転置てんち写像しゃぞう

線型せんけい代数だいすう学がくにおけるベクトル空間くうかんの間あいだの線型せんけい写像しゃぞうの転置てんち（てんち、英えい: transpose）は、各かくベクトル空間くうかんの双対そうつい空間くうかんの間あいだに誘導ゆうどうされる。そのような転置てんち写像しゃぞう (transpose of a linear map) はもとの線型せんけい写像しゃぞうを知しるためにしばしば有用ゆうようである。この概念がいねんは随伴ずいはん函はこ手しゅによって一般いっぱん化かすることができる。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

同おなじ係がかり数すう体たい $F$ 上うえのベクトル空間くうかん $V, W$ と線型せんけい写像しゃぞう $f : V \to W$ があるとき、その転置てんち (transpose)^[1] または双対そうつい (dual), 随伴ずいはん (adjoint)^[2] は

{}^{t}\!f\colon W^{*}\to V^{*};\quad \varphi \mapsto \varphi \circ f

と定義ていぎされる。得えられる汎ひろし函数かんすう $t f (φ ふぁい)$ を $φ ふぁい$ の $f$ に沿そった引ひき戻もどし（英語えいご版ばん）と言いう。

この転置てんちは以下いかの等式とうしき: 任意にんいの $φ ふぁい \in W *$ および $v \in V$ に対たいして

[{}^{t}\!f(\varphi ),\,v]_{V}=[\varphi ,\,f(v)]_{W}\quad (\forall \varphi \in W^{*},v\in V)

によって特徴付とくちょうづけられる^[3]。ただし、括弧かっこ $[\cdot,\cdot] V$ および $[\cdot,\cdot] W$ はそれぞれ $V$ と $V *$ および $W$ と $W*$ の間あいだの自然しぜんな双対そうつい性せいである。

性質せいしつ[編集へんしゅう]

対応たいおう $f \mapsto t f$ は $V$ から $W$ への線型せんけい作用素さようそ全体ぜんたいの成なす空間くうかん $L(V, W)$ と $W *$ から $V *$ $L(W *, V *)$ の間あいだの単たん射い線型せんけい写像しゃぞうを与あたえる。この準じゅん同型どうけいが同型どうけいなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは $W$ が有限ゆうげん次元じげんなることである。 $V = W$ ならば線型せんけい写像しゃぞうの空間くうかん $L(V, V)$ は写像しゃぞうの合成ごうせいのもとで線型せんけい環たまきを成なし、上記じょうきの対応たいおうは線型せんけい環たまきの反はん準じゅん同型どうけい（英語えいご版ばん）、つまり $t (f \circ g) = t g \circ t f$ となる。圏けん論ろんの言葉ことばでは、ベクトル空間くうかんの双対そうついと線型せんけい写像しゃぞうの転置てんちをとる操作そうさは $F$ 上うえのベクトル空間くうかんの圏けんからそれ自身じしんへの反はん変へん函はこ手しゅである。二に重じゅう双対そうついへの自然しぜんな入射にゅうしゃを用もちいて $t (t f)$ と $f$ が同どう一いち視しできることに注意ちゅうい。

線型せんけい写像しゃぞう $u : X \to Y$ および $v : Y \to Z$ に対たいし $t (v \circ u) = t u \circ t v$ が成なり立たつ^[4]
u: X → Y は線型せんけい写像しゃぞうとし、部分ぶぶん集合しゅうごう A ⊆ X, B ⊆ Y および "°" は各かく部分ぶぶん集合しゅうごうの極ごく集合しゅうごうを意味いみするものとすれば以下いかが成なり立たつ^[4]
- $[u (A)]° = (t u) -1 (A °)$ ,
- $u (A) \subseteq B$ ならば $t u (B °) \subseteq A °$ .

