積分せきぶん変換へんかん

数学すうがくの分野ぶんやにおける積分せきぶん変換へんかん（せきぶんへんかん、英えい: Integral transform）とは、次つぎの形かたちをとるような変換へんかん T のことである：

(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)f(t)\,dt.

この積分せきぶん変換へんかんの入力にゅうりょくは関数かんすう f であり、出力しゅつりょくは関数かんすう Tf である。積分せきぶん変換へんかんは作用素さようその一種いっしゅである。

多おおくの便利べんりな積分せきぶん変換へんかんが存在そんざいする。個々ここの積分せきぶん変換へんかんは、その変換へんかんの核かく関数かんすう (kernel function) あるいは核かく (kernel, nucleus) と呼よばれる二に変数へんすう関数かんすう K を定さだめれば決きまる。また、積分せきぶん区間くかんは，核かくによって適当てきとうに定さだめられる。いくつかの核かく関数かんすうには逆ぎゃく K⁻¹(u, t) が存在そんざいし、それは（大おおまかに言いえば）次つぎのような逆ぎゃく変換へんかんを満みたす:

f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)(Tf(u))\,du.

このような公式こうしきは反転はんてん公式こうしきと呼よばれる。二に変数へんすうの順番じゅんばんが変かわっても変化へんかしないような核かくは対称たいしょう核かくと呼よばれる。

動機どうき

数学すうがくに関かんする記述きじゅつはさておき、積分せきぶん変換へんかんが用もちいられる動機どうきは理解りかいしやすいものである。もともとの表記ひょうき法ほうでは、解とくことの難むずかしい（少すくなくとも代数だいすう的てきに扱あつかいづらい）問題もんだいが多おおく存在そんざいする。積分せきぶん変換へんかんは、それらの問題もんだいの方程式ほうていしきを、元もとの「領域りょういき」から別べつの領域りょういきへと「写うつす」。その写うつされた領域りょういきで方程式ほうていしきを扱あつかい、そして解とくことの方ほうが、元もとの領域りょういきで行おこなうよりもはるかに簡単かんたんであるような場合ばあいがある。そうして得えられた解かいを、積分せきぶん変換へんかんの逆ぎゃくによって元もとの領域りょういきへと戻もどすのである。

歴史れきし

積分せきぶん変換へんかんの前身ぜんしんは、有限ゆうげん区間くかんにおける関数かんすうの表現ひょうげんのためのフーリエ級数きゅうすうである。その後ご、有限ゆうげん区間くかんという制限せいげんを取とり払はらうために、フーリエ変換へんかんが開発かいはつされた。

フーリエ級数きゅうすうを用もちいることで、どのような実践じっせん的てきな時間じかん依存いぞんの関数かんすう（例たとえば、電子でんし装置そうちのターミナルを通過つうかする電圧でんあつなど）でも正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすうの和わで表あらわすことが出来でき、それらは定数ていすう係数けいすうをかけることによりスケールが適正てきせいに調整ちょうせいされ、時間じかんに関かんして前進ぜんしんあるいは後退こうたいさせることでシフトされ、振動しんどう数すうを増加ぞうかあるいは減少げんしょうすることにより「圧縮あっしゅく」あるいは「伸長しんちょう」される。フーリエ級数きゅうすうにおける正弦せいげん関数かんすうおよび余弦よげん関数かんすうは正規せいき直交ちょっこう基底きていの例れいである。

積分せきぶん変換へんかんの表ひょう

積分せきぶん変換へんかんの表ひょう
名称めいしょう	記号きごう	$K$	t₁	t₂	$K^{-1}$	u₁	u₂
フーリエ変換へんかん	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
フーリエ正弦せいげん変換へんかん	${\mathcal {F}}_{s}$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$
フーリエ余弦よげん変換へんかん	${\mathcal {F}}_{c}$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0\,$	$\infty \,$
ハートレー変換へんかん	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
メリン変換へんかん	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
両側りょうがわラプラス変換へんかん	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
ラプラス変換へんかん	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
ワイエルシュトラス変換へんかん（英語えいご版ばん）	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
ハンケル変換へんかん		$t\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$
アーベル変換へんかん（英語えいご版ばん）		${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$	$u\,$	$\infty \,$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	$t\,$	$\infty \,$
ヒルベルト変換へんかん	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
ポアソン核かく		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0\,$	$2\pi \,$
恒等こうとう変換へんかん		$\delta (u-t)\,$	$t_{1}<u\,$	$t_{2}>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

逆ぎゃく変換へんかんに対たいする積分せきぶんの極限きょくげんにおいて、上うえの表ひょうにおける c は変換へんかん関数かんすうの性質せいしつに依存いぞんする定数ていすうとなる。例たとえば、ラプラス変換へんかんあるいは両側りょうがわラプラス変換へんかんに対たいし、c は変換へんかん関数かんすうの零れい点てんの実み部ぶのうち最大さいだいのものよりも必かならず大おおきい定数ていすうとなる。

定義ていぎ域いきが異ことなる場合ばあい

本ほん項こうでは主おもに、実数じっすう全体ぜんたいで定義ていぎされた関数かんすうに対たいして定義ていぎされる積分せきぶん変換へんかんを扱あつかうが、より一般いっぱんな群ぐん上じょうで定義ていぎされた関数かんすうに対たいしてもその積分せきぶん変換へんかんを定義ていぎすることが出来できる。

円周えんしゅう群ぐん上じょうで定義ていぎされた函数かんすう（つまり周期しゅうき関数かんすう）を用もちいた場合ばあい、積分せきぶん核かくは二に重じゅう周期しゅうき関数かんすうとなる。円周えんしゅう上じょうの関数かんすうによる畳たたみ込こみは巡回じゅんかい畳たたみ込こみである。
位い数すう n の巡回じゅんかい群ぐん（これを C_n や Z/nZ で表あらわす）の上うえで定義ていぎされた関数かんすうを用もちいた場合ばあい、積分せきぶん核かくは n × n 行列ぎょうれつとなり、畳たたみ込こみは巡回じゅんかい行列ぎょうれつに対応たいおうする。

一般いっぱん論ろん

各々おのおのの積分せきぶん変換へんかんが持もつ性質せいしつは多岐たきに渡わたるが、いくつかの性質せいしつは共通きょうつうのものとなっている。例たとえば、すべての積分せきぶん変換へんかんは線形せんけい作用素さようそである。実じつは、核かく函数かんすうが超ちょう関数かんすうとなることをも許ゆるせば、すべての線形せんけい作用素さようそは積分せきぶん変換へんかんになる（このことをきちんと定式ていしき化かしたものがシュワルツの核かく定理ていり（英語えいご版ばん）である）。

そのような積分せきぶん方程式ほうていしきに関かんする一般いっぱん論ろんはフレドホルム理論りろんとして知しられている。この理論りろんでは、核かくとは「関数かんすうからなる或あるるバナッハ空間くうかん上うえのコンパクト作用素さようそ」のことであるものと理解りかいされる。状況じょうきょうに応おうじてその核かくはフレドホルム作用素さようそ、核かく作用素さようそ、フレドホルム核かくなど様々さまざまな呼よばれ方かたをする。

参考さんこう文献ぶんけん

A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
R. K. M. Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.