差分さぶん法ほう

数値すうち解析かいせきにおける有限ゆうげん差分さぶん法ほう（ゆうげんさぶんほう、英えい: finite-difference methods; FDM）あるいは単たんに差分さぶん法ほうは、微分びぶん方程式ほうていしきを解とくために微分びぶんを有限ゆうげん差分さぶん近似きんじ（差分さぶん商しょう）で置おき換かえて得えられる差分さぶん方程式ほうていしきで近似きんじするという離散りさん化か手法しゅほうを用もちいる数値すうち解法かいほうである。18世紀せいきにオイラーが考案こうあんしたと言いわれる。

今日きょうではFDMは偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほうとして支配しはい的てきな手法しゅほうである。

精度せいどと誤差ごさ

→「有限ゆうげん差分さぶん係数けいすう」も参照さんしょう

解かいの誤差ごさとは、真しんの解析かいせき解かいと近似きんじ解かいとの間あいだの差さとして定義ていぎされる。有限ゆうげん差分さぶん法ほうにおける誤差ごさの原因げんいんは丸まるめ誤差ごさおよび打うち切きり誤差ごさまたは離散りさん化か誤差ごさである。

有限ゆうげん差分さぶん法ほうは函数かんすうの定義ていぎ域いきを格子こうしに離散りさん化かすることに基もとづく

問題もんだいに対たいする解かいの近似きんじに有限ゆうげん差分さぶん法ほうを用もちいるためには、まず初はじめに問題もんだいの領域りょういきを離散りさん化かしなければならない。これは普通ふつうは、その領域りょういきを一様いちような格子こうしに分わければよい。これは有限ゆうげん差分さぶん法ほうがしばしば「時間じかん刻きざみ」な仕方しかたで微分びぶんに対たいする離散りさん的てきな数値すうち近似きんじの集合しゅうごうを提供ていきょうすることを意味いみすることに注意ちゅうい。

$f(x_{i})=f(x_{0}+ih)$.

一般いっぱんに注目ちゅうもくすべきは局所きょくしょ打うち切きり誤差ごさで、典型てんけい的てきにはこれを O-記法きほうで表あらわす。局所きょくしょ打うち切きり誤差ごさは、各かく点てんにおける誤差ごさについて言いうもので、真しん値ち f'(x_i) と近似きんじ値ち f'_i との差さ

$f'(x_{i})-f'_{i}$

である。この誤差ごさの評価ひょうかには、テイラー展開てんかいの剰余じょうよ項こうを見みるのが簡便かんべんである。式しき f(x₀ + h) に対たいするテイラー展開てんかいのラグランジュ型がた剰余じょうよ項こう

$R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+1}\quad (x_{0}<\xi <x_{0}+h)$

から、局所きょくしょ打うち切きり誤差ごさの支配しはい項こうが求もとめられる。例たとえば、一いち階かい差分さぶん近似きんじ (n = 1) を考かんがえれば

$f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2}$

である。この右辺うへんは有限ゆうげん差分さぶん法ほうで得えられる近似きんじ値ちである。一方いっぽう、0階かい差分さぶん近似きんじ（n=0)を考かんがえれば

$f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih$

よって、0階かい差分さぶん近似きんじでの支配しはい的てきな誤差ごさは

${\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2}$

であり、この剰余じょうよ項こう(n=1)が局所きょくしょ打うち切きり誤差ごさの支配しはい項こうである。この場合ばあい、局所きょくしょ打うち切きり誤差ごさはほぼ刻きざみ幅はば(h)の2乗じょうに比例ひれいするということになる。有限ゆうげん差分さぶん法ほうの近似きんじ解かいの精度せいどと計算けいさん量りょうは方程式ほうていしきの離散りさん化かの仕方しかたや刻きざみ幅はばの取とり方かたに依存いぞんする。これらは刻きざみ幅はばを小ちいさくするにつれ著いちじるしく増加ぞうかするから、実用じつよう上じょうは必要ひつような精度せいどと計算けいさん時間じかんを天秤てんびんにかけて十じゅう分ふん合理ごうり的てきな条件じょうけんで近似きんじを行おこなう。時間じかんの刻きざみ幅はばが大おおきければ多おおくの場合ばあいに計算けいさん速度そくどは早はやくなるが、大おおきくしすぎると不安定ふあんてい性せいを生しょうじ、データの精度せいどに問題もんだいがでる。

数値すうちモデルの安定あんてい性せいを決定けっていするために、フォン・ノイマンの安定あんてい性せい解析かいせきを用もちいるのが普通ふつうである。

簡単かんたんな例れい

最もっとも簡単かんたんな例れいとして、次つぎの1階かい常微分じょうびぶん方程式ほうていしきを考かんがえる：

$u'(x)=3u(x)+2\,$

これを解とくには、差分さぶん商しょう

${\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)\quad (h\to 0)$

を用もちいて

$u(x+h)=u(x)+h(3u(x)+2)\,$

と近似きんじする。この方法ほうほうをオイラー法ほうという。この最後さいごの方程式ほうていしきのように、微分びぶん方程式ほうていしきの微分びぶんを差分さぶん商しょうに置おき換かえたものを、差分さぶん方程式ほうていしき（さぶんほうていしき、difference equation）と呼よぶ。