行列ぎょうれつ表現ひょうげん[編集へんしゅう]

$V, W$ の基底きていをそれぞれとり、線型せんけい写像しゃぞう $f$ が行列ぎょうれつ $A$ で表現ひょうげんされているとき、 $W *, V *$ の基底きていは双対そうつい基底きていをとれば、転置てんち写像しゃぞう $t f$ は転置てんち行列ぎょうれつ $t A$ で表現ひょうげんされる（ゆえにこの名ながある）。別べつない方いかたとして、 $f$ が列れつベクトルに左ひだりから作用さようする行列ぎょうれつ $A$ で表現ひょうげんされるとき、転置てんち $t f$ は行こうベクトルに右みぎから作用さようする同おなじ行列ぎょうれつ $A$ で表現ひょうげんされる。これら二ふたつの観点かんてんは、 $R n$ の標準ひょうじゅん内積ないせきによって、列れつベクトル空間くうかんを行くだりベクトル空間くうかんの双対そうついと同一どういつ視しすれば同おなじことを言いっている。

エルミート随伴ずいはんとの関係かんけい[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「随伴ずいはん作用素さようそ」を参照さんしょう

転置てんちを特徴付とくちょうづける恒等こうとう式しき $[f *(φ ふぁい), v] = [φ ふぁい, f (v)]$ は、形かたちの上うえでは作用素さようその随伴ずいはんの定義ていぎと同おなじであるが、転置てんちと随伴ずいはんは同おなじではない。その大おおきな違ちがいは、転置てんちが双そう線型せんけい形式けいしきであるのに対たいし、随伴ずいはんは半双はんそう線型せんけい形式けいしきを定さだめることである。さらに言いえば、転置てんちが任意にんいのベクトル空間くうかんに対たいして定さだまるのに対たいし、随伴ずいはんはヒルベルト空間くうかんに対たいして定さだまる点てんも異ことなる。

ヒルベルト空間くうかん $X, Y$ と線型せんけい写像しゃぞう $u : X \to Y$ に対たいし、 $u$ の転置てんち $t f$ と随伴ずいはん $u *$ は関係かんけいがある。 $I : X \to X *$ および $J : Y \to Y *$ をそれぞれ、ヒルベルト空間くうかん $X$ および $Y$ のそれぞれの双対そうつい空間くうかんへの自然しぜんな反はん線型せんけい等とう距同型がたとすれば、 $u *$ は写像しゃぞうの合成ごうせい

Y{\overset {J}{{}\to {}}}Y^{*}{\overset {{}^{t\!}u}{{}\to {}}}X^{*}{\overset {I^{-1}}{{}\to {}}}X

に等ひとしい^[5]。

函数かんすう解析かいせき学がくへの応用おうよう[編集へんしゅう]

位相いそう線型せんけい空間くうかん $X, Y$ と線型せんけい写像しゃぞう $u : X \to Y$ に対たいし、 $u$ の性質せいしつの多おおくは随伴ずいはん $u *$ に反映はんえいする。

$A \subseteq X$ および $B \subseteq Y$ はともに弱じゃく閉凸とつ集合しゅうごうで $0$ を含ふくむとすれば、 $u *(B °) \subseteq A °$ ならば $u (A) \subseteq B$ が成なり立たつ^[4]。
$t u$ の核かく空間くうかんは、 $u$ の値域ちいき $u (X)$ に直交ちょっこうする $Y *$ の部分ぶぶん空間くうかんである^[4]。
$t u$ が単たん射いとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、 $u$ の値域ちいき $u (X)$ が弱じゃく閉となることである^[4]。

注ちゅう[編集へんしゅう]

^ Treves 1999, p. 240.
^ Schaefer 1999, p. 128.
^ Halmos 1974, §44.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Schaefer 1999, pp. 129–130.
^ Treves 1999, p. 488.

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Halmos, Paul (1974), Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M.P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 3. New York: Springer-Verlag. ISBN 9780387987262
Trèves, François (1995). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Dover Publications. ISBN 9780486453521

[FOOTNOTETreves1999240-1] Treves 1999, p. 240.

[FOOTNOTESchaefer1999128-2] Schaefer 1999, p. 128.

[FOOTNOTEHalmos1974§44-3] Halmos 1974, §44.

[FOOTNOTESchaefer1999129–130-4] Schaefer 1999, pp. 129–130.

[FOOTNOTETreves1999488-5] Treves 1999, p. 488.

