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有限ゆうげん要素ようそ法ほう

出典しゅってん: フリー百科ひゃっか事典じてん『ウィキペディア（Wikipedia）』
微分びぶん方程式ほうていしき
ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。
ナビエ–ストークス方程式ほうていしき。障害しょうがい物ぶつの周囲しゅういの気流きりゅうのシミュレーションに用もちいられる。
範囲はんい
応用おうよう数学すうがく
社会しゃかい科学かがく
分類ぶんるい
タイプ
変数へんすうのタイプにより
特徴とくちょう
過程かていとの関係かんけい
解かい
一般いっぱん的てきな話題わだい
解法かいほう（英語えいご版ばん）
人物じんぶつ (海外かいがい)
日本人にっぽんじん
計算けいさん物理ぶつり学がく

数値すうち解析かいせき · シミュレーション（英語えいご版ばん）

データ解析かいせき · 可視かし化か（英語えいご版ばん）
ポテンシャル
モース長距離ちょうきょりポテンシャル
レナード-ジョーンズ・ポテンシャル
湯川ゆかわポテンシャル
モースポテンシャル
流体りゅうたい力学りきがく
偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほう

有限ゆうげん差分さぶん法ほう · 有限ゆうげん体積たいせき法ほう
有限ゆうげん要素ようそ法ほう · 境界きょうかい要素ようそ法ほう
格子こうしボルツマン法ほう · リーマン解法かいほう（英語えいご版ばん）
散逸さんいつ粒子りゅうし動力どうりょく学がく（英語えいご版ばん）
SPH法ほう

乱らん流りゅうモデル
モンテカルロ法ほう
モンテカルロ積分せきぶん（英語えいご版ばん）
ギブスサンプリング · メトロポリス法ほう
粒子りゅうし
多た体からだ問題もんだい · Particle-in-cell
分子ぶんし動力どうりょく学がく
研究けんきゅう者しゃ
ゴドゥノフ（英語えいご版ばん） · ウラム
フォン・ノイマン · ガラーキン（英語えいご版ばん）
ローレンツ

有限ゆうげん要素ようそ法ほう（ゆうげんようそほう、英語えいご: Finite Element Method, FEM）は数値すうち解析かいせき手法しゅほうの一ひとつ。 解析かいせき的てきに解とくことが難むずかしい微分びぶん方程式ほうていしきの近似きんじ解かいを数値すうち的てきに得える方法ほうほうの一ひとつであり[1][2][3][4]、 Turner-Clough-Martin-Toppによって導入どうにゅうされた[5]。 方程式ほうていしきが定義ていぎされた領域りょういきを小しょう領域りょういき（要素ようそ）に分割ぶんかつし、各かく小しょう領域りょういきにおける方程式ほうていしきを比較的ひかくてき単純たんじゅんで共通きょうつうな補間ほかん関数かんすうで近似きんじする[3]。 構造こうぞう力学りきがく分野ぶんやで発達はったつし[6]、他たの分野ぶんやでも広ひろく使つかわれている手法しゅほうである。その背景はいけいとなる理論りろんは、関数かんすう解析かいせき(リースの表現ひょうげん定理ていり、ラックス＝ミルグラムの定理ていりなど)と結むすびついて、数学すうがく的てきに整然せいぜんとしている[1][2][注釈ちゅうしゃく 1][7]。

FEMを用もちいて現象げんしょうを研究けんきゅう・分析ぶんせきすることを「有限ゆうげん要素ようそ解析かいせき（FEA）」と呼よぶことがある。

特徴とくちょう[編集へんしゅう]

  • 各かく小しょう領域りょういき内ないを一いち次じ関数かんすうで補間ほかん（近似きんじ空間くうかんが元もとの解かい空間くうかんの部分ぶぶん空間くうかんになる場合ばあいはある種しゅの射影しゃえいを求もとめることになる）した場合ばあい、全ぜん領域りょういきでは適切てきせつなノルムに対たいして最良さいりょう近似きんじであることが示しめされる[注釈ちゅうしゃく 2]。
  • 線形せんけい問題もんだい[8]・非線形ひせんけい問題もんだい[9][10]・動的どうてき解析かいせき[11][12][13]など、さまざまな問題もんだいに対応たいおうできる。これは、近似きんじ方程式ほうていしきの作つくり方かたや領域りょういき形状けいじょうについて、自由じゆう度どが高たかいことに起因きいんする[1][2][3]。
  • FEMでは、変動へんどう微分びぶん法ほうを用もちいて、誤差ごさ関数かんすうを最小さいしょう化かすることで解かいを近似きんじする。

