Smoothed Particle Hydrodynamics

Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH、SPH法ほう)は流体りゅうたい力学りきがくや材料ざいりょう力学りきがくにて用もちいられる微分びぶん方程式ほうていしきの数値すうち解析かいせき手法しゅほう（CFD）の一ひとつ。

対象たいしょうとなる１個この連続れんぞく体たいを有限ゆうげん個この粒子りゅうしの集団しゅうだんに置おき換かえて計算けいさんする粒子りゅうし法ほうの、その代表だいひょう的てきなもの。連続れんぞく体たいを計算けいさん粒子りゅうし集団しゅうだんに置おき換かえ、連続れんぞく体たいの支配しはい方程式ほうていしきを元もとに導みちびかれる粒子りゅうし間あいだ相互そうご作用さようを粒子りゅうし集団しゅうだんに与あたえて移動いどうさせる。

Smoothed-Particle（SP、滑なめらか粒子りゅうし）とは、中心ちゅうしんで最大さいだい、周辺しゅうへんに向むけてゼロへ連続れんぞく変化へんかする滑なめらかな密度みつど分布ぶんぷをもつ粒子りゅうしである。このSPはオーバーラップするように配置はいちされ、個々ここのSPの密度みつど分布ぶんぷの重かさね合あわせで連続れんぞく体たいの密度みつど場じょうや他たの物理ぶつり量りょうの分布ぶんぷを表あらわすことが根本こんぽんのコンセプトである。

いわゆるフルラグランジュと言いわれるタイプの手法しゅほうであり、基本きほん的てきに移流いりゅう項こうがなく、保存ほぞん性せいがよい、メッシュフリー近似きんじを実現じつげんできる、といったメリットがあり、物体ぶったいや界面かいめんの大だい変形へんけい/大だい移動いどうをともなう対象たいしょうでは有効ゆうこうである。

天体てんたい物理ぶつり学がく、構造こうぞう力学りきがく（主おもに破壊はかいや亀裂きれつ進展しんてんなど）、流体りゅうたい力学りきがくなど多おおくの分野ぶんやで利用りようされている。しかし、メッシュ手法しゅほうに比くらべれば適用てきよう数すうは桁違けたちがいに少すくない。計算けいさん妥当だとう性せいや境界きょうかい条件じょうけんの扱あつかい方かたなど、十分じゅうぶんに確立かくりつされていない部分ぶぶんもある。

歴史れきし

SPHは1977年ねんのGingoldとMonaghanによる天体てんたい物理ぶつりのシミュレーションに関かんする論文ろんぶんが起源きげんとされており、手法しゅほうの名前なまえもこの論文ろんぶんが元もととなっている。しかし、この論文ろんぶんの謝辞しゃじでも述のべているようにSPHの離散りさん化かはLucyのアイディアであり、Lucyも同年どうねんに少すこし遅おくれて同様どうようの離散りさん化かを用もちいた論文ろんぶんを公開こうかいしている。

空間くうかん離散りさん化か

SPHでは粒子りゅうし１個この密度みつど分布ぶんぷとして補間ほかん関数かんすうを定義ていぎする。補間ほかん関数かんすうは伝統でんとう的てきにカーネルと呼よばれる。このカーネルという語かたりは離散りさんデータの補間ほかん関数かんすうの呼よび名なとして一般いっぱん的てきに用もちいられる。

SPHでは、このカーネルの重かさね合あわせで物理ぶつり量りょうを置おき換かえる。すなわち物理ぶつり量りょう分布ぶんぷはカーネルの足たし合あわせで表あらわされ、空間くうかん微ほろ係数けいすうはカーネルの微ほろ係数けいすうの足たし合あわせで表あらわされる。この空間くうかん離散りさん化かコンセプトがSPHのベースである。

　SPHカーネル $w_{h}$ は例たとえば次つぎのような条件じょうけんを満みたす。（ここでxとyは同どう次元じげんであることに注意ちゅうい、修正しゅうせい求もとむ）

${\begin{alignedat}{3}&w_{h}(r){\begin{cases}>0,&0\leq r<h,\\=0,&r\geq h,\end{cases}}\qquad \qquad &{\rm {(1)}}\\&\int _{\mathbb {R} ^{d}}w_{h}(|x|)dx=1.\qquad &{\rm {(2)}}\end{alignedat}}$

hはカーネルのサイズを決きめる変数へんすうでありこれがゼロに近ちかい極限きょくげんを考かんがえるとき、その重おもみ関数かんすう $w_{h}$ を用もちいて、任意にんいの関数かんすう $\phi$ を

