列れつ空間くうかん

数学すうがくの線型せんけい代数だいすう学がくの分野ぶんやにおいて、ある行列ぎょうれつ A の列れつ空間くうかん（れつくうかん、英えい: column space）C(A)（しばしば、行列ぎょうれつの値域ちいき（range）とも呼よばれる）とは、その行列ぎょうれつの列れつベクトルの線型せんけい結合けつごうとしてあり得えるすべてのものからなる集合しゅうごうのことを言いう。

K を（実数じっすうあるいは複素数ふくそすう全体ぜんたいのような）体からだとする。K の成分せいぶんからなる、ある m × n 行列ぎょうれつの列れつ空間くうかんは、m-空間くうかん K^m の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。列れつ空間くうかんの次元じげんは、その行列ぎょうれつの階数かいすうと呼よばれる^{[注ちゅう 1]}。（整数せいすう全体ぜんたいのような）環たまき K についての行列ぎょうれつに対たいしても、同様どうように列れつ空間くうかんを定義ていぎすることが出来できる。

ある行列ぎょうれつの列れつ空間くうかんは、対応たいおうする線型せんけい写像しゃぞうの像ぞうあるいは値域ちいきである。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

K をスカラー体からだとする。A を、列れつベクトル v₁, v₂, ..., v_n を伴ともなう m × n 行列ぎょうれつとする。それら列れつベクトルの線型せんけい結合けつごうとは、次つぎの形式けいしきで記述きじゅつされる任意にんいのベクトルのことを言いう：

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

ここで c₁, c₂, ..., c_n はスカラーである。v₁, ... ,v_n の線型せんけい結合けつごうとしてあり得えるすべてのベクトルからなる集合しゅうごうのことを、A の列れつ空間くうかんと言いう。すなわち、A の列れつ空間くうかんは、ベクトル v₁, ... , v_n の張はる部分ぶぶん空間くうかんである。

行列ぎょうれつ A の列れつベクトルの任意にんいの線型せんけい結合けつごうは、A と列れつベクトルの積せきとして記述きじゅつされる。すなわち

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{n1}+&\cdots &+c_{n}a_{nn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{n1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{n1}\\\vdots \\a_{nn}\end{bmatrix}}=\\{}&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

として記述きじゅつされる。したがって A の列れつ空間くうかんは、x ∈ Rⁿ に対たいするすべてのあり得える積せき Ax からなる。これは、対応たいおうする線型せんけい写像しゃぞうの像ぞう（あるいは、値域ちいき）と同様どうようである。

例れい

A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}

とすると、その列れつベクトルは v₁ = (1, 0, 2)^T と v₂ = (0, 1, 0)^T である。

v₁ と v₂ の線型せんけい結合けつごうは、次つぎの形式けいしきで記述きじゅつされる任意にんいのベクトルである：

c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,

そのようなベクトルすべてからなる集合しゅうごうが、A の列れつ空間くうかんである。この場合ばあいの列れつ空間くうかんは、方程式ほうていしき z = 2x を満みたすようなベクトル (x, y, z) ∈ R³ の集合しゅうごうである（デカルト座標ざひょうを用もちいることで、この集合しゅうごうは三さん次元じげん空間くうかんにおける原点げんてんを通とおる平面へいめんであることが分わかる）。

基底きてい[編集へんしゅう]

A の列れつベクトルは列れつ空間くうかんを張はるが、それらが線型せんけい独立どくりつでない場合ばあいには基底きていを形成けいせいしないこともあり得える。幸運こううんなことに、行列ぎょうれつの基本きほん変形へんけいは列れつベクトルの間あいだの依存いぞん関係かんけいに影響えいきょうを与あたえない。このことは、列れつ空間くうかんの基底きていを見みつけるためにガウスの消去しょうきょ法ほうを使用しようすることを可能かのうにする。

例たとえば、行列ぎょうれつ

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{ }}

を考かんがえる。この行列ぎょうれつの列れつベクトルは、列れつ空間くうかんを張はるが、線型せんけい独立どくりつでない可能かのう性せいもあり、その場合ばあいにはそれら列れつベクトルの集合しゅうごうのある部分ぶぶん集合しゅうごうが、基底きていを形成けいせいする。この基底きていを見みつけるために、A を行くだり既すんで約やく階段かいだん形がたへと書かき下くだす：

