跡あと (線型せんけい代数だいすう学がく)

数学すうがくの線型せんけい代数だいすう学がくにおいて、正方まさかた行列ぎょうれつの跡あと（せき、英えい: trace; トレース、独どく: Spur; シュプール）あるいは対たい角すみ和かず（たいかくわ）とは、主しゅ対たい角かく成分せいぶんの総和そうわである。つまり

$\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{bmatrix}}=a_{1,1}+a_{2,2}+\dotsb +a_{n,n}$

を指さす。それは基底きてい変換へんかんに関かんして不変ふへんであり、また固有値こゆうちの総和そうわ（固有値こゆうち和わ）に等ひとしい。ゆえに、行列ぎょうれつの跡あとは行列ぎょうれつの相似そうじに関かんする不ふ変量へんりょうであり、そこから、行列ぎょうれつに対応たいおうする線型せんけい写像しゃぞうの跡あととして定義ていぎすることができる。

行列ぎょうれつの跡あとは、正方まさかた行列ぎょうれつに対たいしてのみ定義ていぎされることに注意ちゅういせよ。この語かたりは（この同おなじ数学すうがく的てき対象たいしょうを意味いみする）ドイツ語ごのSpurからの翻訳ほんやく借用しゃくようである。

定義ていぎ

座標ざひょうに依よらない定義ていぎ

係数けいすう体たい F 上うえ有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかん V 上うえの自己じこ線型せんけい作用素さようそ全体ぜんたいの成なす空間くうかん L(V,V) を V の双対そうつい空間くうかんとのテンソル積せきと

$V^{*}\otimes V\to {\mathcal {L}}(V,V);\;h\otimes v\mapsto (w\mapsto h(w)v)$

によって同一どういつ視しすることができる。このとき、標準ひょうじゅん的てきな双そう線型せんけい写像しゃぞう

$t\colon V^{*}\times V\to F;\;t(w^{*},v)=w^{*}(v)\quad (w^{*}\in V^{*},\,v\in V)$

から（テンソル積せきの普遍ふへん性せいにより）導みちびかれるテンソル積せき空間くうかん上じょうの線型せんけい写像しゃぞう tr: V* ⊗ V → F を跡あと（トレース）と呼よぶ。

座標ざひょうを用もちいた定義ていぎ

体からだ K 上うえのベクトル空間くうかん V 上うえの線形せんけい写像しゃぞう f が有限ゆうげん次元じげんの像ぞうを持もつとき、V の有限ゆうげん個この元もと x₁, …, x_n と双対そうつい空間くうかん V* の元もと y₁, …, y_n が存在そんざいして f(z) = ∑ y_i(z) x_i (∀z ∈ V) となっている。このとき、∑y_i(x_i) は x₁, …, x_n と y₁, …, y_n の選えらび方かたによらず f のみによって定さだまる量りょうとなり、f の跡あとあるいは指標しひょう (distribution character) tr(f) とよばれる。

行列ぎょうれつの跡あと

V が有限ゆうげん次元じげんのとき、基底きてい {e_i} とその双対そうつい基底きてい {e^j} を取とれば、e_i ⊗ e^j は線型せんけい写像しゃぞうのこの基底きていに関かんする表現ひょうげん行列ぎょうれつの (i, j)-成分せいぶんであり、任意にんいの行列ぎょうれつ A は

$A=\textstyle \sum \limits _{i,j}a_{i,j}\,e_{i}\otimes e^{j}$

と書かける。したがってこの跡あと

$\operatorname {tr} (A)=\textstyle \sum \limits _{i,j}a_{ij}\operatorname {tr} (e_{i}\otimes e^{j})=\sum \limits _{i,j}a_{ij}\delta _{ij}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{ii}$

は対角線たいかくせんに沿そった成分せいぶんの和やわである（ここで、δでるた はクロネッカーのデルタ）。

性質せいしつ

基本きほん性質せいしつ

以下いか、X, Y は適当てきとうなサイズの正方せいほう行列ぎょうれつとする。

• 行列ぎょうれつのトレースは線型せんけいである:
  • tr(X + Y) = tr(X) + tr(Y),
  • tr(cX) = c tr(X) (c はスカラー).
• tr(XY) = tr(YX).

