スペクトル定理ていり

数学すうがくの、特とくに線型せんけい代数だいすう学がくや函数かんすう解析かいせき学がくの分野ぶんやにおいて、スペクトル定理ていり（スペクトルていり、英えい: spectral theorem）とは、線型せんけい作用素さようそあるいは行列ぎょうれつに関かんする多おおくの結果けっかである。大雑把おおざっぱに言いうと、スペクトル定理ていりは、作用素さようそあるいは行列ぎょうれつが対たい角かく化か可能かのう（すなわち、ある基底きていにおいて対たい角かく行列ぎょうれつとして表現ひょうげん可能かのう）となる条件じょうけんを与あたえるものである。この対たい角かく化かの概念がいねんは、有限ゆうげん次元じげん空間くうかん上じょうの作用素さようそについては比較的ひかくてき直ただちに従したがうものであるが、無限むげん次元じげん空間くうかん上じょうの作用素さようそについてはいくつかの修正しゅうせいが必要ひつようとなる。一般いっぱんにスペクトル定理ていりは、乗算じょうざん作用素さようそによって出来できる限かぎり簡単かんたんにモデル化かされる線型せんけい作用素さようそのクラスを明あきらかにするものである。より抽象ちゅうしょう的てきに、スペクトル定理ていりは可か換かわなC*-環たまきに関かんして述のべたものである。その歴史れきし的てき観点かんてんについては、スペクトル理論りろんを参照さんしょうされたい。

スペクトル定理ていりが適用てきようできる作用素さようその例れいとして、自己じこ共役きょうやく作用素さようそや、より一般いっぱんのヒルベルト空間くうかん上うえの正規せいき作用素さようそなどがある。

スペクトル定理ていりはまた、スペクトル分解ぶんかい（spectral decomposition）や固有値こゆうち分解ぶんかい（eigendecomposition）と呼よばれるような、作用素さようその定義ていぎされるベクトル空間くうかんの正せい準じゅん分解ぶんかいを与あたえるものである。

オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、自己じこ随伴ずいはん行列ぎょうれつに関かんするスペクトル定理ていりを証明しょうめいした。すなわち、すべての実じつ対称たいしょう行列ぎょうれつは対たい角かく化か可能かのうであることを証明しょうめいした。その定理ていりのジョン・フォン・ノイマンによる一般いっぱん化かは、今日きょうの作用素さようそ論ろんにおけるもっとも重要じゅうような結果けっかとなっている。またコーシーは、行列ぎょうれつ式しきに関かんする系統的けいとうてきな理論りろんを構築こうちくした第一人者だいいちにんしゃである。

この記事きじでは主おもに、ヒルベルト空間くうかん上じょうの自己じこ共役きょうやく作用素さようそに関かんする、最もっとも簡単かんたんな種類しゅるいのスペクトル定理ていりについて述のべる。しかし、上記じょうきのように、スペクトル定理ていりはヒルベルト空間くうかん上じょうの正規せいき作用素さようそについても成立せいりつするものである。

有限ゆうげん次元じげんの場合ばあい

エルミート写像しゃぞうとエルミート行列ぎょうれつ

初はじめに Cⁿ あるいは Rⁿ 上うえのエルミート行列ぎょうれつを考かんがえる。より一般いっぱんに、ある正せい定値ていちエルミート内積ないせきを備そなえる有限ゆうげん次元じげんの実みあるいは複素ふくそ内積ないせき空間くうかん V 上うえのエルミート作用素さようそを考かんがえる。エルミート条件じょうけんとは

$(\forall x,y\in V):\langle Ax,\,y\rangle =\langle x,\,Ay\rangle$

のことを言いう。これと同値どうちな条件じょうけんとして、A* = A がある。ただし A* は A のエルミート共役きょうやくである。A があるエルミート行列ぎょうれつと見みなされるとき、A* の行列ぎょうれつはその共役きょうやく転置てんちと見みなされる。A が実じつ行列ぎょうれつであるなら、このことは A^T = A と同値どうちである（すなわち、A は対称たいしょう行列ぎょうれつ）。

