ラプラス変換へんかん

関数かんすう変換へんかん

関数かんすう解析かいせき学がくにおいて、ラプラス変換へんかん（ラプラスへんかん、英えい: Laplace transform）とは、積分せきぶんで定義ていぎされる関数かんすう空間くうかんの間あいだの写像しゃぞう（線型せんけい作用素さようそ）の一種いっしゅ。関数かんすう変換へんかん。積分せきぶん変換へんかんの一種いっしゅ。

ラプラス変換へんかんの名なは18世紀せいきの数学すうがく者しゃピエール＝シモン・ラプラスにちなむ。

ラプラス変換へんかんによりある種しゅの微分びぶん・積分せきぶんは積せきなどの代数だいすう的てきな演算えんざんに置おき換かわるため、制御せいぎょ工学こうがくなどにおいて時間じかん領域りょういきの（とくに超越ちょうえつ的てきな）関数かんすうを別べつの領域りょういきの（おもに代数だいすう的てきな）関数かんすうに変換へんかんすることにより、計算けいさん方法ほうほうの見通みとおしを良よくするための数学すうがく的てきな道具どうぐとして用もちいられる。従したがって、数学すうがくの中なかではかなり応用おうよう寄よりの分野ぶんやである。

フーリエ変換へんかんを発展はってんさせて、より適用てきよう範囲はんいを広ひろげた計算けいさん手法しゅほうである。1899年ねんに電気でんき技師ぎしであったオリヴァー・ヘヴィサイドが回路かいろ方程式ほうていしきを解とくための実用じつよう的てきな演算えんざん子こを経験けいけん則そくとして考案こうあんして発表はっぴょうし、後のちに数学すうがく者しゃがその演算えんざん子こに対たいし厳密げんみつに理論りろん的てきな裏付うらづけを行おこなった経緯けいいがある。理論りろん的てきな根拠こんきょが曖昧あいまいなままで発表はっぴょうされたため、この計算けいさん手法しゅほうに対たいする懐疑かいぎ的てきな声こえも多おおかった。この「ヘヴィサイドの演算えんざん子こ」の発表はっぴょうの後のちに、多おおくの数学すうがく者しゃ達たちにより数学すうがく的てきな基盤きばんは1780年ねんの数学すうがく者しゃピエール＝シモン・ラプラスの著作ちょさくにある事ことが指摘してきされた(この著作ちょさくにおいてラプラス変換へんかんの公式こうしきが頻繁ひんぱんに現あらわれていた)。

フーリエ変換へんかんがL^1((-∞,∞))上じょうのゲルファント変換へんかんであるのに対たいしラプラス変換へんかんはL^1((0,∞))上じょうのゲルファント変換へんかんと説明せつめいできる。

これと類似るいじの解法かいほうとして、より数学すうがく的てきな側面そくめんから作つくられた演算えんざん子こ法ほうがある。こちらは演算えんざん子この記号きごうを多項式たこうしきに見立みたてて、代数だいすう的てきに変形へんけいし、公式こうしきに基もとづいて特とく解かいを求もとめる方法ほうほうである。

定義ていぎ

実数じっすう t ≥ 0 について定義ていぎされた関数かんすう f (t) のラプラス変換へんかんとは

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t$

で定義ていぎされる s の関数かんすう F(s) のことである。ここで s は複素数ふくそすうであり、2 つの実数じっすう σしぐま, ωおめが を用もちいて s = σしぐま + iωおめが と表あらわすことができる（i は虚数きょすう単位たんい）。右辺うへんの積分せきぶんはラプラス積分せきぶん (Laplace integral) と呼よばれる。これは時間じかん領域りょういきから複素ふくそ平面へいめんへの写像しゃぞうである。

また、c > 0 として、関数かんすう F(s) から元もとの関数かんすう f (t) を計算けいさんすることを逆ぎゃくラプラス変換へんかん (inverse Laplace transform) といい、

$f(t)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-ip}^{c+ip}F(s)\mathrm {e} ^{st}\,\mathrm {d} s$

のように定義ていぎされている。ここでcは全すべての特異とくい点てんの実み部ぶよりも大おおきい実数じっすうである。右辺うへんの積分せきぶんはブロムウィッチ積分せきぶん (Bromwich integral) と呼よばれる。これは複素ふくそ平面へいめんから時間じかん領域りょういきへの写像しゃぞうである。