これらの性質せいしつはトレースを以下いかの意味いみで普遍ふへん性せいを持もつものとして特徴とくちょうづける:

• f(XY) = f(YX) を満みたす線型せんけい汎ひろし函数かんすうは tr の定数ていすう倍ばいに限かぎる。

不変ふへん性せい

• 転置てんち不変ふへん性せい: トレースは転置てんちに関かんして不変ふへんである、即すなわち tr(^tX) = tr(X).
• 相似そうじ不変ふへん性せい: トレースは相似そうじに関かんして不変ふへんである、即すなわち P が正則せいそくならば、tr(P⁻¹XP) = tr(X).
• 巡回じゅんかい不変ふへん性せい: 2個こ以上いじょうの行列ぎょうれつの積せきのトレースは巡回じゅんかい的てきに順番じゅんばんを変かえても不変ふへんである、即すなわちσしぐま が巡回じゅんかい置換ちかんならば $\operatorname {tr} \left(\textstyle \prod \limits _{k}X_{\sigma (k)}\right)=\operatorname {tr} \left(\textstyle \prod \limits _{k}X_{k}\right)$.
  • σしぐま を任意にんいの置換ちかんとすると一般いっぱんには成なりたないが、対称たいしょう行列ぎょうれつのときには tr(X₁X₂X₃) = tr(X₁X₃X₂) が成なり立たつ。

固有値こゆうちとの関係かんけい

• 実みまたは複素ふくそ正方まさかた行列ぎょうれつ X の固有値こゆうちが（代数だいすう重複じゅうふく度どを込こめて）λらむだ₁, …, λらむだ_n であるとき、$\operatorname {tr} X=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}$ が成なり立たつ。

これは、トレースの相似そうじ不変ふへん性せいと、任意にんいの行列ぎょうれつがジョルダン標準ひょうじゅん形がたに相似そうじであること、およびジョルダン標準ひょうじゅん形がたの対たい角かく成分せいぶんに代数だいすう重複じゅうふく度どを込こめた固有値こゆうちが全すべて並ならぶことから明あきらかである。またこれと対照たいしょう的てきに、行列ぎょうれつ式しきは固有値こゆうちの積せき $\det X=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}$ である。

同おなじ理由りゆうにより、自然しぜん数すう k に対たいして $\operatorname {tr} X^{k}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}^{k}$ が成なり立たつことが分わかる。

その他たの性質せいしつ

• 行列ぎょうれつ式しきの場合ばあいと異ことなり積せきのトレースはトレースの積せきとは一致いっちしないが、クロネッカー積せき（行列ぎょうれつのテンソル積せき）のトレースはトレースの積せきに一致いっちする: tr(X ⊗ Y) = tr(X)tr(Y).
• A が対称たいしょうかつ B が反対称はんたいしょうならば tr(AB) = 0 である。
• 単位たんい行列ぎょうれつ I_n のトレースは考かんがえている空間くうかんの次元じげん n である（その意味いみで次元じげんの概念がいねんをトレースを用もちいて一般いっぱん化かすることもできる）。同様どうように、冪べき等とう行列ぎょうれつ A（つまり A² = A）のトレースは A の階数かいすうであり、また冪べき零れい行列ぎょうれつのトレースは零れいである。 より一般いっぱんに、行列ぎょうれつ A の固有こゆう多項式たこうしきが f(x) = (x − λらむだ₁)^d₁…(x − λらむだ_k)^d_k と因数いんすう分解ぶんかいできるならば

  tr(A) = d₁λらむだ₁ + … + d_kλらむだ_k.