$\phi (x)\approx \int _{\Omega }\phi (y)w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(3)}}$

と無限むげん個このカーネル足たし合あわせに置おき換かえられる。（ここで、$\Omega$ は対象たいしょう領域りょういきであるがあまり意味いみはない）。

(3)に則のっとり、スカラ関数かんすう$\phi$ に対たいするhを現実げんじつ的てきな値ねとしたときの有限ゆうげん個このSPHカーネル重かさね合あわせによる近似きんじを

$\langle \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(5)}}$

と定義ていぎする。

また、$\Omega$ 内うちに有限ゆうげんの$N$ 個この粒子りゅうし$x_{i}$ を配置はいちしたとき、関数かんすう$\phi$ の$\Omega$ 内うちでの積算せきさんは領域りょういき内ない粒子りゅうしの個々ここの値ねの総和そうわで表あらわされる。すなわち、

$\int _{\Omega }\phi (y)dy\approx \sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})\qquad \qquad {\rm {(4)}}$

と近似きんじされる。ここに、$m_{i}$ と$\rho _{i}$ はそれぞれ、粒子りゅうし$x_{i}$ が代表だいひょうする質量しつりょうと密度みつどである。

勾配こうばい作用素さようそ$\nabla$ （１階かいの微分びぶん作用素さようそ）は、カーネルの勾配こうばいの積算せきさんで近似きんじされる。

近似きんじ関数かんすう $\langle \phi (x)\rangle$ を微分びぶんして

$\langle \nabla \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})\nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(6)}}$

と定義ていぎされる。

また、$\nabla \phi$ が

$\nabla \phi (x)\approx \int _{\Omega }\{\phi (y)-\phi (x)\}\nabla w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(7)}}$

と積分せきぶん式しきで近似きんじできることから、(4)の近似きんじを用もちい、すなわち差分さぶんの重かさね合あわせによる置おき換かえもある。

$\langle \nabla \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\{\phi (x_{i})-\phi (x)\}\nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(8)}}$

　拡散かくさんを表あらわす微分びぶん作用素さようそであるラプラシアン$\Delta$ は、

$\Delta \phi (x)\approx 2\int _{\Omega }{\frac {\phi (x)-\phi (y)}{|x-y|^{2}}}(x-y)\cdot \nabla w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(9)}}$

と近似きんじできることから、

$\langle \Delta \phi (x)\rangle =2\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}{\frac {\phi (x)-\phi (x_{i})}{|x-x_{i}|^{2}}}(x-x_{i})\cdot \nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(10)}}$

と定義ていぎする。他たにカーネル重おもみ付づけ平均へいきんに基もとづいて定義ていぎする方法ほうほうもある。

　弱じゃく圧縮あっしゅく性せいSPH(Weakly compressible SPH)の場合ばあい、エネルギー保存ほぞんの考察こうさつにより、次つぎのような近似きんじ作用素さようそが用もちいられる。連続れんぞくの式しきに現あらわれる $\rho \nabla \cdot u$ ( $u$ は流速りゅうそく)は

$\langle \rho \nabla \cdot u(x_{i})\rangle =\sum _{j=1}^{N}m_{j}(u(x_{j})-u(x_{i}))\cdot \nabla w_{h}(|x_{i}-x_{j}|)\qquad \qquad {\rm {(11)}}$

と定義ていぎされ、運動うんどう方程式ほうていしきに現あらわれる圧力あつりょく勾配こうばい項こう$\rho ^{-1}\nabla p$ ( $p$ は圧力あつりょく)は

$\langle \rho ^{-1}\nabla p(x_{i})\rangle =\sum _{j=1}^{N}m_{i}\left({\frac {p(x_{j})}{\rho (x_{j})^{2}}}+{\frac {p(x_{i})}{\rho (x_{i})^{2}}}\right)\nabla w_{h}(|x_{i}-x_{j}|)\qquad \qquad {\rm {(12)}}$

と定義ていぎされる。 また、拡散かくさん率りつが場ばによって異ことなる場合ばあいの拡散かくさん$\nabla \cdot \mu \nabla \phi$ ($\mu$ は場ばの拡散かくさん率りつを表あらわす関数かんすう)に対たいする近似きんじは

$\langle \nabla \cdot \mu \nabla u(x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}{\frac {(\mu (x)+\mu (x_{i}))(u(x)-u(x_{i}))}{|x-x_{i}|^{2}}}(x-x_{i})\cdot \nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(13)}}$