複素ふくそ平面へいめんを用もちいたブロムウィッチ積分せきぶんの解説かいせつ

これは複素ふくそ積分せきぶんとなっている。定義ていぎ通どおりの積分せきぶん経路けいろでは計算けいさんが難むずかしくなるが、閉曲線へいきょくせんとなるように積分せきぶん経路けいろを変更へんこうして留とめ数すうを計算けいさんすることにより簡単かんたんに逆ぎゃくラプラス変換へんかんを求もとめる事ことが可能かのうとなる。結果けっかを言いえば複素ふくそ平面へいめん上じょうの全すべての特異とくい点てんの留とめ数すうの総和そうわとなる。ここで、f (t) を原はら関数かんすう (original function)、F(s) を像ぞう関数かんすう (image function) という。

ラプラス変換へんかんの他ほかの記述きじゅつの仕方しかたとして、次つぎのようなものもある。

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]$

同様どうように逆ぎゃくラプラス変換へんかんは、次つぎのようにも記述きじゅつされる。

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}[F(s)]$

また、これらの記号きごうを用もちいた写像しゃぞう

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&\colon ~f\mapsto F,\\{\mathcal {L}}^{-1}&\colon F\mapsto f\end{aligned}}$

のことも、それぞれラプラス変換へんかん、逆ぎゃくラプラス変換へんかんと呼よぶ。

普通ふつう、ラプラス変換へんかんおよび逆ぎゃくラプラス変換へんかんを行おこなう際さいには変換へんかん表ひょうを参照さんしょうして計算けいさんする場合ばあいが多おおいので、前述ぜんじゅつした定義ていぎ式しきにしたがって計算けいさんすることは少すくない。だが場合ばあいによっては定義ていぎ式しきから計算けいさんしたほうが簡単かんたんなときもある。たとえば逆ぎゃくラプラス変換へんかんをする際さいに部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかいをしなければならない場合ばあい、むしろブロムウィッチ積分せきぶんを計算けいさんしたほうが早はやいことも多おおい。

注ちゅう：

ラプラス変換へんかんは、関数かんすう f (t) にいったん e^{−σしぐまt}θしーた(t) を乗じょうじてからフーリエ変換へんかんする操作そうさであると考かんがえることができる（ここで θしーた(t) はステップ関数かんすうである）。

$F(s):=F(\sigma ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\theta (t)f(t)\mathrm {e} ^{-\sigma t}\mathrm {e} ^{-i\omega t}\,\mathrm {d} t{\overset {s=\sigma +i\omega }{=\!=}}\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-st}\,\mathrm {d} t$

両側りょうがわラプラス変換へんかん

詳細しょうさいは「両側りょうがわラプラス変換へんかん」を参照さんしょう

両側りょうがわラプラス変換へんかんは積分せきぶん区間くかんを全ぜん実数じっすう域いきへと拡張かくちょうしたもので、以下いかのように定義ていぎされる。

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t$

母はは関数かんすうとの関係かんけい

数列すうれつ a_n の（通常つうじょう型がた）母はは関数かんすう

$G(a_{n};x)=\sum _{n}a_{n}x^{n}\,$

において x = e^−s とすると、

$G(a_{n};\mathrm {e} ^{-s})=\sum _{n}a_{n}\mathrm {e} ^{-sn}\,$

となる。 ここで和わを積分せきぶんに変かえれば

$G(a_{t};\mathrm {e} ^{-s})=\int a_{t}\mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t\,$

となり、関数かんすう a_t のラプラス変換へんかんと一致いっちする。この意味いみにおいてラプラス変換へんかんは母はは関数かんすうの「連続れんぞく版ばん」とみなすことができる。 こうした理由りゆうにより、母はは関数かんすうとラプラス変換へんかんは同種どうしゅの性質せいしつを満みたすことがある。たとえば母はは関数かんすうの性質せいしつ

$G(a_{n};x)G(b_{n};x)=G(a_{n}*b_{n};x)\,$

はラプラス変換へんかんの性質せいしつ

${\mathcal {L}}[f](s){\mathcal {L}}[g](s)={\mathcal {L}}[f*g](s)\,$

に対応たいおうする。ここで * は畳たたみ込こみ積せき。

性質せいしつ

ラプラス変換へんかんと逆ぎゃくラプラス変換へんかんは互たがいに他たの逆ぎゃく変換へんかんである。

${\mathcal {L}}{\mathcal {L}}^{-1}={\mathcal {L}}^{-1}{\mathcal {L}}=I$

ここで、I は恒等こうとう変換へんかんを表あらわす。

線型せんけい性せい

ラプラス変換へんかんは線型せんけい性せいを持もち、したがって特とくに重かさね合あわせの原理げんり を用もちいて計算けいさんすることが可能かのうである。ラプラス変換へんかんが線型せんけい性せいを持もつとは、任意にんいの関数かんすう f(t), g(t) に対たいして

${\mathcal {L}}[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)$

が成なり立たつということである。ただし、a, b は t に関係かんけいしない定数ていすう。逆ぎゃくラプラス変換へんかんも同様どうように線形せんけい性せいを持もち、

${\mathcal {L}}^{-1}[aF(s)+bG(s)]=af(t)+bg(t)$

が成なり立たつ。したがって、与あたえられた関数かんすうを部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかいできるとき、各かく因子いんしがラプラス変換へんかんの表ひょうにあるものに合致がっちすれば、その変換へんかんが求もとめられる。

相似そうじ性せい

a > 0 のとき、

${\mathcal {L}}\left[f(at)\right]={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)$

が成立せいりつする。

微分びぶん式しき

時間じかん t に関かんする導しるべ関数かんすうのラプラス変換へんかんは多項式たこうしきの差さとなって現あらわれる。実際じっさいに、一いち階かいの導しるべ関数かんすうをラプラス変換へんかんすると以下いかのように f (0)（元もとの式しきに 0 を代入だいにゅうした値ね）が現あらわれる。

${\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} f(t)}{\mathrm {d} t}}\right]=sF(s)-f(0)$

また、二に階かい導しるべ関数かんすうの場合ばあいは f (0) に加くわえ、t = 0 における微分びぶん係数けいすう f'(0) が現あらわれる。

${\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)$

これを繰くり返かえすと、一般いっぱんの n 階かいの導しるべ関数かんすうのラプラス変換へんかんは以下いかのようになる。

${\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right]=s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}f^{(k)}(0)$
$=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f^{(1)}(0)-s^{n-3}f^{(2)}(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

積分せきぶん式しき

${\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{t}f(u)\mathrm {d} u\right]={\frac {1}{s}}F(s)$

畳たたみ込こみ

関数かんすうの畳たたみ込こみはラプラス変換へんかんで積せき（値ねごとの積せき）に写うつされる。

${\mathcal {L}}[f(t)*g(t)]=F(s)\,G(s)$

これは、H(s) = F(s)G(s) かつ

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)],\,G(s)={\mathcal {L}}[g(t)]$

ならば

${\mathcal {L}}^{-1}[H(s)]=f(t)*g(t)$

と書かくこともできる。

初期しょき値ちの定理ていり・最終さいしゅう値ちの定理ていり

ラプラス変換へんかんの原げん関数かんすうの初期しょき値ち（t = 0 での値ね）や最終さいしゅう値ち（t → ∞ における極限きょくげん値ち）を表あらわす初期しょき値ちの定理ていり (initial value theorem) および最終さいしゅう値ちの定理ていり (final value theorem) と呼よばれる公式こうしきが以下いかのような式しきによって与あたえられる。

初期しょき値ちの定理ていり

t の関数かんすう f (t) が t = 0 で連続れんぞくならば

$f(0)=\lim _{t\rightarrow 0}f(t)=\lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)$

が成なり立たつ。特とくに、f が微分びぶん可能かのうなときは部分ぶぶん積分せきぶんにより容易よういに証明しょうめいできる。

最終さいしゅう値ちの定理ていり

t の関数かんすう f (t) が t → ∞ で収束しゅうそくするなら

$f(\infty )=\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{s\rightarrow 0}sF(s)\qquad s\in \Delta _{0}$

