確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき

確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき（かくりつびぶんほうていしき、英えい: Stochastic differential equation）とは、1つ以上いじょうの項こうが確かく率りつ過程かていである微分びぶん方程式ほうていしきであって、その結果けっか、解かい自身じしんも確かく率りつ過程かていとなるものである。一般いっぱん的てきに、確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきはブラウン運動うんどう（ウィーナー過程かてい）から派生はせいすると考かんがえられる白色はくしょく雑音ざつおんを組くみ込こむが、不連続ふれんぞく過程かていの様ような他ほかの無む作為さくい変動へんどうを用もちいることも可能かのうである。

背景はいけい

確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきは、ブラウン運動うんどうを記述きじゅつしたアインシュタインの有名ゆうめいな論文ろんぶん、および同どう時期じきにスモルコフスキーにより導入どうにゅうされた。しかし、バシュリエ（1900年ねん）の論文ろんぶん「投機とうきの理論りろん」は、ブラウン運動うんどうに関連かんれんした初期しょきの業績ぎょうせきとして特筆とくひつすべきである｡その後ご、ランジュバンに引ひき継つがれ、後のちに伊藤いとうとストラトノビッチが確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきに数学すうがく的てき基礎きそ付づけを行おこなった。

確かく率りつ解析かいせき

ブラウン運動うんどう、あるいはウィーナー過程かていは、数学すうがく的てきには極きわめて複雑ふくざつである。ウィーナー過程かていの経路けいろは微分びぶん不可能ふかのうであり、したがって、微分びぶん･積分せきぶんを行おこなうには、独自どくじの規則きそくが必要ひつようとなる。確かく率りつ解析かいせきには、伊藤いとう確かく率りつ解析かいせき、ストラトノビッチ確かく率りつ解析かいせきの2つの方法ほうほうがある。各々おのおのには長所ちょうしょおよび利点りてんがあり、初はつ学者がくしゃは、与あたえられた状況じょうきょうにおいてどちらを使つかうべきか混乱こんらんしがちである。しかし、指針ししんは存在そんざいするのであり（下記かきエクセンダール参考さんこう文献ぶんけん参照さんしょう）、伊藤いとう確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきを等価とうかなストラトノビッチ確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきに変換へんかんでき、再ふたたび戻もどすことも可能かのうである。しかし、その確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきを立たてた際さい、どちらの解析かいせきによったのか、注意ちゅういを払はらわなければならない。

数値すうち解かい

確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき、特とくに確かく率りつ偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほうは、相対そうたい的てきに未み発達はったつな分野ぶんやである。通常つうじょうの微分びぶん方程式ほうていしきの数値すうち解かいに使用しようされるアルゴリズムの殆ほとんどは、確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきには殆ほとんど有効ゆうこうに使用しようできず、数値すうち収束しゅうそくが非常ひじょうに悪わるいとされている。洋書ようしょであるが、P E Kloeden and E Platen, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, (Springer, 1999) は、多おおくのアルゴリズムを取とり扱あつかっている。これら手法しゅほうには、オイラー・丸山まるやま法ほう、ミルスタイン法ほう、ルンゲ・クッタ法ほう等とうがある。

定義ていぎ

典型てんけい的てきには、B_t （t≧0） を、 B₀ = 0 を満みたす連続れんぞく時間じかん一いち次元じげんブラウン運動うんどう（ウィーナー過程かてい）とするとき、積分せきぶん方程式ほうていしき

$X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)du+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,dB_{u}$

を

$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dB_{t}$

の形かたちに略記りゃっきしたものを、確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきという。上記じょうき方程式ほうていしきは、連続れんぞく時間じかんの確かく率りつ過程かてい X_t の振ふる舞まいを、一般いっぱんのルベーグ積分せきぶんと伊藤いとう積分せきぶんの和わで模もしている。

確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきの発見はっけん論ろん的てきだがとても有益ゆうえきな解釈かいしゃくは、微小びしょう時間じかん間隔かんかく δでるた において、確かく率りつ過程かてい X_t の変化へんかが、期待きたい値ち μみゅー(X_t,t)δでるた、分散ぶんさん σしぐま²(X_t,t)δでるた の正規せいき分布ぶんぷに従したがって変化へんかし、しかも過去かこの同どう確かく率りつ過程かていの振ふる舞まいと独立どくりつである、と見みることである。ウィーナー過程かていの変化へんかは互たがいに独立どくりつで正規せいき分布ぶんぷに従したがうことから、こう考かんがえることができる。

関数かんすう μみゅー(x,t) はドリフト係数けいすう（drift coefficient）、関数かんすう σしぐま(x,t) は拡散かくさん係数けいすう（diffusion coefficient）という。確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきの解かいとして得えられる確かく率りつ過程かてい X_t は拡散かくさん過程かてい（かくさんかてい、英えい：diffusion process）と呼よび、通常つうじょうはマルコフ過程かていである。