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表ひょう話はなし編へん歴れき関数かんすう解析かいせき学がく
集合しゅうごう / 部分ぶぶん集合しゅうごうのタイプ	均衡きんこう星ほし状じょう絶対ぜったい凸とつ凸とつ併呑へいどん有界ゆうかい（英語えいご版ばん）放射状ほうしゃじょう（英語えいご版ばん）対称たいしょう（英語えいご版ばん）線型せんけい錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）凸とつ錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）
線型せんけい位相いそう空間くうかんのタイプ	バナッハ樽たる型がた界さかい相しょう Brauner（英語えいご版ばん） F-空間くうかん有限ゆうげん次元じげんフレシェ (tame) ヒルベルト LF空間くうかん局所きょくしょ凸とつマッキー（英語えいご版ばん）モンテル核かく型がたノルム付つき（ノルム）準じゅんノルム付つき回帰かいき的てきリーススミス（英語えいご版ばん） Stereotype（英語えいご版ばん）ウェブ付つき位相いそうテンソル積せき（英語えいご版ばん）（ヒルベルト空間くうかんの（英語えいご版ばん））
位相いそう	双対そうつい双対そうつい空間くうかん作用素さようそ強つよ（極ごく作用素さようそ） Ultrastrong（英語えいご版ばん）弱じゃく（作用素さようそ） Ultraweak（英語えいご版ばん）一様いちよう収束しゅうそく（英語えいご版ばん）
線型せんけい作用素さようそ	随伴ずいはん双そう線型せんけい（形式けいしき）有界ゆうかい / 非ひ有界ゆうかい閉（英語えいご版ばん）連続れんぞく / 不連続ふれんぞくコンパクトフレドホルムヒルベルト＝シュミット汎ひろし関数かんすう（正ただし（英語えいご版ばん））正規せいき核かく自己じこ共役きょうやく Strictly singular（英語えいご版ばん）トレースクラス転置てんちユニタリ
集合しゅうごうの操作そうさ	代数だいすう的てき内部ないぶ（核かく）内部ないぶミンコフスキー和わ（英語えいご版ばん）極ごく
バナッハ環たまき	C-環たまきスペクトル（C-環たまき（英語えいご版ばん）半径はんけい) スペクトル理論りろん
定理ていり	Eberlein–Šmulian（英語えいご版ばん）開ひらけ写像しゃぞう角谷かどやの不動点ふどうてんゲルファント＝マズールコーシー＝シュワルツの不等式ふとうしき Goldstine（英語えいご版ばん）シャウダーの不動点ふどうてんパーセヴァルの等式とうしきハーン–バナッハ（分離ぶんり超ちょう平面へいめん）バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語えいご版ばん） Banach–Mazur（英語えいご版ばん）フロイデンタールのスペクトル閉値域ちいき閉グラフベッセルの不等式ふとうしきマッキー＝アレンスマズールの補題ほだいリースの拡張かくちょう Lomonosov's invariant subspace（英語えいご版ばん）ニュートン＝カントロビッチ
解析かいせき	ボホナー空間くうかんフレシェ空間くうかんにおける微分びぶん（英語えいご版ばん）微分びぶん（フレシェガトー汎ひろし函数かんすう holomorphic（英語えいご版ばん））積分せきぶん（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス方正ほうせい弱じゃく) 汎ひろし函数かんすう計算けいさん（Borel（英語えいご版ばん） continuous（英語えいご版ばん） holomorphic（英語えいご版ばん））逆ぎゃく函数かんすう定理ていり（Nash–Moser theorem（英語えいご版ばん））ベクトル測度そくど
応用おうよう	量子力学りょうしりきがくの数学すうがく的てき定式ていしき化か有限ゆうげん要素ようそ法ほう偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいに対たいする精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん
日本人にっぽんじん研究けんきゅう者しゃ	加藤かとう敏夫としお吉田よしだ耕作こうさく藤田ふじた宏ひろし増田ますだ久弥ひさや
海外かいがいの研究けんきゅう者しゃ	リース・フリジェシュステファン・バナフダフィット・ヒルベルトイズライル・ゲルファントピーター・ラックス
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