• 任意にんいの正方せいほう行列ぎょうれつ A, B に対たいして、それらの（環たまき論ろん的てき）交換こうかん子このトレースは消きえる: tr([A,B]) = 0（リー環たまきの言葉ことばで言いえば「跡あと写像しゃぞうは行列ぎょうれつリー環たまき 𝔤𝔩_n からスカラーへの写像しゃぞうである」（後述こうじゅつ）。特とくに相似そうじ不変ふへん性せいを考慮こうりょすれば、単位たんい行列ぎょうれつがどんな行列ぎょうれつの対たいの交換こうかん子ことも相似そうじにならないことが分わかる。逆ぎゃくに任意にんいのトレース零れいな正方せいほう行列ぎょうれつは交換こうかん子この線型せんけい結合けつごうとして書かける。さらに言いえば、任意にんいのトレース零れいな正方せいほう行列ぎょうれつは対たい角かく成分せいぶんが全すべて零れいの正方せいほう行列ぎょうれつとユニタリ同値どうちになる。
• 冪べき零れい行列ぎょうれつの任意にんいの冪べきのトレースは零れいである。係数けいすう体たいの標しるべ数すうが零れいならば逆ぎゃくも成なり立たつ（任意にんいの冪べきのトレースが零れいならば冪べき零れいである）。
• エルミート行列ぎょうれつのトレースは実みである（エルミート行列ぎょうれつの対たい角かく成分せいぶんはすべて実みとなることによる）。
• 射影しゃえい行列ぎょうれつのトレースは行列ぎょうれつの階数かいすうに等ひとしい。すなわち、P_X = X(X^⊤X)⁻¹X^⊤ ならば tr(P_X) = rank(X).

リー環たまき上じょうの写像しゃぞうとして

跡あとは行列ぎょうれつ式しきの微分びぶんと対応付たいおうづけられる。即すなわち、リー群ぐんにおける行列ぎょうれつ式しきのリー環たまきにおける対応たいおう物ぶつが跡あとである。それを示しめすのが行列ぎょうれつ式しきの微分びぶんに対たいするヤコビの公式こうしきである。

特とくに、「単位たんい元もと I における微分びぶん係数けいすう」という特別とくべつの場合ばあいには

$\det(I+A)=1+\operatorname {tr} (A)+o(A)$

（o はランダウの記号きごう）という意味いみで行列ぎょうれつ式しきの微分びぶんがちょうど跡あとになる（$\operatorname {tr} =\operatorname {det} '_{I}$）。このことから、リー環たまきの間あいだの跡あと写像しゃぞうとリー環たまきからリー群ぐんへの指数しすう写像しゃぞう（あるいは具体ぐたい的てきに行列ぎょうれつの指数しすう函数かんすう）との間あいだの関係かんけいを

$\det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))$

と書かくことができる。

ベクトル空間くうかん V の次元じげんが n であるとき、跡あと写像しゃぞうは V 上うえの線型せんけい写像しゃぞうの空間くうかんとしての行列ぎょうれつリー環たまき gl_n(k) からスカラーのリー環たまき（自明じめいなリー括弧かっこ積せきを持もつ可か換かわリー環たまきと見みて得えられる）k への写像しゃぞうと見みることができる。これは即すなわち、交換こうかん子こ括弧かっこのトレースが消きえる:

$\operatorname {tr} ([A,B])=0$

という意味いみに他たならない。跡あと写像しゃぞうの核かくはトレース 0 の行列ぎょうれつからなるが、そのような行列ぎょうれつはしばしば跡あとが無ない (traceless, tracefree) と言いい、それら行列ぎょうれつは単純たんじゅんリー環たまき sl_n(k) を成なす。sl_n は行列ぎょうれつ式しき 1 の行列ぎょうれつの成なす特殊とくしゅ線型せんけい群ぐん SL_n のリー環たまきである。SL_n に属ぞくする行列ぎょうれつが体積たいせきを変かえない変換へんかんであることに類比るいひして、sl_n の元もとは無限むげん小しょう体積たいせきを変かえない行列ぎょうれつである。