メッシュ[編集へんしゅう]

  • 領域りょういき全体ぜんたいをより単純たんじゅんな部分ぶぶんに細分さいぶん化かすることには、以下いかのような利点りてんがある。
    複雑ふくざつな形状けいじょうを正確せいかくに表現ひょうげんできる。異種いしゅ材料ざいりょうの特性とくせいを与あたえることができる。トータルソリューションの表現ひょうげんが容易ようい。局所きょくしょ的てきな効果こうかを把握はあくできる。
  • 計算けいさんのため小しょう領域りょういきに分割ぶんかつすることを「メッシュを切きる」というい方いかたをする。メッシュの適切てきせつさは解析かいせき結果けっかの正確せいかくさに大おおきく影響えいきょうする。
  • FEMは工学こうがく的てきな解析かいせきを行おこなうための計算けいさんツールとしても広ひろく用もちいられる。FEMを用もちいたCAEソフトウエアでは、複雑ふくざつな幾何きか形状けいじょうを微小びしょう要素ようそに分割ぶんかつするメッシュを自動じどう生成せいせいする機能きのうをもつものがある。ただしそうした場合ばあいも形状けいじょうの特異とくい点てんの扱あつかいに気きをつける必要ひつようがある。（構造こうぞう解析かいせきにおける隅すみ部ぶなど）
  • 自動車じどうしゃや石油せきゆパイプラインのような複雑ふくざつな解析かいせきや、境界きょうかいが移動いどうする固体こたい反応はんのうのように領域りょういきが変化へんかする場合ばあいや、必要ひつような精度せいどが領域りょういき全体ぜんたいで変化へんかする場合ばあいや、解かいが滑なめらかでない場合ばあいなどにはFEMは特とくに適てきしている。FEMではメッシュの粗あらさを調整ちょうせいすることで解析かいせきの計算けいさんコストを抑おさえることができる。（変化へんかが大おおきく重要じゅうような部分ぶぶんはメッシュを細こまかくし予測よそく精度せいどを高たかめ、変化へんかの小ちいさい部分ぶぶんは予測よそく精度せいどを上あげる必要ひつようがないのでメッシュを粗あらくし、計算けいさん量りょうを減へらす。）例たとえば、自動車じどうしゃの正面しょうめん衝突しょうとつシミュレーションでは、車くるまの前部ぜんぶなど重要じゅうような領域りょういきはメッシュを細こまかくし、後部こうぶのメッシュを粗あらくする。また数値すうち気象きしょう予報よほうでは、比較的ひかくてき穏おだやかな場所ばしょよりも、高度こうどに非線形ひせんけいな現象げんしょうが発生はっせいしている場所ばしょ（大気たいき中ちゅうの熱帯ねったい低てい気圧きあつや海洋かいようの渦うずなど）を正確せいかくに予測よそくすることが重要じゅうようになる。

アルゴリズム[編集へんしゅう]