強つよ解かいと弱じゃく解かい

確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきの理論りろん的てき解釈かいしゃくは、同どう方程式ほうていしきの解かいとは何なにかによって解釈かいしゃくする。確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきの解かいの主要しゅような定義ていぎには、強つよ解かい（きょうかい、英えい：strong solution）と弱じゃく解かい（じゃくかい、英えい：weak solution）の二に種類しゅるいある。 どちらも、確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきに対応たいおうする積分せきぶん方程式ほうていしきの解かいとなる確かく率りつ過程かてい X_t の存在そんざいを要件ようけんとする。両者りょうしゃの違ちがいは、基礎きそとなる確かく率りつ空間くうかん (Ωおめが, F, P) にある。弱じゃく解かいとは、確かく率りつ積分せきぶん方程式ほうていしきを満みたす確かく率りつ空間くうかんと確かく率りつ過程かていをいい、強つよ解かいは、与あたえられた確かく率りつ空間くうかんの上うえで定義ていぎされ、確かく率りつ積分せきぶん方程式ほうていしきを満みたす確かく率りつ過程かていをいう。

幾何きかブラウン運動うんどう

以下いかの確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき、

$dX_{t}=\mu X_{t}\,dt+\sigma X_{t}\,dB_{t}$

は重要じゅうような例れいであり、この解かいを幾何きかブラウン運動うんどう（きかぶらうんうんどう、英えい：geometric Brownian motion）という。これは、数理すうりファイナンスにおいて、ブラック・ショールズ・オプション価格かかくモデルで、株式かぶしき価格かかくの動うごきを模もす方程式ほうていしきである。

伊藤いとう過程かてい

係数けいすう関数かんすうμみゅーとσしぐまが、解かい確かく率りつ過程かていX_tの現在げんざいの値ねのみならず、同どう過程かていの過去かこの値ね、または他たの確かく率りつ過程かていの現在げんざいと過去かこの値ねにも依存いぞんする、さらに一般いっぱん的てきな確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきが考かんがえられる。この場合ばあい、解かい確かく率りつ過程かてい X_t はマルコフ過程かていではなく、その解かいは拡散かくさん過程かていではなく伊藤いとう過程かてい（Itō process）と呼よばれる。係数けいすう関数かんすうが現在げんざいと過去かこのX_tの値ねのみに依存いぞんする場合ばあい、定義ていぎする確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきは、確かく率りつ遅延ちえん微分びぶん方程式ほうていしき（stochastic delay differential equation）という。

解かいの存在そんざいと一意いちい性せい

決定けってい論ろん的てきな常微分じょうびぶん方程式ほうていしきや偏へん微分びぶん方程式ほうていしきと同様どうよう、与あたえられた確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきの解かいが存在そんざいするか、存在そんざいするとして一意いちいか否ひかを知しることは、重要じゅうようである。下記かきは、n次元じげんユークリッド空間くうかんRⁿに値ねを取とり、m次元じげんブラウン運動うんどうBを無作為むさくい項こうとする伊藤いとう確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきの解かいの存在そんざいおよび一意いちい性せいに関かんする一般いっぱん的てき定理ていりである。参考さんこう文献ぶんけんに記しるしたエクセンダールの本ほんの §5.2には、証明しょうめいが記載きさいされている。

T > 0とする。

$\mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n}$
$\sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m}$

は可か測はか関数かんすうで、適当てきとうな定数ていすうC、Dが存在そんざいし、任意にんいのt ∈ [0, T]、任意にんいのx, y ∈ Rⁿに対たいし、次つぎの2条件じょうけんを満みたすとする。

${\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )}$
${\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|$

ここで、

$|\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}$

である。 確かく率りつ変数へんすうZは、{B_s}_s≧0により生成せいせいされるσしぐま加法かほう族ぞくと独立どくりつであり、かつ、

$\mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty$

を満みたすとする。このとき、確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき、

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)dt+\sigma (X_{t},t)$dBでしべる_{t}\ ,0\leq t\leq T}
$X_{t}=Z\,$

は、以下いかの2つの性質せいしつを有ゆうするtに関かんして連続れんぞくな解かい $X:(t,\omega )\mapsto X_{t}(\omega )$ を、Pに関かんして殆ほとんど確実かくじつに一意いちいに有ゆうする。

• X は、Z と B_s （s≦t） により生成せいせいされる増大ぞうだい情報じょうほう系けいに適合てきごうする。
• $\mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty$

参考さんこう文献ぶんけん

• 舟木ふなき直久なおひさ（2005）、確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき、岩波書店いわなみしょてん、ISBN 4-00-005196-2
• I.カラザス、S.E.シュレーブ、渡邉わたなべ壽夫としお訳やく（2001）、ブラウン運動うんどうと確かく率りつ積分せきぶん、シュプリンガー・フェアラーク東京とうきょう、ISBN 4-431-70852-9
• ベァーント・エクセンダール、谷口たにぐち説せつ男おとこ訳やく（1999）、確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき ─ 入門にゅうもんから応用おうようまで、シュプリンガー・フェアラーク東京とうきょう、ISBN 4-431-70804-9
• 小川おがわ重義しげよし:「確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほう」、数学すうがく、53巻かん、1号ごう、pp.34-45（2001年ねん）
• Desmond J. Higham : "An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM REVIEW, Vol.43 ,No.3 ,pp.525–546 (2001).
• Desmond Higham and Peter Kloeden : "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).

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