この条件じょうけんより容易よういに、エルミート写像しゃぞうのすべての固有値こゆうちは実数じっすうであることが分わかる。実際じっさい、x = y が固有こゆうベクトルの場合ばあいに条件じょうけんを適用てきようすればよい（ここである線型せんけい写像しゃぞう A の固有こゆうベクトルとは、あるスカラー λらむだ に対たいして Ax = λらむだx を満みたすような（非ひゼロの）ベクトル x であったことに注意ちゅういされたい。そのような値ね λらむだ は対応たいおうする固有値こゆうちであり、それらは特性とくせい多項式たこうしきの解かいである）。

定理ていり： A の固有こゆうベクトルで構成こうせいされる V のある正規せいき直交ちょっこう基底きていが存在そんざいする。なおかつ A の固有値こゆうちはすべて実数じっすうである。

以下いかでは、考かんがえているスカラー体たいが複素数ふくそすうである場合ばあいの証明しょうめいの概略がいりゃくを紹介しょうかいする。

代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりを A の特性とくせい多項式たこうしきに適用てきようすることで、少すくなくとも一ひとつの固有値こゆうち λらむだ₁ と対応たいおうする固有こゆうベクトル e₁ が存在そんざいすることが分わかる。このとき

$\lambda _{1}\langle e_{1},e_{1}\rangle =\langle A(e_{1}),e_{1}\rangle =\langle e_{1},A(e_{1})\rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\langle e_{1},e_{1}\rangle$

が成立せいりつするので、そのような λらむだ₁ は実数じっすうであることが分わかる。今いま、e₁ の直交ちょっこう補ほ空間くうかん K = span{e₁}^⊥ を考かんがえる。エルミート性せいにより、K は A の不変ふへん部分ぶぶん空間くうかんである。K に対たいしても上述じょうじゅつと同様どうようの議論ぎろんを行おこなうことで、A はある固有こゆうベクトル e₂ ∈ K を持もつことが分わかる。あとは帰納的きのうてきにこの操作そうさを有限ゆうげん回かい繰くり返かえすことで、証明しょうめいは完成かんせいされる。

スペクトル定理ていりはまた、有限ゆうげん次元じげんの実じつ内積ないせき空間くうかんの上うえの対称たいしょう写像しゃぞうに対たいしても成立せいりつする。しかしその場合ばあい、固有こゆうベクトルの存在そんざいは代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりからは直ただちに従したがわない。その存在そんざいを証明しょうめいする最もっとも簡単かんたんな方法ほうほうとして、A をエルミート行列ぎょうれつと考かんがえ、エルミート行列ぎょうれつのすべての固有値こゆうちは実数じっすうであるという事実じじつを利用りようするものがある。

A の固有こゆうベクトルを正規せいき直交ちょっこう基底きていとして選えらぶと、その基底きていのもとで A は対たい角かく行列ぎょうれつとして表現ひょうげんされる。または同値どうちであるが、A はスペクトル分解ぶんかい（spectral decomposition）と呼よばれるペアとなる直交ちょっこう射影しゃえいの線型せんけい結合けつごうとして表現ひょうげんされる。今いま

$V_{\lambda }=\{\,v\in V:Av=\lambda v\,\}$

を固有値こゆうち λらむだ に対応たいおうする固有こゆう空間くうかんとする。この定義ていぎは特定とくていの固有こゆうベクトルの選えらび方かたに依よらないことに注意ちゅういされたい。V は、その添そえ字じが固有値こゆうち全体ぜんたいであるような空間くうかん V_λらむだ の直交ちょっこう直和なおかずである。P_λらむだ を V_λらむだ の上うえへの直交ちょっこう射影しゃえいとし、λらむだ₁, ..., λらむだ_m を A の固有値こゆうちとすることで、そのスペクトル分解ぶんかいは次つぎのように記述きじゅつされる。