  • 解析かいせき対象たいしょう領域りょういき内ないで成なり立たつ方式ほうしき（ポアソン方程式ほうていしきなど）に対たいしてある重おもみ関数かんすうの積せきを施ほどこし、それを領域りょういき内ないで積分せきぶんした弱じゃく形式けいしきを形成けいせいする。
  • 解析かいせき領域りょういき内部ないぶを小ちいさな有限ゆうげん範囲はんいの要素ようそに分割ぶんかつする。一般いっぱん的てきに、要素ようそはその境界きょうかいに節点せってんが配置はいちされ、要素ようそ内部ないぶの物理ぶつり量りょうは各かく節点せってんに対応たいおうする形状けいじょう関数かんすうと節点せってんの値ねの積せきの和わとして表現ひょうげんされる[注釈ちゅうしゃく 3]。
    有限ゆうげん要素ようそ法ほうでは多おおくの種類しゅるいの要素ようそが定式ていしき化かされていて、問題もんだいに依よって使つかい分わけられるようになっている。要素ようその種類しゅるいの違ちがいは、要素ようその形状けいじょう、要素ようそ内ないでの解かいの近似きんじに用もちいる多項式たこうしきの次数じすうや、隣となり合あう要素ようその間あいだの境界きょうかいでの近似きんじ解かいの連続れんぞく性せいなどによる。
  • 解析かいせき領域りょういき全体ぜんたいの弱じゃく形式けいしきは積分せきぶんで表あらわされるので、それぞれの要素ようそ内ないの積分せきぶんの総和そうわとして表あらわすことができる。つまり、各かく要素ようその節点せってんにおける未知数みちすうに対たいしてこの積分せきぶんを適用てきようすることによって、各かく要素ようその係数けいすう行列ぎょうれつ（連立れんりつ一いち次じ方程式ほうていしきの左辺さへん行列ぎょうれつ）を作成さくせいする（未知数みちすうは変位へんい、速度そくど、圧力あつりょくなど。右辺うへんベクトルも同時どうじに形成けいせいされる）。この係数けいすう行列ぎょうれつは要素ようそ剛性ごうせい行列ぎょうれつと呼よばれる。
    実際じっさいの複雑ふくざつな問題もんだいでは要素ようそ領域りょういき内ないに対たいする積分せきぶんの値ねを解析かいせき的てきな式しき計算けいさんで求もとめるのは難むずかしいので、領域りょういきの補間ほかん関数かんすうの次数じすうに応おうじてガウス・ルジャンドル法ほうなどの数値すうち積分せきぶんを用もちいて近似きんじすることが多おおい[3]。
  • 各かく要素ようそにおける係数けいすう行列ぎょうれつ（要素ようそ係数けいすう行列ぎょうれつ）の総和そうわを取とって領域りょういき全体ぜんたいの係数けいすう行列ぎょうれつ（全体ぜんたい剛性ごうせい行列ぎょうれつ[14]と呼よばれる）を作成さくせいし、解かいを求もとめることができる。

多おおくの場合ばあいに有限ゆうげん要素ようそ法ほうでは、近似きんじ解かいを求もとめることが連立れんりつ一いち次じ方程式ほうていしきを解とくことに帰着きちゃくされる (つまり最終さいしゅう的てきには数値すうち線形せんけい代数だいすうの知識ちしきが必要ひつようになる)[3]。得えられる全体ぜんたいの係数けいすう行列ぎょうれつは一般いっぱんに疎行列そぎょうれつとなる。使用しよう記憶きおく領域りょういきの削減さくげんと計算けいさん速度そくど向上こうじょうのため、行列ぎょうれつのデータ構造こうぞうには様々さまざまな形式けいしきが用もちいられ、その格納かくのう形式けいしきに対応たいおうして効率こうりつよく解とくソルバーが存在そんざいする。たとえば、直接ちょくせつ法ほうで解とく場合ばあいのスカイライン法ほうなどが知しられている[15]。

形状けいじょう関数かんすう[編集へんしゅう]

形状けいじょう関数かんすうとは、節点せってんにおける物理ぶつり量りょう（変位へんいなど）から要素ようそ内ないの物理ぶつり量りょうを内うち挿するために用もちいられる関数かんすうである。たとえば四よん面体めんてい一いち次じ要素ようその場合ばあい、4つの頂点ちょうてんに節点せってんi = 1, ... , 4 がとられ、節点せってんi に対たいする形状けいじょう関数かんすうNi とそれぞれの点てんにおける物理ぶつり量りょうui を用もちいて、要素ようそ内ないの任意にんいの点てん p における物理ぶつり量りょうup は形状けいじょう関数かんすうの線形せんけい結合けつごうとして

と表あらわされる。

形状けいじょう関数かんすうNi には、

  • 節点せってんi の位置いちにおいてNi = 1
  • それ以外いがいの節点せってん位置いちにおいてNi = 0

という性質せいしつがある。

構造こうぞう解析かいせき分野ぶんやへの応用おうよう[6][編集へんしゅう]

複雑ふくざつな構造こうぞう物ぶつを小ちいさな要素ようその集合しゅうごう体たいとして、（静的せいてき解析かいせきの場合ばあい）一いち次じ方程式ほうていしきに各かく節点せってんの変位へんい量りょうの境界きょうかい条件じょうけん（ディリクレ境界きょうかい条件じょうけんやノイマン境界きょうかい条件じょうけん等ひとし）を代入だいにゅうして解とく。