実じつは gl_n の内部ないぶ直和なおかず分解ぶんかい

${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k$

が存在そんざいし、そのスカラー（行列ぎょうれつ）成分せいぶんへの射影しゃえいはトレースを用もちいて

$A\mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\cdot I$

と書かける。きちんと述のべるならば、（余よ単位たんい射いとしての）跡あと写像しゃぞうに（単位たんい射しゃとしての）「スカラーの包含ほうがん」k → gl_n を合成ごうせいして gl_n → gl_n を作つくれば、これはスカラー行列ぎょうれつの成なす部分ぶぶんリー環たまきの上うえへの写像しゃぞうで、それは n倍ばいとして作用さようする。この n倍ばいの分ぶんだけ割わって射影しゃえいを得えれば上記じょうきの如ごとくである。

短みじか完全かんぜん列れつの言葉ことばで言いえば、

$0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{{}\to {}}}k\to 0$

がリー群ぐんの短みじか完全かんぜん列れつ

$1\to {\mathit {SL}}_{n}\to {\mathit {GL}}_{n}{\overset {\operatorname {det} }{{}\to {}}}K^{*}\to 1$

に対応たいおうする形かたちで成なり立たつが、跡あと写像しゃぞうは（スカラーの 1/n倍ばいを通つうじて）自然しぜんに分裂ぶんれつするから gl_n = sl_n ⊕ k を得える。一方いっぽう、行列ぎょうれつ式しきの分裂ぶんれつは行列ぎょうれつ式しきの n乗の根ねをとる必要ひつようがあり、これは一般いっぱんには写像しゃぞうを定さだめない。つまり、行列ぎょうれつ式しきは分裂ぶんれつせず、一般いっぱん線型せんけい群ぐんも分解ぶんかいされない（GL_n ≠ SL_n × K^∗）。

以下いかの双そう線型せんけい形式けいしき

$B(x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))\qquad (\operatorname {ad} (x)y:=[x,y]=xy-yx)$

はキリング形式けいしきと呼よばれ、リー環たまきの分類ぶんるいに用もちいられる。

正方まさかた行列ぎょうれつ x, y に対たいして定義ていぎされる双そう線型せんけい形式けいしき

$(x,y)\mapsto \operatorname {tr} (xy)$

は対称たいしょうかつ非ひ退化たいか、さらに

$\operatorname {tr} (x[y,z])=\operatorname {tr} ([x,y]z)$

が成なり立たつ意味いみで結合けつごう的てきである。（sl_n のような）複素ふくそ単純たんじゅんリー環たまきに対たいしては、このような任意にんいの双そう線型せんけい形式けいしきは互たがいに他たの定数ていすう倍ばいであり、特とくにキリング形式けいしきとして書かける。

ふたつの行列ぎょうれつ x, y がトレース直交ちょっこう (trace orthogonal) であるとは

$\operatorname {tr} (xy)=0$

を満みたすときに言いう。

フロベニウス内積ないせき・ノルム

複素ふくそ m × n 行列ぎょうれつ A に対たいし、∗ は共軛きょうやく転置てんちとすれば、

$\operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0$

が成なり立たつ。なお、等号とうごう成立せいりつ⇔ A = 0 である。これにより、対応たいおう

$\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (B^{*}A)$

は m × n 行列ぎょうれつ全体ぜんたいの成なす空間くうかんにおける内積ないせきの性質せいしつを満みたす。特とくに実み行列ぎょうれつの場合ばあいには、

$\operatorname {tr} (X^{\top }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\top })=\operatorname {tr} (Y^{\top }X)=\operatorname {tr} (YX^{\top })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}$

はベクトルの点てん乗じょう積せきに類似るいじの形かたちであることが確認かくにんできる（行列ぎょうれつの一いち列れつ化かを通つうじて実際じっさいにベクトルの点てん乗じょう積せきとして

$\operatorname {tr} (X^{\top }Y)=\operatorname {vec} (Y)\cdot \operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (X)\cdot \operatorname {vec} (Y)$

と記述きじゅつできる）。アダマール積せきを使つかって書かくこともできる。しばしばベクトルの演算えんざんを行列ぎょうれつに対たいして一般いっぱん化かする際さいに積せきのトレースが現あらわれるのはこのような事情じじょうによる。