$A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}.\,$

スペクトル分解ぶんかいは、シュール分解ぶんかいおよび特異とくい値ち分解ぶんかいの特殊とくしゅ例れいである。

正規せいき行列ぎょうれつ

詳細しょうさいは「正規せいき行列ぎょうれつ」を参照さんしょう

スペクトル定理ていりは、より一般いっぱんの行列ぎょうれつのクラスに対たいしても拡張かくちょうできる。A をある有限ゆうげん次元じげん内積ないせき空間くうかんの上うえの作用素さようそとする。A が正規せいきであるとは、A^* A = A A^* が成立せいりつすることを言いう。A が正規せいきであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それがユニタリ対たい角かく化か可能かのうであることである。すなわち、シュール分解ぶんかいによって A = U T U^* が得えられる。ここで U はユニタリで、T は上うえ三さん角かくである。A は正規せいきであるので、T T^* = T^* T が成なり立たつ。したがって、正規せいきな上うえ三角さんかく行列ぎょうれつは対たい角かく行列ぎょうれつであることより、T は対たい角かく行列ぎょうれつである。この逆ぎゃくは自明じめいである。

い換いかえると、A が正規せいきであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、次つぎを満みたすようなユニタリ行列ぎょうれつ U が存在そんざいすることである。

$A=UDU^{*}\;$

ここで D は対たい角かく行列ぎょうれつである。このとき、D の対たい角かく成分せいぶんは A の固有値こゆうちとなる。また U の各かく列れつベクトルは A の固有こゆうベクトルで、それらは正規せいき直交ちょっこう系けいをなす。エルミートの場合ばあいとは異ことなり、D の成分せいぶんは必かならずしも実数じっすうでなくてもよい。

コンパクトな自己じこ共役きょうやく作用素さようそ

詳細しょうさいは「ヒルベルト空間くうかん上じょうのコンパクト作用素さようそ」を参照さんしょう

一般いっぱんにヒルベルト空間くうかんにおいて、コンパクトな自己じこ共役きょうやく作用素さようそに対たいするスペクトル定理ていりの内容ないようは、有限ゆうげん次元じげんの場合ばあいと実質じっしつ的てきに同おなじである。

定理ていり A をあるヒルベルト空間くうかん V 上うえのコンパクトな自己じこ共役きょうやく作用素さようそとする。このとき A の固有こゆうベクトルで構成こうせいされるような V の正規せいき直交ちょっこう基底きていが存在そんざいする。対応たいおうする各かく固有値こゆうちは実数じっすうである。

エルミート行列ぎょうれつの場合ばあいのように、証明しょうめいのカギとなるのは、（少すくなくとも一ひとつの）非ひゼロの固有こゆうベクトルの存在そんざいである。これを示しめす際さい、固有値こゆうちの存在そんざいを示しめすための行列ぎょうれつ式しきの手法しゅほうに頼たよることは出来できないが、代かわりに、固有値こゆうちの変へん分ぶん的てき特徴とくちょう付づけと同様どうようなある最大さいだい化かに関かんする議論ぎろんを利用りようすることが出来できる。そうして上述じょうじゅつのスペクトル定理ていりは、実じつあるいは複素ふくそヒルベルト空間くうかんに対たいしても成立せいりつする。

コンパクト性せいの仮定かていが除のぞかれた場合ばあい、すべての自己じこ共役きょうやく作用素さようそが固有こゆうベクトルを持もつとは限かぎらなくなってしまうので、定理ていりは成立せいりつしない。

有界ゆうかい自己じこ共役きょうやく作用素さようそ

次つぎに考かんがえる一般いっぱん化かは、ヒルベルト空間くうかん上じょうの有界ゆうかいな自己じこ共役きょうやく作用素さようそに対たいするスペクトル定理ていりである。そのような作用素さようそは固有値こゆうちを持もたないこともある。その例れいとして、L²[0, 1] 上じょうの t の乗算じょうざんに関かんする作用素さようそ

$[A\varphi ](t)=t\varphi (t).\;$

が挙あげられる。

定理ていり： A をあるヒルベルト空間くうかん H 上うえの有界ゆうかいな自己じこ共役きょうやく作用素さようそとする。このとき、ある測度そくど空間くうかん (X, Σしぐま, μみゅー) と X 上うえのある本質ほんしつ的てきに有界ゆうかいな実じつ数値すうち可か測はか函数かんすう f およびあるユニタリ作用素さようそ U:H → L²_μみゅー(X) が存在そんざいして、次つぎが成立せいりつする。

