冪べき零れい行列ぎょうれつ

冪べき零れい行列ぎょうれつ（べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、冪べき乗じょうして零れい（零れい行列ぎょうれつ）となる正方まさかた行列ぎょうれつのこと。すなわち、ある自然しぜん数すう m に対たいして、

M ^m = O

が成なり立たつ行列ぎょうれつ M をいう。冪べき零れい行列ぎょうれつは基底きていの与あたえられたベクトル空間くうかんに対たいして冪べき零れい変換へんかんを定さだめる。

例れい

• 零れい行列ぎょうれつは冪べき零れい行列ぎょうれつである。
• $A={\begin{bmatrix}-1&1\\-1&1\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}$ はそれぞれ A² = O, B³ = O となる冪べき零れい行列ぎょうれつである。
• より一般いっぱんに実数じっすう u, t に対たいして $A=u{\begin{bmatrix}-\sin t&1+\cos t\\-1+\cos t&\sin t\end{bmatrix}}$ は A² = O を満みたす冪べき零れい行列ぎょうれつである。
• 実数じっすう a, b, c に対たいして、

${\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}$

の形かたちをした行列ぎょうれつは冪べき零れい行列ぎょうれつである。このような冪べき零れい行列ぎょうれつ全体ぜんたいの集合しゅうごうは、交換こうかん子こ積せき $XY-YX$ によりリー代数だいすう（ハイゼンベルク群ぐんのリー代数だいすう）になる。

性質せいしつ

• 冪べき零れい行列ぎょうれつの固有値こゆうちは 0 のみである。逆ぎゃくに、固有値こゆうちが全すべて 0 である行列ぎょうれつは冪べき零れい行列ぎょうれつである。
• 任意にんいの冪べき零れい行列ぎょうれつは正則せいそく行列ぎょうれつでない。
• N が冪べき零れい行列ぎょうれつなら、単位たんい行列ぎょうれつ I に対たいし (I-N) は正則せいそく行列ぎょうれつである。一般いっぱんに、任意にんいのスカラー t に対たいして

$I-(tN)^{n}=(I-tN)(I+tN+\cdots +(tN)^{n-1})$

が成なり立たつので、Nⁿ = O であれば I - tN は正則せいそく行列ぎょうれつである。

標準ひょうじゅん化か

$E_{n}$ を $n$ 次つぎの単位たんい行列ぎょうれつとして、

$N_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}},\cdots ,N_{n}={\begin{bmatrix}0&E_{n-1}\\0&0\end{bmatrix}}$

と置おいたとき、上うえの行列ぎょうれつの幾いくつかの直和なおかず（行列ぎょうれつをブロックとして対角線たいかくせん上じょうに並ならべた区分くぶん行列ぎょうれつのこと）

${\begin{bmatrix}N_{n_{1}}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &N_{n_{k}}\end{bmatrix}}$

を冪べき零れい行列ぎょうれつの標準ひょうじゅん形がたという。ここで n₁, ... , n_k は与あたえられた自然しぜん数すう s に対たいして n₁ + ... + n_k = s を満みたす自然しぜん数すうである。

標準ひょうじゅん化かの対象たいしょうになる s 次じ行列ぎょうれつを M としたとき、ρろー _r = rank M ^r-1 - rank M ^r と置おけば、n_i = p なる i の個数こすうは全部ぜんぶで ρろー_p - ρろー_p+1 個こある。この ρろー_i の値ねによって作つくられる冪べき零れい行列ぎょうれつの標準ひょうじゅん形がたは、n_i の順番じゅんばんを除のぞいて一意的いちいてきである。以下いか、ρろー_iの値ねに基もとづく（s次つぎの）標準ひょうじゅん形がたを N[ρろー₁, …, ρろー_s] と書かく。また、M の次数じすうを s とすれば、ρろー_i の定義ていぎから直接ちょくせつに ∑ρろー_i = s となるから、次数じすう s における相そう異ことなる標準ひょうじゅん形がたの個数こすうは、整数せいすう s を分割ぶんかつする方法ほうほうの個数こすうである。例たとえば、次数じすう 4 における標準ひょうじゅん形がたは、

${\begin{bmatrix}N_{4}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}N_{3}&0\\0&N_{1}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}N_{2}&0\\0&N_{2}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}N_{2}&0&0\\0&N_{1}&0\\0&0&N_{1}\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&0\\0&N_{1}&0&0\\0&0&N_{1}&0\\0&0&0&N_{1}\end{bmatrix}}$

の 5 つである。この標準ひょうじゅん形がたは、それぞれ N[1,1,1,1], N[2,1,1,0], N[2,2,0,0], N[3,1,0,0], N[4,0,0,0] である。一般いっぱんに N[1, ..., 1] = (N_s), N[s, 0, ..., 0] = O が成立せいりつする。

N_n は、冪べき乗じょうに関かんして次つぎのような性質せいしつを持もつ。

$N_{n}^{2}={\begin{bmatrix}0&N_{n-1}\\0&0\end{bmatrix}}$

参考さんこう文献ぶんけん

• 佐武さたけ一郎いちろう『線型せんけい代数だいすう学がく』裳も華はな房ぼう、1974年ねん ISBN 978-4785313012、pp. 148 - 150、冪べき零れい行列ぎょうれつの標準ひょうじゅん形がたについて

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Nilpotent Matrix". mathworld.wolfram.com (英語えいご).