Operator normalny

Operator normalny – operator liniowy i ograniczony $N\colon H\to H$ na przestrzeni Hilberta $H,$ który komutuje ze swoim sprzężeniem $N^{*},$ tj.

NN^{*}=N^{*}N.

Analogicznie pojęcie elementu normalnego wprowadza się w kontekście *-algebr (w szczególności, C*-algebr) – element a *-algebry A nazywa się normalnym, gdy

aa^{*}=a^{*}a.

Własności

Operatory normalne opisuje twierdzenie spektralne. Operator ograniczony $T$ jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy

\|Tx\|=\|T^{*}x\|\;\;(x\in H).

Innym warunkiem równoważnym normalności jest równość

\langle T^{*}x,T^{*}y\rangle =\langle Tx,Ty\rangle \;\;(x,y\in H).

Operator sprzężony do operatora normalnego jest również normalny: $N$ oraz $N^{\star }$ mają to samo jądro i obraz. Wynika stąd, że obraz $N$ jest gęsty w $H$ wtedy i tylko wtedy, gdy $N$ jest iniektywny. Poza tym

\|N^{2}\|=\|N\|^{2}

oraz

\nu (N)=\|N\|,

gdzie $\nu (N)$ oznacza promień spektralny operatora $N.$

Przykłady

Przykładami operatorów normalnych są:

operatory unitarne $(N^{*}=N^{-1}),$
operator samosprzężony $(N^{*}=N),$
operatory dodatnie $(N=MM^{*}),$
operatory rzutu ortogonalnego $(N=N^{*}=N^{2}),$
macierze normalne mogą być postrzegane jako operatory normalne na $n$ -wymiarowej przestrzeni Hilberta $\mathbb {C} ^{n}.$

Zobacz też