$U^{*}TU=A\;$

ここで T は乗算じょうざん作用素さようそ

$[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x)\;$

であり、$\|T\|=\|f\|_{\infty }$ である。

これが作用素さようそ論ろんと呼よばれる函数かんすう解析かいせき学がくにおける広大こうだいな研究けんきゅう分野ぶんやの始はじまりである。記事きじ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきにおけるスペクトル理論りろんも参照さんしょうされたい。

ヒルベルト空間くうかん上じょうの有界ゆうかいな正規せいき作用素さようそに対たいする同様どうようのスペクトル定理ていりも存在そんざいする。結論けつろんとして異ことなる部分ぶぶんは、今回こんかいの場合ばあい $f$ は複素数ふくそすう値ちでもよいということである。

スペクトル定理ていりの代替だいたい的てきな設定せっていとして、作用素さようそ $A$ がその作用素さようそのスペクトルについての射影しゃえい値ち測度そくどに関かんする座標ざひょう関数かんすうの積分せきぶんとして与あたえられる、次つぎの様ような場合ばあいが考かんがえられる。

$A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE_{\lambda }$

考かんがえられている正規せいき作用素さようそがコンパクトであるなら、このようなスペクトル定理ていりは上述じょうじゅつの有限ゆうげん次元じげんのスペクトル定理ていりに帰着きちゃくされる。そうでない場合ばあい、その作用素さようそは無限むげんに多おおくの射影しゃえいの線型せんけい結合けつごうとして表現ひょうげんされ得える。

一般いっぱんの自己じこ共役きょうやく作用素さようそ

微分びぶん作用素さようそのように、解析かいせき学がくに現あらわれる多おおくの重要じゅうような線型せんけい作用素さようそは非ひ有界ゆうかいである。そのような非ひ有界ゆうかいの場合ばあいの自己じこ共役きょうやく作用素さようそに対たいするスペクトル定理ていりも存在そんざいする。その例れいを考かんがえる上うえで、任意にんいの定数ていすう係数けいすう微分びぶん作用素さようそは、ある乗算じょうざん作用素さようそとユニタリ同値どうちであることに注意ちゅういされたい。実際じっさい、この同値どうち性せいを備そなえるユニタリ作用素さようそはフーリエ変換へんかんであり、乗算じょうざん作用素さようそはフーリエ乗数じょうすうの一種いっしゅである。

一般いっぱんに、自己じこ共役きょうやく作用素さようそに対たいするスペクトル定理ていりには、同値どうちないくつかの形式けいしきが存在そんざいする。

乗算じょうざん作用素さようその形式けいしきにおけるスペクトル定理ていり あるヒルベルト空間くうかん H における各かく自己じこ共役きょうやく作用素さようそ T に対たいし、H から空間くうかん L²(M, μみゅー) への上うえへの等とう長ちょう同型どうけいをなすあるユニタリ作用素さようそが存在そんざいし、T はその空間くうかん L²(M, μみゅー) において乗算じょうざん作用素さようそとして表現ひょうげんされる。

自己じこ共役きょうやく作用素さようそ T が作用さようするヒルベルト空間くうかん H は、T が各かく空間くうかん H_i に制限せいげんされたとき単純たんじゅんなスペクトルを持もつような、ヒルベルト空間くうかん H_i の直和なおかずとして表あらわすことが出来できることもある。そのような分解ぶんかいは（ユニタリ同値どうち性せいを除のぞいて）「一意いちい」であるように構成こうせいすることが出来でき、そのようなものは「順序じゅんじょ付つきスペクトル表現ひょうげん」（ordered spectral representation）と呼よばれる。

関連かんれん項目こうもく

• スペクトル理論りろん
• 行列ぎょうれつの分解ぶんかい
• 正せい準じゅん形かたち
• ジョルダン分解ぶんかい スペクトル分解ぶんかいはこの特別とくべつな場合ばあいである。
• 特異とくい値ち分解ぶんかい 任意にんいの行列ぎょうれつへのスペクトル定理ていりの一般いっぱん化かである。
• 行列ぎょうれつの固有こゆう分解ぶんかい

参考さんこう文献ぶんけん

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
• Paul Halmos, "What Does the Spectral Theorem Say?", American Mathematical Monthly, volume 70, number 3 (1963), pages 241–247 Other link
• M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I–IV, Academic Press 1972.
• G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
• Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer