ヘヴィサイドの階段かいだん関数かんすう

x = 0 で 1/2 の値ねをとる階段かいだん関数かんすう

ヘヴィサイドの階段かいだん関数かんすう（ヘヴィサイドのかいだんかんすう、（英えい: Heaviside step function）は、正負せいふの引数ひきすうに対たいしそれぞれ 1, 0 を返かえす階段かいだん関数かんすう

${\begin{aligned}H(x)&={\begin{cases}0&(x<0)\\1&(x>0)\end{cases}}\\&={\dfrac {x+|x|}{2|x|}}\quad (x\neq 0)\end{aligned}}$

である。名称めいしょうはオリヴァー・ヘヴィサイドにちなむ。ヘヴィサイド関数かんすうと呼よばれることもある。通常つうじょう、H(x) や Y(x) などで表あらわされることが多おおい。

単位たんいステップ関数かんすうと似にているが、こちらは

${\begin{aligned}U(x)&={\begin{cases}0&(x\leqq 0)\\1&(x>0)\end{cases}}\\&={\begin{cases}0&(x=0)\\{\dfrac {x+|x|}{2|x|}}&(x\neq 0)\end{cases}}\end{aligned}}$

と x = 0 の時ときも0の値ねを持もつものとして定義ていぎされる。切断せつだん冪べき関数かんすうの0乗じょう。

不連続ふれんぞく性せい

階段かいだん関数かんすうは、x < 0 または x > 0 の範囲はんいで連続れんぞくであるが, x = 0 で値ね c をとるものとして階段かいだん関数かんすう

${\begin{aligned}H_{c}(x)&={\begin{cases}0&(x<0)\\c&(x=0)\\1&(x>0)\end{cases}}\\&={\begin{cases}c&(x=0)\\{\dfrac {x+|x|}{2|x|}}&(x\neq 0)\end{cases}}\end{aligned}}$

を実数じっすう全体ぜんたいの集合しゅうごう $\mathbb {R}$ 上うえの関数かんすう $H_{c}\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ と考かんがえるならば、c をどのように定さだめても原点げんてん x = 0 で不連続ふれんぞくである。c の値ねは必要ひつように応おうじて都合つごうのよい値ねを選えらぶことができるが、c = 0, 1/2, 1 などがしばしば用もちいられ、それぞれ

${\begin{aligned}H_{0}(x)&={\begin{cases}0&(x\leqq 0)\\1&(x>0)\end{cases}}\\&={\begin{cases}0&(x=0)\\{\dfrac {x+|x|}{2|x|}}&(x\neq 0)\end{cases}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}H_{1/2}(x)&={\begin{cases}0&(x<0)\\{\dfrac {1}{2}}&(x=0)\\1&(x>0)\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}}&(x=0)\\{\dfrac {x+|x|}{2|x|}}&(x\neq 0)\end{cases}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}H_{1}(x)&={\begin{cases}0&(x<0)\\1&(x\geqq 0)\end{cases}}\\&={\begin{cases}1&(x=0)\\{\dfrac {x+|x|}{2|x|}}&(x\neq 0)\end{cases}}\end{aligned}}$

である。また、

$H_{1}(x)=1-U(-x)=\lim _{t\to x-0}U(t)$
$H_{0}(x)=U(x)$
$H_{c}(x)=cH_{1}(x)+(1-c)H_{0}(x)$
$H_{1/2}(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}$

と表あらわすことができる。関数かんすう sgn は符号ふごう関数かんすうである。

階段かいだん関数かんすうの密度みつどとデルタ関数かんすう

ディラックのデルタ関数かんすう δでるたと区間くかん $(-\infty ,x]$ の定義ていぎ関数かんすう $\chi _{(-\infty ,x]}$ に対たいし

$\int _{-\infty }^{x}\delta (t)dt:=\int _{-\infty }^{\infty }\chi _{(-\infty ,x]}(t)\delta (t)dt=\chi _{(-\infty ,x]}(0)$

とおくと、これは x < 0 のとき区間くかん $(-\infty ,x]$ は 0 を含ふくまず、x ≧ 0 のとき区間くかん $(-\infty ,x]$ が 0 を含ふくむことから

$\chi _{(-\infty ,x]}(0)={\begin{cases}0&(x<0)\\1&(x\geqq 0)\end{cases}}$

となる。つまり

$H_{1}(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (\xi )d\xi$

と表あらわされる。この意味いみでヘヴィサイドの階段かいだん関数かんすうはディラックのデルタ関数かんすうを確かく率りつ密度みつど関数かんすうとするときの累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうに相当そうとうする。

関連かんれん項目こうもく

• ディラックのデルタ関数かんすう