または、

$\langle \nabla \cdot \mu \nabla u(x)\rangle =2\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}{\frac {\mu (x_{i})(u(x)-u(x_{i}))}{|x-x_{i}|^{2}}}(x-x_{i})\cdot \nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(14)}}$

と定義ていぎされる。

非ひ圧縮あっしゅく性せい仮定かていへの拡張かくちょう Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH)

SPH法ほうは元来がんらいは単純たんじゅんな陽解ようかい法ほうであり密度みつど変動へんどうをともなう圧縮あっしゅく性せい流ながれ場じょうのための手法しゅほうであった。その後ごCFDソルバとして対象たいしょうを広ひろげ、非ひ圧縮あっしゅく流ながれへの種々しゅじゅの拡張かくちょうが試こころみられている。

特とくに、行列ぎょうれつ式しきソルバを利用りようしてポアソン式しきを反復はんぷく解法かいほうで解とき圧力あつりょく場じょうと同時どうじに非ひ圧縮あっしゅく速度そくど場じょうを得えるタイプのものがISPHと呼よばれることがある。他たに粒子りゅうし移動いどうを反復はんぷくして速度そくど場じょうを非ひ圧縮あっしゅく場じょうに修正しゅうせいするPCISPH法ほうがある。

ISPHと呼よばれるスキームの多おおくは、射影しゃえい法ほうを適用てきようしたものである。圧力あつりょく勾配こうばい項こうと他たの項こうとを分わけて、速度そくど発散はっさんゼロの回転かいてん成分せいぶんを取とり出だすという、差分さぶん法ほうなどでは古典こてん的てきなアイディアを粒子りゅうし法ほうに適用てきようしたもの。粒子りゅうし法ほうの場合ばあいの最初さいしょの適用てきようとして1996年ねんのMoving Particle Semi-implicit (MPS、MPS法ほう)があり、その後ご、SPH空間くうかん離散りさん化かと組くみ合あわせられた。

粒子りゅうし法ほうの場合ばあいは原則げんそく的てきに粒子りゅうし移動いどう後ごの粒子りゅうし分布ぶんぷ密度みつどを元もとに移動いどう前まえの速度そくどを修正しゅうせいすることになる。必然ひつぜん的てきに、いわゆる日本にっぽん国内こくないでフラクショナルステップ法ほうと言いわれる、圧力あつりょくのみ陰かげ的てきに1ステップ先さきを見みる方式ほうしきとなる。

ただし粒子りゅうし法ほうの速度そくど発散はっさんと密度みつど変動へんどうは定義ていぎが一いち通とおりではなく、粒子りゅうしモデルに由来ゆらいする変動へんどうが顕著けんちょに含ふくまれるため、厳密げんみつに密度みつど変動へんどうゼロないしは速度そくど発散はっさんゼロを追求ついきゅうせず、ソースタームに0.3~0.7といった程度ていどの緩和かんわ係数けいすうが乗じょうじられることがある。また、非ひ圧縮あっしゅく条件じょうけんを近似きんじ的てきにでも満みたすのは粒子りゅうし移動いどう前まえの速度そくど場じょうか移動いどう後ごの粒子りゅうし分布ぶんぷ密度みつどのどちらか一方いっぽうだけとなるのが標準ひょうじゅん的てきである。

関連かんれん項目こうもく

• 数値すうち解析かいせき
• 粒子りゅうし法ほう
• メッシュフリー法ほう
• 差分さぶん法ほう
• 有限ゆうげん要素ようそ法ほう
• 数値すうち流体りゅうたい力学りきがく

参考さんこう文献ぶんけん

• R.A., Gingold; J.J. Monaghan (1977), “Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars”, Mon. Not. R. Astron. Soc. 181: 375–389 

• L.B., Lucy (1977), “A numerical approach to the testing of the fission hypothesis”, Astron. J. 82: 1013–1024 
• J.P., Morris; P. J. Fox, and Y. Zhu (1997), “Modeling low Reynolds number incompressible flows using SPH”, J. Comput. Phys, 136: 214-226 
• S., Koshizuka; Y. Oka (1996), “Moving-particle semi-implicit method for fragmentation of incompressible fluid”, Nuclear Sci. Eng. 123: 421-434 
• S.J., Cummins; M. Rudman (1999), “An SPH projection method”, J. Comput. Phys. 152: 584-607