ペアノの存在そんざい定理ていり

数学すうがくの、特とくに常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの研究けんきゅう分野ぶんやにおけるペアノの存在そんざい定理ていり（ぺあののそんざいていり、英語えいご: Peano existence theorem）あるいはコーシー・ペアノの定理ていりとは、ジュゼッペ・ペアノとオーギュスタン＝ルイ・コーシーの名なにちなむ、特定とくていの初期しょき値ち問題もんだいの解かいの存在そんざいを保証ほしょうするある基本きほん定理ていりのことを言いう。

歴史れきし

ペアノは1886年ねんに初はじめてこの定理ていりを発表はっぴょうしたが、その際さいの証明しょうめいには間違まちがいがあった。1890年ねん、彼かれは逐次ちくじ近似きんじ法ほうを用もちいることで、この定理ていりに改あらためて正ただしい証明しょうめいを与あたえた。

定理ていり

D を空間くうかん R × R の開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうとし、

$f\colon D\to \mathbb {R}$

を D 上うえの連続れんぞく関数かんすうとし、

$y'(x)=f\left(x,y(x)\right)$

を D 上うえ定義ていぎされる連続れんぞくで陽ひ的てきな1階かい常微分じょうびぶん方程式ほうていしきとする。このとき、f に対たいして $(x_{0},y_{0})\in D$ を伴ともなうすべての初期しょき値ち問題もんだい

$y\left(x_{0}\right)=y_{0}$

は、局所きょくしょ解かい

$z\colon I\to \mathbb {R}$

を持もつ。ここで $I$ は x₀ のある近傍きんぼうであり、すべての $x\in I$ に対たいして $z'(x)=f\left(x,z(x)\right)$ が成立せいりつする。

ここで、そのような解かい z の一意いちい性せいは保証ほしょうされていないことに注意ちゅういされたい。すなわち、初期しょき値ち (x₀,y₀) が等ひとしいものであっても、異ことなる解かい z が存在そんざいする場合ばあいがある。

拡張かくちょう

この定理ていりは、D がより高こう次元じげんの空間くうかん R × Rⁿ の部分ぶぶん集合しゅうごうである場合ばあいにも、同様どうように成立せいりつする。しかし、無限むげん次元じげんのバナッハ空間くうかんにおいては一般いっぱん的てきには成立せいりつしない。

関連かんれんする定理ていり

ペアノの定理ていりは、存在そんざい性せいに関かんする他ほかの定理ていり（ピカール・リンデレフの定理ていりなど）と比較ひかくされる。ピカール・リンデレフの定理ていりはペアノの定理ていりと比くらべてより多おおくの仮定かていを必要ひつようとし、結果けっかとしてより多おおくの帰結きけつを与あたえる。すなわち、ペアノの定理ていりにおいては連続れんぞく性せいのみが必要ひつようとされていたが、ピカール・リンデレフの定理ていりではリプシッツ連続れんぞく性せいをも必要ひつようとする一方いっぽうで、その結果けっかとしては解かいの存在そんざいのみならず一意いちい性せいまでも保証ほしょうされる。例れいとして、領域りょういき $\left[0,1\right]$ 上うえの常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

$y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}$

を考かんがえる。ペアノの定理ていりに従したがえば、この方程式ほうていしきは解かいを持もつことが分わかる。しかし、この方程式ほうていしきの右辺うへんは 0 を含ふくむどのような近傍きんぼうにおいてもリプシッツ連続れんぞくではないため、ピカール・リンデレフの定理ていりは適用てきようされず、したがってその解かいの一意いちい性せいは保証ほしょうされない。実際じっさい、初期しょき値ち $y(0)=0$ を与あたえたときこの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきは二に種類しゅるいの解かい $y(x)=0$ および $y(x)=x^{2}/4$ を持もつ。任意にんいの C に対たいし、$y=0$ と $y=(x-C)^{2}/4$ との間あいだの解かいの変化へんかが起おこりうる。

連続れんぞく性せいよりも弱よわい条件じょうけんのもとでの、ペアノの存在そんざい定理ていりの一般いっぱん化かとして、カラテオドリの存在そんざい定理ていりが知しられている。

参考さんこう文献ぶんけん

• G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 437–445.[1]
• G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228. doi:10.1007/BF01200235
• W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill 
• Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/