対象たいしょうの構造こうぞうに外力がいりょくが加くわわって変形へんけいする場合ばあいなどを解析かいせきする際さいに、構造こうぞう解析かいせきには大おおきく分わけて、変位へんいを未知数みちすうにとる変位へんい法ほうと応力おうりょくを未知数みちすうにとる応力おうりょく法ほうがあり、有限ゆうげん要素ようそ構造こうぞう解析かいせきでは変位へんい法ほうが主流しゅりゅうである。その理由りゆうは、応力おうりょく法ほうに比くらべてアルゴリズムが機械きかい的てきに実行じっこうでき、プログラミングに適てきしているからである。機械きかい設計せっけい分野ぶんやではCADきゃどモデルを用もちいた解析かいせきが浸透しんとうしている[16]。

その他たの分野ぶんやへの応用おうよう[編集へんしゅう]

構造こうぞう解析かいせきでは使用しようしている式しきに意味いみづけをしているが、その他たの分野ぶんやでは手法しゅほうとして使用しようすることが多おおい。電子でんし状態じょうたい計算けいさん（→実じつ空間くうかん法ほう[17]）・電気でんき工学こうがく[18]・電磁場でんじば解析かいせき[19]・流体りゅうたい解析かいせき[20][21][22]など、微分びぶん方程式ほうていしきで記述きじゅつされるあらゆる場ばの問題もんだいに適用てきよう可能かのうであって、近年きんねんではそれらの連れん成なり解析かいせき[23]（流体りゅうたい構造こうぞう連れん成なり、電磁場でんじば構造こうぞう解析かいせきなど）も盛さかんに研究けんきゅうされている。 また、従来じゅうらいは取扱とりあつかいが難むずかしかったクラックや大だい変形へんけい問題もんだいに対たいして、格子こうしを用もちいないメッシュフリー法ほうの研究けんきゅうも行おこなわれている[24][25][26]。

関連かんれん項目こうもく[編集へんしゅう]

手法しゅほう[編集へんしゅう]

ソフトウェア[編集へんしゅう]

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

  1. ^ たとえば、有限ゆうげん要素ようそ法ほうによって構成こうせいされる近似きんじ解かいが属ぞくする集合しゅうごうは、元もとの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいが属ぞくする関数かんすう空間くうかんの有限ゆうげん次元じげん部分ぶぶん空間くうかんとなるように構成こうせいされることが多おおい。
  2. ^ 補間ほかん方法ほうほうの理論りろん的てき背景はいけいとして、ガラーキン法ほう（英語えいご版ばん、フランス語ふらんすご版ばん、イタリア語ご版ばん、ドイツ語ご版ばん）（重おもみつき残ざん差さ法ほうの一種いっしゅ）やレイリー・リッツ法ほう（最小さいしょうポテンシャル原理げんり）を適用てきようして解かいを求もとめるが、両りょう方式ほうしきは最終さいしゅう的てきに同おなじ弱じゃく形式けいしきに帰着きちゃくされる。
  3. ^ したがって、使用しようする形状けいじょう関数かんすうには一定いっていの制限せいげんがある。

出典しゅってん[編集へんしゅう]

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関連かんれん文献ぶんけん[編集へんしゅう]

和書わしょ[編集へんしゅう]