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}{\text{ }}

^{[注ちゅう 2]}

この時点じてんで、第だい一いち、第だい二に、第だい四よんの列れつベクトルは線型せんけい独立どくりつであることが明白めいはくになるが、第だい三さんの列れつベクトルははじめの二ふたつの列れつベクトルの線形せんけい結合けつごうとなっている（具体ぐたい的てきに、v₃ = −2v₁ + v₂ である）。したがって、もとの行列ぎょうれつの第だい一いち、第だい二におよび第だい四よんの列れつベクトル

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}

が、その行列ぎょうれつの列れつ空間くうかんの基底きていである。ここで、行くだり既すんで約やく階段かいだん形がたの独立どくりつな列れつベクトルは、ピボット（英語えいご版ばん）を伴ともなう列れつベクトルであることに注意ちゅういされたい。このことから、階段かいだん形がたへと書かき下くだすことのみで、どの列れつベクトルが線型せんけい独立どくりつであるか決定けっていすることが可能かのうとなる。

上述じょうじゅつの計算けいさん法ほうは一般いっぱん的てきに、任意にんいのベクトルの集合しゅうごうの間あいだの依存いぞん関係かんけいを調しらべるため、および任意にんいの張はられる集合しゅうごうから基底きていを見みつけるために用もちいられる。張はられる集合しゅうごうから基底きていを見みつけるための異ことなる計算けいさん方法ほうほうは、記事きじ「行くだり空間くうかん」で述のべられている：すなわち、A の列れつ空間くうかんの基底きていを見みつけることは、転置てんち行列ぎょうれつ A^T の行くだり空間くうかんの基底きていを見みつけることと同値どうちなのである。

次元じげん[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「行列ぎょうれつの階数かいすう」を参照さんしょう

列れつ空間くうかんの次元じげんは、その行列ぎょうれつの階数かいすうと呼よばれる。階数かいすうは、行くだり既すんで約やく階段かいだん形がたにおけるピボットの数すうと等ひとしく、その行列ぎょうれつから選えらぶことの出来できる線型せんけい独立どくりつな列れつの最大さいだい数すうである。例たとえば、上うえの例れいの 4 × 4 列れつの階数かいすうは 3 である。

列れつ空間くうかんは、対応たいおうする行列ぎょうれつ変換へんかんの像ぞうであるため、行列ぎょうれつの階数かいすうはその像ぞうの次元じげんと等ひとしい。例たとえば、上うえの例れいの行列ぎょうれつとして表現ひょうげんされる変換へんかん R⁴ → R⁴ は、R⁴ に属ぞくするすべての元もとを、ある4次元じげん部分ぶぶん空間くうかんへと写うつす。

行列ぎょうれつの退化たいか次数じすう（nullity）とは、零れい空間くうかんの次元じげんのことを言いい、行くだり既すんで約やく階段かいだん形がたにおいてピボットを持もたない列れつの数かずに等ひとしい^{[注ちゅう 3]}。n 個この列れつを含ふくむ行列ぎょうれつ A の階数かいすうと退化たいか次数じすうには、次つぎの方程式ほうていしきで与あたえられる関係かんけいがある：

{\text{rank}}(A)+{\text{nullity}}(A)=n.\,

この方程式ほうていしきは階数かいすう・退化たいか次数じすうの定理ていりとして知しられる。

左ひだり零れい空間くうかんとの関係かんけい[編集へんしゅう]

A の左ひだり零れい空間くうかんとは、x^TA = 0^T を満みたすような全すべてのベクトル x の集合しゅうごうのことを言いう。A の転置てんち行列ぎょうれつの零れい空間くうかんに等ひとしい。行列ぎょうれつ A^T とベクトル x の積せきは、ベクトルのドット積せきを用もちいて次つぎのように記述きじゅつすることが出来できる：

