単たん因子いんし

代数だいすう学がくにおいて、行列ぎょうれつの単たん因子いんし（たんいんし）とは、その「標準ひょうじゅん形がた」を定さだめる不ふ変量へんりょうのことである。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

$D$ を単項たんこうイデアル整せい域いき（たとえば整数せいすう環たまき $Z$ や複素ふくそ係数けいすうの一変いっぺん数すう多項式たこうしき環たまき $C [x]$ などのユークリッド整せい域いき）とする。また $M n \times m (D)$ を $D$ 成分せいぶんの $n \times m$ 行列ぎょうれつ全体ぜんたいとし、特とくに $m = n$ のときは、これを $M n (D)$ と表あらわすことにする。すべての行列ぎょうれつ $A \in M n \times m (D)$ は、ある可逆かぎゃく行列ぎょうれつ $P \in M n (D)$ と $Q \in M m (D)$ を使つかって次つぎの形かたちに変形へんけいできる^[1]。

PAQ={\begin{pmatrix}e_{1}&&&&\\&\ddots &&&\\&&e_{r}&&\\&&&0&\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}

ここで $e 1, \dots, e r \neq 0$ かつ $e 1 D \supseteq \dots \supseteq e r D$ である。このような $e 1, \dots, e r$ は単数たんすう倍ばいを除のぞいて一意いちいに定さだまり^[2]、これを行列ぎょうれつ $A$ の単たん因子いんしという。右辺うへんの行列ぎょうれつは $A$ のスミス標準ひょうじゅん形がた Smith normal form^[3] あるいは単たん因子いんし標準ひょうじゅん形がたと呼よばれる。この行列ぎょうれつ $P, Q$ は行列ぎょうれつの基本きほん変形へんけいをして求もとめることができる^[4]。

性質せいしつ[編集へんしゅう]

$F$ を体からだとする。

行列ぎょうれつ $A, B \in M n (F)$ が相似そうじである必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは行列ぎょうれつ $xI - A, xI - B \in M n (F [x])$ の単たん因子いんしが一致いっちすることである^[5]。

行列ぎょうれつ $A \in M n (F)$ の最小さいしょう多項式たこうしきは行列ぎょうれつ $xI - A \in M n (F [x])$ の最大さいだい次数じすうの単たん因子いんし（を規格きかく化かしたもの）と一致いっちする^[6]。

例れい[編集へんしゅう]

$D$ を複素ふくそ係数けいすうの一変いっぺん数すう多項式たこうしき環たまき $C [x]$ とする。次つぎの行列ぎょうれつ $A \in M 2 (C [x])$ の単たん因子いんしは可逆かぎゃく行列ぎょうれつ $P, Q \in M 2 (C [x])$ として以下いかの行列ぎょうれつを取とれば $1, (x - λ らむだ) 2$ とわかる。

A={\begin{pmatrix}x-\lambda &-1\\&x-\lambda \end{pmatrix}}

P={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}},\qquad Q={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}&1\\-1&\end{pmatrix}}

PAQ={\begin{pmatrix}1&\\&(x-\lambda )^{2}\end{pmatrix}}

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

^ Jacobson 2009, Theorem 3.8.
^ Jacobson 2009, p. 185.
^ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 181.
^ Jacobson 2009, p. 182.
^ 斎藤さいとう 1966, 系けい6.1.4, 定理ていり6.1.8.
^ 斎藤さいとう 1966, 定理ていり6.3.3.

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Hazewinkel, M.; Gubareni, N.; Kirichenko, V. V. (2004). Algebras, Rings and Modules. 1. Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-2690-0
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (Second ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1
斎藤さいとう正彦まさひこ『線型せんけい代数だいすう入門にゅうもん』（初版しょはん）東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい、1966年ねん。ISBN 978-4-13-062001-7。

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]

Weisstein, Eric W. "Invariant Factor". mathworld.wolfram.com (英語えいご).

[FOOTNOTEJacobson2009Theorem_3.8-1] Jacobson 2009, Theorem 3.8.

[FOOTNOTEJacobson2009185-2] Jacobson 2009, p. 185.

[FOOTNOTEHazewinkelGubareniKirichenko2004181-3] Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 181.

[FOOTNOTEJacobson2009182-4] Jacobson 2009, p. 182.

[FOOTNOTE斎藤1966系6.1.4,_定理6.1.8-5] 斎藤さいとう 1966, 系けい6.1.4, 定理ていり6.1.8.

[FOOTNOTE斎藤1966定理6.3.3-6] 斎藤さいとう 1966, 定理ていり6.3.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]