が成なり立たつ。ただし、Δでるた₀ は s > 0 を含ふくむ角かく領域りょういきである。

性質せいしつ一覧いちらん表ひょう

• 表ひょう中ちゅうの凡例はんれい

$u(t)$ : ヘビサイド関数かんすう

$(f*g)(t)$ : f と g の畳たたみ込こみ

$f'(t)$ : f (t) の 1 階かい微分びぶん

$f^{(n)}(t)$ : f (t) の n 階かい微分びぶん

片側かたがわラプラス変換へんかんの性質せいしつ（その 1）

性質せいしつ	原はら関数かんすう $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$ （'t' 領域りょういき / 時間じかん領域りょういき）	像ぞう関数かんすう $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ （'s' 領域りょういき / 周波数しゅうはすう領域りょういき）	備考びこう
線形せんけい性せい	$af(t)+bg(t)~$	$aF(s)+bG(s)~$
相似そうじ性せい	$f(at)~$	${1 \over a}F\left({s \over a}\right)$	ただし、a > 0
移動いどう	$f(t-a)u(t-a)~$	$\mathrm {e} ^{-as}F(s)~$
	$f(t+\lambda )~$	$\mathrm {e} ^{\lambda s}\left\{F(s)-\int _{0}^{\lambda }\mathrm {e} ^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t\right\}~$	移動いどう第だい 2 則のり ただし、λらむだ > 0
1 階かい微分びぶん	$f'(t)~$	$sF(s)-f(0)~$	ただし、ƒ は 1 階かい微分びぶん可能かのうとする。
2 階かい微分びぶん	$f''(t)\,$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\,$	ただし、ƒ は 2 階かい微分びぶん可能かのうとする。
n 階かい微分びぶん	$f^{(n)}(t)~$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)~$	ただし、ƒ は n 階かい微分びぶん可能かのうとする。
積分せきぶん	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau =(u*f)(t)~$	${1 \over s}F(s)~$
	${\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{t}(t-q)^{n-1}f(q)\mathrm {d} q~$	${\frac {1}{s^{n}}}F(s)~$	ただし、n ≥ 1
	$\int _{0}^{t}\int _{0}^{\tau _{n-1}}\cdots \int _{0}^{\tau _{1}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrm {d} \tau _{1}\cdots \mathrm {d} \tau _{n-1}~$	${\frac {1}{s^{n}}}F(s)~$
畳たたみ込こみ	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(u)\,g(t-u)\,du~$	$F(s)\cdot G(s)~$
周期しゅうき関数かんすう	$f(t)=f(t+T)~$	${1 \over 1-\mathrm {e} ^{-Ts}}\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t$	f (t) は周期しゅうき T の周期しゅうき関数かんすう。

片側かたがわラプラス変換へんかんの性質せいしつ（その 2）

性質せいしつ	像ぞう関数かんすう $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ （'s' 領域りょういき / 周波数しゅうはすう領域りょういき）	原はら関数かんすう $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$ （'t' 領域りょういき / 時間じかん領域りょういき）	備考びこう
移動いどう	$F(s-a)~$	$\mathrm {e} ^{at}f(t)~$
1 階かい微分びぶん	$F'(s)~$	$-tf(t)~$	ただし、F は1 階かい微分びぶん可能かのうとする。
2 階かい微分びぶん	$F^{\prime \prime }(s)\,$	$t^{2}f(t)\,$	ただし、F は 2 階かい微分びぶん可能かのうとする。
n 階かい微分びぶん	$F^{(n)}(s)~$	$(-t)^{n}f(t)~$	ただし、F は n 階かい微分びぶん可能かのうとする。
積分せきぶん	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma ~$	${\frac {f(t)}{t}}~$
	$\int _{s}^{\infty }\int _{\sigma _{n-1}}^{\infty }\cdots \int _{\sigma _{1}}^{\infty }F(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma \mathrm {d} \sigma _{1}\cdots \mathrm {d} \sigma _{n-1}~$	${\frac {f(t)}{t^{n}}}~$
畳たたみ込こみ	$(F*G)(s)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }F(\sigma )\,G(s-\sigma )\mathrm {d} \sigma$	$f(t)\,g(t)$

