2]。

有界ゆうかい作用素さようそ $T$ に対たいして以下いかの条件じょうけん

$T$ は正規せいき。
$T *$ は正規せいき。
任意にんいの $x$ に対たいして $ǁ Tx ǁ = ǁ T * x ǁ$ が成なり立たつ。
$T$ の自己じこ随伴ずいはん成分せいぶん $T 1$ と反はん自己じこ随伴ずいはん成分せいぶん $iT 2$ とが可か換かわ^[3]。

は何いずれも同値どうちである。三みっつ目めは等式とうしきを自乗じじょうして $ǁ Tx ǁ 2 = ⟨ T * Tx, x ⟩ = ⟨ TT * x, x ⟩ = ǁ T * x ǁ 2$ の形かたちに見みれば、四よっつ目めは各かく成分せいぶんが $T 1 = (T * + T)/2, T 2 = (T * - T) i /2$ で与あたえられるから、それぞれ正規せいき性せいとの同値どうち性せいはあきらかである。

$N$ が正規せいき作用素さようそならば、 $N$ と $N *$ はその像ぞうと核かくが等ひとしい。ゆえに、 $N$ の像ぞうが稠密ちゅうみつとなる必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは $N$ が単たん射いとなることである。別べつなやり方かたをすれば、正規せいき作用素さようその核かくはその像ぞうの直交ちょっこう補ほ空間くうかんである。従したがって、任意にんいの正せい整数せいすう $k$ に対たいして作用素さようそ $N k$ の核かくは $N$ 自身じしんの核かくと等ひとしく、正規せいき作用素さようその任意にんいの広義こうぎ固有値こゆうちは通常つうじょうの固有値こゆうちである。 $λ らむだ$ が正規せいき作用素さようそ $N$ の固有値こゆうちであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、その複素ふくそ共軛きょうやく $λ らむだ$ が $N *$ の固有値こゆうちとなることである。正規せいき作用素さようその相そう異ことなる固有値こゆうちに属ぞくする固有こゆうベクトルは互たがいに直交ちょっこうし、正規せいき作用素さようそはその固有こゆう空間くうかんの直交ちょっこう補ほ空間くうかんを不変ふへんにする^[4]。このことから通常つうじょうのスペクトル定理ていり「有限ゆうげん次元じげん空間くうかん上じょうの任意にんいの正規せいき作用素さようそはユニタリ作用素さようそによって対たい角かく化か可能かのうである」が出でる。これは無限むげん次元じげんの場合ばあいにも、射影しゃえい値ち測度そくど（英語えいご版ばん）を用もちいて一般いっぱん化かできる。正規せいき作用素さようその剰余じょうよスペクトルは空そらである^[4]。

互たがいに可か換かわな正規せいき作用素さようその積せきはやはり正規せいきとなるが、これは自明じめいではなくフーグリードの定理ていり（英語えいご版ばん）から従したがう。フーグリードの定理ていり（のパットナムが拡張かくちょうした形かたち）は

定理ていり (Fuglede–Putnam): 二ふたつの正規せいき作用素さようそ $N 1, N 2$ に対たいし、有界ゆうかい作用素さようそ $A$ で $N 1 A = AN 2$ を満みたすものが存在そんざいすれば $N 1 * A = AN 2 *$ が成立せいりつする。

正規せいき作用素さようその作用素さようそノルムは、その数かず域いき半径はんけい（英語えいご版ばん）およびスペクトル半径はんけいに等ひとしい。

正規せいき作用素さようそはそのアルスゲ変換へんかん（英語えいご版ばん）と一致いっちする。

有限ゆうげん次元じげんの場合ばあいの性質せいしつ[編集へんしゅう]

「正規せいき行列ぎょうれつ」も参照さんしょう

有限ゆうげん次元じげんの実じつまたは複素ふくそヒルベルト空間くうかん（内積ないせき空間くうかん） $H$ 上うえの正規せいき作用素さようそ $T$ が部分ぶぶん空間くうかん $V$ を保たもつならば、 $T$ はその直交ちょっこう補ほ空間くうかん $V ⊥$ も保たもつ（この主張しゅちょうは $T$ が自己じこ随伴ずいはんならば自明じめいである）。

[証明しょうめい]. $P V$ を $V$ の上うえへの直交ちょっこう射影しゃえいとすれば $V ⊥$ の上うえへの直交ちょっこう射影しゃえいは $1 H - P V$ である。 $T$ が $V$ を保たもつことは $(1 H - P V) TP V = 0$ または $TP V = P V TP V$ で表あらわされるという事実じじつを用もちいれば、目的もくてきは $X ≔ P V T (1 H - P V) = 0$ を示しめすことにい換いかえられる。 $(A, B) \mapsto tr(AB *)$ が $H$ の自己じこ準じゅん同型どうけい全体ぜんたいの成なすベクトル空間くうかん上じょうの内積ないせきとなることから、 $tr(XX *) = 0$ を示しめせば十分じゅうぶんである。そこでまずは XX^∗ を直交ちょっこう射影しゃえいで書かきなおせば