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  • 矢川やがわ元もと基もと、半谷はんがい裕彦ひろひこ：「有限ゆうげん要素ようそ法ほうの基礎きそ」、朝倉書店あさくらしょてん、ISBN 4-254-23079-6（1994年ねん6月がつ15日にち）。
  • 日本にっぽん塑性そせい加工かこう学会がっかい (編へん)：「非線形ひせんけい有限ゆうげん要素ようそ法ほう－線形せんけい弾性だんせい解析かいせきから塑性そせい加工かこう解析かいせきまで」 、コロナ社しゃ、ISBN 978-4339043181（1994年ねん12月1日にち）。
  • 久田ひさた俊明としあき、野口のぐち裕久ひろひさ：「非線形ひせんけい有限ゆうげん要素ようそ法ほうの基礎きそと応用おうよう」、丸善まるぜん、ISBN 978-4621041253（1996年ねん1月がつ1日にち）。
  • 棚橋たなはし隆彦たかひこ：「流ながれの有限ゆうげん要素ようそ法ほう解析かいせき I」、朝倉書店あさくらしょてん、ISBN 4-254-11406-0（1997年ねん9月がつ10日とおか）。
  • 棚橋たなはし隆彦たかひこ：「流ながれの有限ゆうげん要素ようそ法ほう解析かいせき II」、朝倉書店あさくらしょてん、ISBN 4-254-11407-9（1997年ねん9月がつ10日とおか）。
  • 三好みよし俊郎としお、白鳥しらとり正樹まさき、坂田さかた信二しんじ：「有限ゆうげん要素ようそ法ほう解析かいせき」、朝倉書店あさくらしょてん、ISBN 4-254-11405-2（1998年ねん9月がつ1日にち）。
  • 矢川やがわ元もと基もと、塩谷しおや隆二りゅうじ：「超ちょう並列へいれつ有限ゆうげん要素ようそ解析かいせき」、朝倉書店あさくらしょてん、ISBN 4-254-23662-X（1998年ねん10月がつ20日はつか）。
  • 久田ひさた俊明としあき：「非線形ひせんけい有限ゆうげん要素ようそ法ほうのためのテンソル解析かいせきの基礎きそ」、丸善まるぜん、ISBN 978-4621045817（1999年ねん9月がつ1日にち）。
  • 矢川やがわ元もと基もと、青山あおやま裕司ゆうじ： 「有限ゆうげん要素ようそ法ほう固有値こゆうち解析かいせき」、森北もりきた出版しゅっぱん、ISBN 4-627-91761-9（2001年ねん9月がつ28日にち）。
  • 日本にっぽん計算けいさん工こう学会がっかい（編へん）、手塚てづか明あきら、土田つちた英二えいじ：「アダプティブ有限ゆうげん要素ようそ法ほう」、丸善まるぜん（2003年ねん8月がつ30日にち）。
  • 矢川やがわ元もと基もと、吉村よしむら忍しのぶ：「計算けいさん固体こたい力学りきがく」、岩波書店いわなみしょてん（シリーズ現代げんだい工学こうがく入門にゅうもん）、ISBN 4-00-006942-X（2005年ねん7月がつ7日にち）。
  • 福森ふくもり栄次えいじ：「よくわかる有限ゆうげん要素ようそ法ほう」、オおーム社むしゃ、ISBN 4-274-06628-2（2005年ねん11月15日にち）。
  • 林はやし正ただし：「ハイアラーキ有限ゆうげん要素ようそ法ほう―大型おおがた要素ようそによる高こう精度せいど解析かいせき法ほう」、技報堂ぎほうどう出版しゅっぱん、ISBN 978-4765517119 (2006年ねん12月がつ）。
  • 川面かわづら恵めぐみ司し、渡邉わたなべ隆之たかゆき、岡本おかもと紀明のりあき:「有限ゆうげん要素ようそ法ほうのモデル化か技術ぎじゅつと応用おうよう解析かいせき」、養やしなえ賢堂かしこどう、ISBN 978-4-8425-0422-3（2007年ねん6月がつ27日にち）。
  • 邵長城じょう：「基本きほんからわかる有限ゆうげん要素ようそ法ほう」、森北もりきた出版しゅっぱん、ISBN 978-4-627-91991-4（2008年ねん10月がつ1日にち）。
  • Jacob Fish, Ted Belytschko: 「有限ゆうげん要素ようそ法ほう」、丸善まるぜん、ISBN 978-4-621-07996-6（2008年ねん12月25日にち）。
  • 浦川うらかわ肇はじめ：「ラプラシアンの幾何きかと有限ゆうげん要素ようそ法ほう」、朝倉書店あさくらしょてん(朝倉あさくら数学すうがく大系たいけい3)、ISBN 978-4-254-11823-0（2009年ねん10月がつ25日にち）。
  • 板いた根ね政男まさお：「例題れいだいで学まなぶ Marc有限ゆうげん要素ようそ法ほう解析かいせき入門にゅうもん」、丸善まるぜん、ISBN 978-4-621-08362-8（2011年ねん3月がつ30日にち）。
  • EA de Souza Neto、D. Peric, DRJ Owen:「非線形ひせんけい有限ゆうげん要素ようそ法ほう－弾だん塑性そせい解析かいせきの理論りろんと実践じっせん」、森北もりきた出版しゅっぱん、ISBN 978-4-627-92021-7 (2012年ねん6月がつ30日にち)。
  • 竹内たけうち則雄のりお、樫山かしやま和男かずお、寺田てらだ賢二郎けんじろう：「計算けいさん力学りきがく（第だい2版はん）－有限ゆうげん要素ようそ法ほうの基礎きそ」、森北もりきた出版しゅっぱん、ISBN 978-4-627-91802-3（2012年ねん12月5日にち）。
  • 藤井ふじい文夫ふみお、田中たなか真人まさと、佐藤さとう繊美：「Fortran90/95による有限ゆうげん要素ようそ法ほうプログラミング」、丸善まるぜん出版しゅっぱん、ISBN 978-4-621-08784-8（2014年ねん1月がつ20日はつか）。
  • 大塚おおつか厚あつし二に、高石たかいし武史たけし：「有限ゆうげん要素ようそ法ほうで学まなぶ現象げんしょうと数理すうり：FreeFEM++ 数理すうり思考しこうプログラミング」、共立きょうりつ出版しゅっぱん、ISBN 978-4-320-01953-9 (2014年ねん2月がつ15日にち)。
  • 森もり正武まさたけ：「有限ゆうげん要素ようそ法ほうとその応用おうよう」、岩波書店いわなみしょてん、ISBN 978-4007303685（2016年ねん2月がつ10日とおか）。
  • Javier Bonet, Richard D. Wood: 「非線形ひせんけい有限ゆうげん要素ようそ法ほうのための連続れんぞく体力たいりょく学がく（第だい2版はん）」、森北もりきた出版しゅっぱん、ISBN 978-4-627-67512-4 (2017年ねん6月がつ21日にち)。
  • 日本にっぽん計算けいさん工こう学会がっかい（編へん）：「第だい3版はん 有限ゆうげん要素ようそ法ほうによる流ながれのシミュレーション」、丸善まるぜん出版しゅっぱん、ISBN 978-4-621-30183-8（2017年ねん7月がつ30日にち）。
  • 久田ひさた俊明としあき、野口のぐち裕久ひろひさ：「復刊ふっかん 非線形ひせんけい有限ゆうげん要素ようそ法ほうの基礎きそと応用おうよう」、丸善まるぜん、ISBN 978-4621305676（2020年ねん10月がつ26日にち）。