例れい 熱ねつ伝導でんどう方程式ほうていしき

偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの例れいとして、一様いちようディリクレ境界きょうかい条件じょうけんに従したがう1次元じげん規格きかく化か熱ねつ伝導でんどう方程式ほうていしきを考かんがえる：

$U_{t}=U_{xx}\,$

左辺さへんは時刻じこく$t$による微分びぶん、右辺うへんは座標ざひょう$x$による2階かい微分びぶんである。また、境界きょうかい条件じょうけんおよび初期しょき条件じょうけんは以下いかとする：

$U(0,t)=U(1,t)=0\,$（境界きょうかい条件じょうけん）

$U(x,0)=U_{0}(x)\,$（初期しょき条件じょうけん）

これを数値すうち的てきに解とく1つの方法ほうほうは、すべての微分びぶんを差分さぶんで近似きんじすることである。空間くうかんの領域りょういきをメッシュ$x_{0},\dots ,x_{J}$で、時間じかんの領域りょういきをメッシュ$t_{0},\dots ,t_{N}$で分割ぶんかつしよう。どちらの分割ぶんかつも等間隔とうかんかくとし、空間くうかん点てんの間隔かんかくを$h$、時刻じこくの間隔かんかくを$k$とする。$U(x_{j},t_{n})$の数値すうち的てき近似きんじを$u_{j}^{n}$で表あらわす。

陽解ようかい法ほう

時刻じこく$t_{n}$には前進ぜんしん差分さぶんを用もちい、空間くうかん点てん$x_{j}$で2次じ微分びぶんに対たいして2次じ中央ちゅうおう差分さぶんを用もちいれば、次つぎの漸すすむ化か式しき：

${\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k\Delta t}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\,$

が得えられる。これを陽解ようかい法ほうという。

$u_{j}^{n+1}$の値ねは次つぎのように得えられる：

$u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}$

ただしここで$r=k\Delta t/h^{2}$ （拡散かくさん数すうと呼よばれる）である。

ゆえに、時刻じこく$t_{n}$での値ねがわかれば、対応たいおうする時刻じこく$t_{n+1}$での値ねも漸やや化か式しきを用もちいて求もとめられる。$u_{0}^{n}$と$u_{J}^{n}$には境界きょうかい条件じょうけん（この例れいではどちらも0）を適用てきようする。

この陽解ようかい法ほうは、$r\leq 1/2$であれば数値すうち的てきに安定あんていで収束しゅうそくすることが知しられている。

誤差ごさは時刻じこく間隔かんかく$k$の1乗じょうと空間くうかん点てん間隔かんかく$h$の2乗じょうのオーダーである：

$\Delta u=O(k)+O(h^{2})$

陰かげ解法かいほう

時刻じこく$t_{n+1}$に後退こうたい差分さぶんを用もちい、空間くうかん点てん$x_{j}$ で2階かい中央ちゅうおう差分さぶんを用もちいれば、漸やや化か式しき：

${\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k\Delta t}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}\,$

が得えられる。これを陰かげ解法かいほうという。

線形せんけい方程式ほうていしき系けい：

$(1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}$

を解とけば、$u_{j}^{n+1}$が得えられる。この方法ほうほうは常つねに数値すうち的てきに安定あんていで収束しゅうそくするが、時刻じこくごとに方程式ほうていしき系けいを解とく必要ひつようがあるため、陽解ようかい法ほうよりも繁雑はんざつである。誤差ごさは時間じかんステップ数すうと空間くうかんステップ数すうの4乗じょうとに比例ひれいする。

クランク・ニコルソン法ほう

さいごに、時刻じこく$t_{n+1/2}$で中央ちゅうおう差分さぶんを、空間くうかん点てん$x_{j}$での空間くうかん微分びぶんに2階かい中央ちゅうおう差分さぶんを用もちいれば、漸やや化か式しき：

$2\left({\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k\Delta t}}\right)={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\,$

が得えられる。これをクランク・ニコルソン法ほう（Crank-Nicolson method）という。

線形せんけい方程式ほうていしき系けい：

$(2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}$

を解とけば、$u_{j}^{n+1}$が得えられる。

この方法ほうほうは常つねに数値すうち的てきに安定あんていで収束しゅうそくするが、各かく時刻じこくで方程式ほうていしき系けいを解とく必要ひつようがあるので繁雑はんざつなことが多おおい。誤差ごさは時間じかんステップ数すうの4乗じょうと空間くうかんステップ数すうの2乗じょうとに比例ひれいする：

$\Delta u=O(k^{2})+O(h^{4})\,$

しかし、境界きょうかい付近ふきんでは誤差ごさはO(h⁴ ) でなくO(h² ) となることが多おおい。

クランク・ニコルソン法ほうは時間じかんステップ数すうが少すくなければたいてい最もっとも正確せいかくな方法ほうほうである。陽解ようかい法ほうはそれより正確せいかくでなく不安定ふあんていでもあるが、最もっとも実行じっこうしやすく、繁雑はんざつさも最もっとも少すくない。陰かげ解法かいほうは時間じかんステップ数すうが多おおい場合ばあいに最もっとも優すぐれている。

関連かんれん項目こうもく

• 有限ゆうげん体積たいせき法ほう
• 有限ゆうげん要素ようそ法ほう
• ドゥッチ数列すうれつ

外部がいぶリンク

• Finite difference method （英語えいご） - スカラーペディア百科ひゃっか事典じてん「差分さぶん法ほう」の項目こうもく。