XX^{*}=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}

となるから、ここでトレースと直交ちょっこう射影しゃえいの性質せいしつに従したがって計算けいさんすれば

{\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))=0\end{aligned}}

を得える。

同おなじ論法ろんぽうが、無限むげん次元じげんヒルベルト空間くうかんのコンパクト正規せいき作用素さようそに対たいしても、ヒルベルト・シュミット内積ないせき（英語えいご版ばん）を用もちいて通用つうようする^[5]。しかし、一般いっぱんの有界ゆうかい正規せいき作用素さようそに対たいしては、不変ふへん部分ぶぶん空間くうかんの直交ちょっこう補ほ空間くうかんで不変ふへんとならないものが存在そんざいし得うる^[6]。これはつまり、そのような部分ぶぶん空間くうかんは固有こゆうベクトルで張はることはできないということを意味いみする。例たとえば両側りょうがわシフト作用素さようそ（英語えいご版ばん）を考かんがえれば、これは固有値こゆうちを持もたない。両側りょうがわシフト作用素さようその不変ふへん部分ぶぶん空間くうかんはバーリングの定理ていり（英語えいご版ばん）によって特徴とくちょうづけられる。

対たい合ごう環たまきの正規せいき元もと[編集へんしゅう]

正規せいき作用素さようその概念がいねんは対たい合ごう線型せんけい環たまきへの一般いっぱん化かされる。つまり、対たい合ごう線型せんけい環たまきの元もと $x$ が正規せいきであるとは、 $xx * = x * x$ を満みたすときに言いう。最もっとも重要じゅうような場合ばあいは、対たい合ごう線型せんけい環たまきが $C *$ -線型せんけい環たまきであるときである。正せい元もと（英語えいご版ばん）は正規せいき元もとの例れいである。

非ひ有界ゆうかい正規せいき作用素さようそ[編集へんしゅう]

有界ゆうかい作用素さようその定義ていぎは、ある種しゅの非ひ有界ゆうかい作用素さようそのクラスに対たいしては自然しぜんに一般いっぱん化かされる。具体ぐたい的てきには、閉作用素さようそ $N$ が正規せいきであることを

N^{*}N=NN^{*}

で定さだめる。ここで随伴ずいはん $N *$ の存在そんざい性せいは $N$ の定義ていぎ域いきが稠密ちゅうみつであることを、等号とうごうは $N * N$ の定義ていぎ域いきが $NN *$ の定義ていぎ域いきと等ひとしいことをそれぞれ含意がんいするが、この場合ばあい一般いっぱんには必要ひつようでない。

非ひ有界ゆうかい正規せいき作用素さようそに対たいしてもスペクトル定理ていりはやはり成なり立たつが、ふつうは別べつに証明しょうめいが必要ひつようである。

一般いっぱん化か[編集へんしゅう]

正規せいき作用素さようそ論ろんの成功せいこうは、その可か換かわ性せい条件じょうけんを緩ゆるめた様々さまざまな一般いっぱん化かへの呼よび水みずとなった。そのような正規せいき作用素さようそを含ふくむ作用素さようそのクラスには

などがある（上記じょうきは、後ごのものが前まえのものを含ふくむより広ひろいクラスとなるような順番じゅんばんで並ならべてある）。

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

^ Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 312
^ Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 317
^ これに対たいして、場ばの量子りょうし論ろんなどで重要じゅうようなクラスである生成せいせい演算えんざん子こと消滅しょうめつ演算えんざん子こは非ひ可か換かわである。
^ ^a ^b Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3
^ Andô, Tsuyoshi (1963). “Note on invariant subspaces of a compact normal operator”. Archiv der Mathematik 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964.
^ Garrett, Paul (2005年ねん). “Operators on Hilbert spaces”. 2014年ねん2月がつ19日にち閲覧えつらん。

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Hoffman, Kenneth and Kunze, Ray. Linear Algebra. Second Edition. 1971. Prentice-Hall, Inc.

[1] Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 312

[2] Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 317

[3] これに対たいして、場ばの量子りょうし論ろんなどで重要じゅうようなクラスである生成せいせい演算えんざん子こと消滅しょうめつ演算えんざん子こは非ひ可か換かわである。

[Naylor-4] Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3

[5] Andô, Tsuyoshi (1963). “Note on invariant subspaces of a compact normal operator”. Archiv der Mathematik 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964.

[Garrett-6] Garrett, Paul (2005年ねん). “Operators on Hilbert spaces”. 2014年ねん2月がつ19日にち閲覧えつらん。

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