変換へんかん表ひょう

変換へんかん表ひょう	原はら関数かんすう $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$ 't' 領域りょういき / 時間じかん領域りょういき	像ぞう関数かんすう $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ 's' 領域りょういき / 周波数しゅうはすう領域りょういき	収束しゅうそく域いき
単位たんいインパルス	$\delta (t)~$	$1$	$\mathrm {all} ~s\,$
単位たんいステップ関数かんすう	$u(t)~$	${1 \over s}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$
ランプ関数かんすう	$t\cdot u(t)~$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$
n 乗の （n は整数せいすう）	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$ $(n>-1)\,$
q 乗の （q は複素数ふくそすう）	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$ $(\operatorname {Re} \{q\}>-1)\,$
n 乗の根ね	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)=t^{1/n}\cdot u(t)$	${\frac {1}{s^{1+1/n}}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$
指数しすう減衰げんすい	$\mathrm {e} ^{-\alpha t}\cdot u(t)~$	${1 \over s+\alpha }$	$\operatorname {Re} \{s\}>-\alpha ~$
n 乗じょうの指数しすう減衰げんすい	${\frac {t^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>-\alpha \,$
理想りそう遅延ちえん	$\delta (t-\tau )~$	$\mathrm {e} ^{-\tau s}~$
遅延ちえん付つき単位たんいステップ関数かんすう	$u(t-\tau )~$	${{\frac {1}{s}}\cdot \mathrm {e} ^{-\tau s}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$
遅延ちえん付つき n 乗じょうの指数しすう減衰げんすい	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}\cdot \mathrm {e} ^{-\tau s}$	$\operatorname {Re} \{s\}>-\alpha \,$
指数しすう関数かんすう的てき接近せっきん	$(1-\mathrm {e} ^{-\alpha t})\cdot u(t)~$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0~$
正弦せいげん関数かんすう	$\sin(\omega t)\cdot u(t)~$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0~$
余弦よげん関数かんすう	$\cos(\omega t)\cdot u(t)~$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0~$
双曲線そうきょくせん正弦せいげん関数かんすう （ハイパボリックサイン）	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)~$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>|\alpha |~$
双曲線そうきょくせん余弦よげん関数かんすう （ハイパボリックコサイン）	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)~$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>|\alpha |~$
正弦せいげん波はの指数しすう減衰げんすい	$\mathrm {e} ^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)~$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>-\alpha ~$
余弦よげん波はの指数しすう減衰げんすい	$\mathrm {e} ^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)~$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>-\alpha ~$
自然しぜん対数たいすう	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{1 \over s}\left[\ln(t_{0}s)+\gamma \right]$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$
第だい 1 種しゅベッセル関数かんすう	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$ $(n>-1)\,$
第だい 1 種しゅ変形へんけいベッセル関数かんすう	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>|\omega |\,$
第だい 2 種しゅベッセル関数かんすう （次数じすうが 0 の場合ばあい）	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$	$-{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$
第だい 2 種しゅ変形へんけいベッセル関数かんすう （次数じすうが 0 の場合ばあい）	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$	${\frac {\cos ^{-1}\!({s}/{\alpha })}{\sqrt {\alpha ^{2}-s^{2}}}}$	$\mathrm {Re} \left\{s\right\}<|\alpha |$
誤差ごさ関数かんすう	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${\mathrm {e} ^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$	$\operatorname {Re} \{s\}>0\,$
凡例はんれい $u(t)\,$：ヘビサイド関数かんすう。 $\delta (t)\,$：ディラックのデルタ関数かんすう。 $\Gamma (z)\,$：ガンマ関数かんすう。n が自然しぜん数すうの場合ばあい、Γがんま(n + 1) = n!。 $\gamma \,$：オイラー・マスケローニ定数ていすう. t は時間じかんに対応たいおうする実数じっすう。 s は複素数ふくそすうで複素ふくそ角すみ周波数しゅうはすうと呼よばれる。Re{s} はその実み部ぶ。 αあるふぁ, βべーた, τたう, ωおめが は実数じっすう。 n は整数せいすう。

関連かんれん文献ぶんけん

• 宇野うの利雄としお、洪ひろし姙植『ラプラス変換へんかん』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈共立きょうりつ全書ぜんしょ 203〉、1974年ねん9月がつ25日にち。ISBN 978-4-320-00203-6。 
• 辻井つじい重男しげお、鎌田かまた一雄かずお『演習えんしゅうラプラス変換へんかん』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈共立きょうりつ全書ぜんしょ 222〉、1978年ねん8月がつ。ISBN 978-4-320-00222-7。 

関連かんれん項目こうもく

• アナログ信号しんごう処理しょり
• 演算えんざん子こ法ほう
• 関数かんすう
• 制御せいぎょ工学こうがく - 古典こてん制御せいぎょ論ろん - 伝達でんたつ関数かんすう法ほう - LTIシステム理論りろん
• z 変換へんかん
• ディラックのデルタ関数かんすう（インパルス関数かんすう）
• 微分びぶん方程式ほうていしき
• フーリエ変換へんかん
• 積分せきぶん変換へんかん
• ヘヴィサイドの階段かいだん関数かんすう（ステップ関数かんすう）
• ヘヴィサイドの展開てんかい定理ていり
• ミクシンスキーの演算えんざん子こ法ほう
• メリン変換へんかん
• ラプラス＝スティルチェス変換へんかん
• 両側りょうがわラプラス変換へんかん
• 分配ぶんぱい関数かんすう

外部がいぶリンク

• 洲之内すのうち治男はるお『ラプラス変換へんかん』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". mathworld.wolfram.com (英語えいご).