広田ひろたの方法ほうほう

広田ひろたの方法ほうほう（ひろたのほうほう、英えい: Hirota's method）は、ソリトン方程式ほうていしきのソリトン解かいを求もとめるための方法ほうほうの一ひとつで、簡便かんべんにして強力きょうりょくなことで知しられる。広田ひろた良吾りょうごが考案こうあんした。双そう線形せんけい化か法ほう (bilinearization method)、直接ちょくせつ法ほう (direct method) とも呼よばれる。

$Log$ 微分びぶんなどによる従属じゅうぞく変数へんすうの変数へんすう変換へんかんにより、非線形ひせんけい偏へん微ほろ差分さぶん方程式ほうていしきを双そう線形せんけい方程式ほうていしきに変換へんかんする。変換へんかん後ごの従属じゅうぞく変数へんすうはしばしば $τ たう$ 関数かんすうと呼よばれる。 $τ たう$ 関数かんすうは行列ぎょうれつ式しきまたはパフィアン (Pfaffian) で、双そう線形せんけい方程式ほうていしきはPlucker関係かんけい式しきである。

ソリトン方程式ほうていしきの可か積分せきぶん性せいを保たもったまま方程式ほうていしきの独立どくりつ変数へんすうを離散りさん化かする際さいにも重要じゅうような役割やくわりを果はたしている。

広田ひろた微分びぶん[編集へんしゅう]

定義ていぎ[編集へんしゅう]

二ふたつの関数かんすうの組くみ $f (x, t)$ , $g (x, t)$ に対たいして、

D_{x}{}^{m}D_{t}{}^{n}f\cdot g=\left.{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial x'}}{\biggr )}^{m}{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial t'}}{\biggr )}^{n}f(x,t)g(x',t')\right|_{x'=x,t'=t}

で定義ていぎされる二に項こう演算えんざんを広田ひろた微分びぶんと呼よぶ。演算えんざん子こ $D x$ , $D t$ を広田ひろたのD演算えんざん子こと呼よぶ。

実際じっさいの広田ひろた微分びぶんの計算けいさん例れいは次つぎのようになる。

$D_{x}f\cdot g=f_{x}g-fg_{x}$
$D_{x}^{\,2}f\cdot g=f_{xx}g-2f_{x}g_{x}+fg_{xx}$
$D_{x}^{\,3}f\cdot g=f_{xxx}g-3f_{xx}g_{x}+3f_{x}g_{xx}-fg_{xxx}$
$D_{x}^{\,4}f\cdot g=f_{xxxx}g-4f_{xxx}g_{x}+6f_{xx}g_{xx}-4f_{x}g_{xxx}+fg_{xxxx}$
$D_{x}D_{t}f\cdot g=f_{tx}g-f_{t}g_{x}-f_{x}g_{t}+fg_{tx}$

双そう線形せんけい形式けいしき[編集へんしゅう]

二ふたつの関数かんすうの組くみに、広田ひろた微分びぶんを作用さようさせた場合ばあい、各項かくこうは二ふたつの関数かんすうの導しるべ関数かんすうについて、どちらも一いち次じ式しきの形かたちになっており、これを双そう線形せんけい形式けいしき (bilinear form) と呼よぶ。可か積分せきぶん系けいの非線形ひせんけい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきは、適当てきとうな従属じゅうぞく変数へんすうの変換へんかんの下した、双そう線形せんけい形式けいしきの広田ひろた微分びぶんの方程式ほうていしきに変形へんけいできる。シンプルな形かたちに表現ひょうげんされた双そう線形せんけい形式けいしきの方程式ほうていしきに、広田ひろた微分びぶんの性質せいしつを組くみ合あわせることで、見通みとおしのよい計算けいさんで解かいを構成こうせいすることが可能かのうとなる。