洋書ようしょ[編集へんしゅう]

  • Susanne C. Brenner , L. Ridgway Scott: "The Mathematical Theory of Finite Element Methods", Springer-Verlag New York, ISBN 978-0-387-75933-3 (2008).
  • Claes Johnson、Mathematics:"Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method"、Dover Publications、ISBN 978-0486469003 (2009年ねん1月がつ15日にち)。
  • Mats G. Larson, Fredrik Bengzon: "The Finite Element Method: Theory, Implementation, and Applications"、Springer、ISBN 978-3642332869 (2013年ねん1月がつ12日にち).
  • Douglas N. Arnold: "Finite Element Exterior Calculus", SIAM (2018), ISBN 978-1-61197-553-6, doi:10.1137/1.9781611975543.
  • Leszek F. Demkowicz: "Mathematical Theory of Finite Elements", SIAM, ISBN 978-1-61197-772-1 (2024).

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]

実装じっそう[編集へんしゅう]

有限ゆうげん差分さぶん法ほう
放ひ物もの型がた偏へん微分びぶん方程式ほうていしき
双そう曲きょく型がた偏へん微分びぶん方程式ほうていしき
その他た
有限ゆうげん体積たいせき法ほう
有限ゆうげん要素ようそ法ほう
メッシュフリー法ほう・粒子りゅうし法ほう
領域りょういき分割ぶんかつ法ほう
その他た
集合しゅうごう / 部分ぶぶん集合しゅうごうのタイプ
線型せんけい位相いそう空間くうかんのタイプ
位相いそう
線型せんけい作用素さようそ
集合しゅうごうの操作そうさ
バナッハ環たまき
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解析かいせき
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