A^{T}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}

これはなぜかと言いうと、A^T の行くだりベクトルは A の列れつベクトル v_k の転置てんちだからである。したがって、A^Tx = 0 が成立せいりつすることと、x が A の各かく列れつベクトルに直交ちょっこうすることは、同値どうちである。

左ひだり零れい空間くうかん（A^T の零れい空間くうかん）は、A の列れつ空間くうかんの直交ちょっこう補ほ空間くうかんである。

行列ぎょうれつ A に対たいし、列れつ空間くうかん、行くだり空間くうかん、零れい空間くうかんおよび左ひだり零れい空間くうかんは、しばしば四よっつの基本きほん部分ぶぶん空間くうかんと呼よばれる。

環たまき上じょうの行列ぎょうれつに対たいして[編集へんしゅう]

上述じょうじゅつの議論ぎろんと同様どうように、列れつ空間くうかん（しばしば「右みぎ」列れつ空間くうかんと区別くべつされる）は環たまき K 上うえの行列ぎょうれつに対たいして次つぎのように定義ていぎされる：

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

ここで c₁, ..., c_n は任意にんいで、「右みぎ自由じゆう加か群ぐん」への m-次元じげんベクトルを置おき換かえが行おこなわれている。したがって、通常つうじょうとは異ことなる順番じゅんばん「ベクトル → スカラー」となるようにベクトルのスカラー倍ばいが書かき換かえられている^{[注ちゅう 4]}。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

^ この記事きじでも述のべられているように、線型せんけい代数だいすう学がくはとてもよく発展はってんされた数学すうがくの分野ぶんやで、多おおくの参考さんこう文献ぶんけんが存在そんざいする。この記事きじで述のべられているほとんど全すべての内容ないようは、Lay 2005、Meyer 2001 および Strang 2005 に見みられる。
^ この計算けいさんではガウス＝ジョルダン法ほうを用もちいている。ここで示しめされている各かく計算けいさん段階だんかいでは、複数ふくすうの行くだり基本きほん変形へんけいが行おこなわれている。
^ ピボットを持もたない列れつは、対応たいおうする同どう次つぎ線型せんけい方程式ほうていしき系けいにおける自由じゆう変数へんすうを表あらわしている。
^ これは、K が可か換かわでない時ときにのみ重要じゅうようとなる。実際じっさい、この形式けいしきは単たんに行列ぎょうれつ A を Kⁿ に属ぞくする列れつベクトル c に掛かけた積せき Ac であり、Kⁿ においては上うえの式しきとは異ことなり積せきの順序じゅんじょが「保存ほぞんされる」のである。

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8
Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, オリジナルの2009年ねん10月がつ31日にち時点じてんにおけるアーカイブ。
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]

Khan Academy video tutorial
Weisstein, Eric W. "Column Space". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Gilbert Strang, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video, from MIT OpenCourseWare

[1] この記事きじでも述のべられているように、線型せんけい代数だいすう学がくはとてもよく発展はってんされた数学すうがくの分野ぶんやで、多おおくの参考さんこう文献ぶんけんが存在そんざいする。この記事きじで述のべられているほとんど全すべての内容ないようは、Lay 2005、Meyer 2001 および Strang 2005 に見みられる。

[2] この計算けいさんではガウス＝ジョルダン法ほうを用もちいている。ここで示しめされている各かく計算けいさん段階だんかいでは、複数ふくすうの行くだり基本きほん変形へんけいが行おこなわれている。

[3] ピボットを持もたない列れつは、対応たいおうする同どう次つぎ線型せんけい方程式ほうていしき系けいにおける自由じゆう変数へんすうを表あらわしている。

[4] これは、K が可か換かわでない時ときにのみ重要じゅうようとなる。実際じっさい、この形式けいしきは単たんに行列ぎょうれつ A を Kⁿ に属ぞくする列れつベクトル c に掛かけた積せき Ac であり、Kⁿ においては上うえの式しきとは異ことなり積せきの順序じゅんじょが「保存ほぞんされる」のである。

[注ちゅう 1]

[注ちゅう 2]

[注ちゅう 3]

[注ちゅう 4]