方程式ほうていしき	変数へんすう変換へんかん	双そう線形せんけい形式けいしき
KdV方程式ほうていしき: $u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0\,$	$u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {f}$	$D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})f\cdot f=0$
mKdV方程式ほうていしき: $u_{t}+6u^{2}u_{x}+u_{xxx}=0\,$	$u={\frac {g}{f}}$	$(D_{t}+D_{x}^{\,3})g\cdot f=0,\,D_{x}^{\,2}f\cdot f=2g^{2}$
非線形ひせんけいSchrödinger方程式ほうていしき: $iu_{t}+u_{xx}+2\|u\|^{2}u=0\,$	$u={\frac {g}{f}}$ 　（ $f\,$ は実じつ数値すうち関数かんすう、 $g\,$ は複素ふくそ数値すうち関数かんすう)	$(iD_{t}+D_{x}^{\,2})g\cdot f=0,\,D_{x}^{\,2}f\cdot f=2gg^{\ast }$
サイン・ゴルドン方程式ほうていしき: $u_{tx}=\sin {u}\,$	$u=2i\log {\frac {f^{\ast }}{f}}$ 　（ $f\,$ は複素ふくそ数値すうち関数かんすう)	$D_{x}D_{t}f\cdot f=-{\frac {1}{2}}(f^{\ast \,2}-f^{2})$
戸田とだ格子こうし: ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}r_{n}=2e^{-r_{n}}-e^{-r_{n-1}}-e^{-r_{n+1}}\,$	$V_{n}=e^{-r_{n}}-1,\,V_{n}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\log {\tau _{n}}$	${\frac {1}{2}}D_{t}^{\,2}\tau _{n}\cdot \tau _{n}=\tau _{n+1}\tau _{n-1}-\tau _{n}^{\,2}$
KP方程式ほうていしき: ${\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl (}u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}{\bigr )}+u_{yy}=0$	$u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {f}$	$(D_{x}D_{t}+D_{y}^{\,2}+D_{x}^{\,4})f\cdot f=0$

広田ひろたの方法ほうほう[編集へんしゅう]

広田ひろたの方法ほうほうでは、可か積分せきぶん系けいの非線形ひせんけい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきに対たいし、対数たいすう微分びぶんなどの従属じゅうぞく変数へんすうの変換へんかんを行おこなった後のち、広田ひろた微分びぶんを用もちいて、双そう線形せんけい形式けいしきの微分びぶん方程式ほうていしきに帰着きちゃくさせる。さらに双そう線形せんけい形式けいしきの微分びぶん方程式ほうていしきを、べき級数きゅうすうの形式けいしきで展開てんかいし、各かくべき乗じょうのオーダーを満みたす関数かんすう形がたを定さだめていくことで解かいを構成こうせいする。逆ぎゃく散乱さんらん法ほうでは、非線形ひせんけい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきをシュレディンガー方程式ほうていしきの散乱さんらん問題もんだいに帰着きちゃくさせ、散乱さんらんデータから元もとの非線形ひせんけい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいに対応たいおうするポテンシャル関数かんすうを構成こうせいするという数学すうがく的てき技巧ぎこうを要ようするが、広田ひろたの方法ほうほうでは直接的ちょくせつてきなアプローチで元もとの方程式ほうていしきを解とくことができ、簡便かんべん性せいが高たかい。

KdV方程式ほうていしきの例れい[編集へんしゅう]

可か積分せきぶん系けいの代表だいひょう的てきな例れいであるKdV方程式ほうていしきで、広田ひろたの方法ほうほうを説明せつめいする。KdV方程式ほうていしき

u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0\,

において、

u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {f}\,

なる変数へんすう変換へんかんをすると、

D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})f\cdot f=0

なる双そう線形せんけい形式けいしきの方程式ほうていしきに帰着きちゃくされる。ここで $f$ を

f=1+\epsilon f_{1}+\epsilon ^{2}f_{2}+\cdots \,

と $ε いぷしろん$ によるべき級数きゅうすうで展開てんかいする。これを双そう線形せんけい形式けいしきの方程式ほうていしきに代入だいにゅうし、各かくべき $ε いぷしろん n$ のオーダー毎ごとにまとめると、

\epsilon :\,\,D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})(f_{1}\cdot 1+1\cdot f_{1})=0

\epsilon ^{2}:\,\,D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})(f_{2}\cdot 1+f_{1}\cdot f_{1}+1\cdot f_{2})=0

\epsilon ^{3}:\,\,D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})(f_{3}\cdot 1+f_{2}\cdot f_{1}+f_{1}\cdot f_{2}+1\cdot f_{3})=0

\vdots

となる。

1ソリトン解かい

1ソリトン解かいを構成こうせいするには次つぎのような解かいの構成こうせいを行おこなう。まず、

f_{1}=e^{2(\kappa x-\omega t)}\,

として、 $ε いぷしろん 1$ の項こうを考かんがえると

\omega =4\kappa ^{3}\,

の関係かんけいが満みたされる必要ひつようがあることがわかる。また、高次こうじの $ε いぷしろん n$ の項こうについては、特とく解かいとして、

f_{n}=0\quad n\geq 2

をとることができる。よって、解かい $u$ としては

u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {(1+e^{2(\kappa x-4\kappa ^{3}t)})}