この内積ないせきに対応たいおうするノルムをフロベニウスノルムと呼よぶ。これは実際じっさい、行列ぎょうれつを単たんに長ながさ m × n のベクトルと見み做したときのユークリッドノルムである。

したがって時ときに A, B が同おなじサイズの半はん正せい定値ていち行列ぎょうれつならば

$0\leq \operatorname {tr} (AB)^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq \operatorname {tr} (A)^{2}\operatorname {tr} (B)^{2}$

が成なり立たつ。

一般いっぱん化か

• 行列ぎょうれつの跡あとの概念がいねんはヒルベルト空間くうかん上うえのコンパクト作用素さようその成なすトレースクラスに一般いっぱん化かされる。行列ぎょうれつの跡あとの定さだめるフロベニウスノルムの類似るいじとしてヒルベルト–シュミットノルムが定さだまる。
• また別べつの一般いっぱん化かとして偏へんトレースは作用素さようそに値ねをとる。テンソル積せき空間くうかん A ⊗ B 上うえの線型せんけい作用素さようそ Z のトレースは A および B 上うえの偏へんトレースの合成ごうせいに等ひとしい:

$\operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}(\operatorname {tr} _{B}(Z))=\operatorname {tr} _{B}(\operatorname {tr} _{A}(Z))$.

• 一般いっぱんに、体からだ k 上うえの結合けつごう多元たげん環たまき A 上うえのトレースは、交換こうかん子この上うえで消きえる（つまり、任意にんいの a, b ∈ A に対たいして tr([a, b]) = 0）任意にんいの射い tr: A → k と定さだめる。このような意味いみでのトレースは一意いちいには決きまらない（少すくなくとも非ひ零れいスカラー倍ばいしたものに取とり換かえても明あきらかにこの定義ていぎを満みたす）。
• 超ちょう代数だいすうへの一般いっぱん化かとして超ちょうトレースがある。
• テンソルの縮ちぢみ約やくはトレースの概念がいねんを任意にんいのテンソルに対たいして一般いっぱん化かする。

双対そうつい

トレースを定さだめる写像しゃぞうの双対そうつい

$F^{*}=F\to V\otimes V^{*}\cong \operatorname {End} (V)$

は 1 ∈ F を単位たんい行列ぎょうれつへ写うつすものであり、スカラーをスカラー行列ぎょうれつへ写うつすという意味いみでの包含ほうがん写像しゃぞうである。この意味いみで、「トレースはスカラーの双対そうついである」。双そう代数だいすうの言葉ことばで言いえば、スカラーが単位たんい、トレースが余よ単位たんいである。

合成ごうせい写像しゃぞう

$F{\overset {I}{{}\to {}}}\operatorname {End} (V){\overset {\operatorname {tr} }{{}\to {}}}F$

は単位たんい行列ぎょうれつのトレースとしての n倍ばい写像しゃぞうである（この n は考かんがえているベクトル空間くうかん V の次元じげんである）。

参考さんこう文献ぶんけん

• 齋藤さいとう正彦まさひこ『線型せんけい代数だいすう入門にゅうもん』東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい〈基礎きそ数学すうがく〉、1995年ねん。ISBN 978-4130620017。 
• Bourbaki, N. (2007) [1970]. Algèbre: Chapitres 1 à 3. Éléments de mathématique (2ème ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-33849-9. MR0274237. Zbl 0211.02401. https://books.google.co.jp/books?id=4RIDPH1ULXcC 

関連かんれん項目こうもく

• トレース (体からだ論ろん)

外部がいぶリンク

• 『行列ぎょうれつのトレースのいろいろな性質せいしつとその証明しょうめい』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Trace of a square matrix”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Trace_of_a_square_matrix 
• Weisstein, Eric W. "Matrix Trace". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Weisstein, Eric W. "Tensor Trace". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• trace of a matrix - PlanetMath.（英語えいご）
• proof of properties of trace of a matrix - PlanetMath.（英語えいご）
• example of trace of a matrix - PlanetMath.（英語えいご）