等式 とうしき P (A ∩B ) = P (A |B )P (B )決定 けってい 木 き 図示 ずし 条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ 英 えい conditional probability ）は、ある事象 じしょう B が起 お 条件下 じょうけんか 別 べつ 事象 じしょう A の確 かく 率 りつ 条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ P (A |B )P B A )表 あらわ 条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ P (A |B )B が起 お A の（条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ 条件 じょうけん B の下 した A の確 かく 率 りつ 表現 ひょうげん 英文 えいぶん 通例 つうれい “probability of A given B ” または “probability of A under the condition B ” と表現 ひょうげん
A および B を事象 じしょう P (B ) > 0B における A の条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
∩
B
)
P
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (B)}}}
あるいは
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
∣
B
)
P
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A\cap B)=\operatorname {P} (A\mid B)\operatorname {P} (B)}
により定義 ていぎ
上記 じょうき 定義 ていぎ 場合 ばあい 未定義 みていぎ 事象 じしょう 対 たい 完全 かんぜん 加法 かほう 族 ぞく 観点 かんてん 条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ 定義 ていぎ 可能 かのう
例 たと 退化 たいか 分布 ぶんぷ 連続 れんぞく 同時 どうじ 分布 ぶんぷ X,Y (x,y) に従 したが 確 かく 率 りつ 変数 へんすう 正 せい 測度 そくど 持 も 場合 ばあい 以下 いか 成立 せいりつ
P
(
X
∈
A
∣
Y
∈
B
)
=
∫
y
∈
B
∫
x
∈
A
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
x
d
y
∫
y
∈
B
∫
x
∈
R
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \operatorname {P} (X\in A\mid Y\in B)={\frac {\int _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}}}
しかし B の測度 そくど 場合 ばあい 問題 もんだい 0 } の場合 ばあい 単 たん 一 いち 点 てん 表現 ひょうげん 条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ 以下 いか
P
(
X
∈
A
∣
Y
=
y
0
)
=
∫
x
∈
A
f
X
,
Y
(
x
,
y
0
)
d
x
∫
x
∈
R
f
X
,
Y
(
x
,
y
0
)
d
x
,
{\displaystyle \operatorname {P} (X\in A\mid Y=y_{0})={\frac {\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}{\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}},}
この方法 ほうほう ボレル-コルモゴロフのパラドックス （英語 えいご 版 ばん 生 しょう 測度 そくど 場合 ばあい 一般 いっぱん 的 てき 更 さら 問題 もんだい 下記 かき 極限 きょくげん 表記 ひょうき 全 すべ δ でるた i が 0 に近 ちか 場合 ばあい 近 ちか 依存 いぞん
P
(
X
∈
A
∣
Y
∈
⋃
i
[
y
i
,
y
i
+
δ でるた
y
i
]
)
≊
∑
i
∫
x
∈
A
f
X
,
Y
(
x
,
y
i
)
d
x
δ でるた
y
i
∑
i
∫
x
∈
R
f
X
,
Y
(
x
,
y
i
)
d
x
δ でるた
y
i
{\displaystyle \operatorname {P} (X\in A\mid Y\in \bigcup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}{\sum _{i}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}}}
2つのランダム な事象 じしょう A と B は
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A\cap B)=\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}
のとき、またそのときに限 かぎ 独立 どくりつ 独立 どくりつ 事象 じしょう A と B については
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)}
かつ
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)}
である。い換 いか A と B が独立 どくりつ 条件 じょうけん B の下 した A の条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ A の周辺 しゅうへん 分布 ぶんぷ 等 ひと 同様 どうよう 条件 じょうけん A の下 した B の条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ B の周辺 しゅうへん 確 かく 率 りつ 等 ひと
2つの事象 じしょう A , B 積 せき 事象 じしょう A ⋂ B 空 そら 事象 じしょう A と B は互 たが 排反 はいはん (mutually exclusive) であるという。排反 はいはん 事象 じしょう 積 せき 空 そら 事象 じしょう 積 せき 事象 じしょう 確 かく 率 りつ 空 そら 事象 じしょう ∅ についていつでも
P
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {P} (\varnothing )=0}
であるから、
A
∩
B
=
∅
⟹
P
(
A
∩
B
)
=
0
{\displaystyle A\cap B=\varnothing \implies \operatorname {P} (A\cap B)=0}
が成 な 立 た 条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ 定義 ていぎ 事象 じしょう A , B 周辺 しゅうへん 確 かく 率 りつ 場合 ばあい A , B 排反 はいはん 条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ P (A | B )P (B | A )
A
∩
B
=
∅
∧
P
(
B
)
≠
0
⟹
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
∩
B
)
P
(
B
)
=
0.
{\displaystyle A\cap B=\varnothing \land \operatorname {P} (B)\neq 0\implies \operatorname {P} (A\mid B)={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (B)}}=0.}
上述 じょうじゅつ 通 とお 排反 はいはん 事象 じしょう 積 せき 確 かく 率 りつ 条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ 逆 ぎゃく 成 な 確 かく 率 りつ 空 そら 事象 じしょう 存在 そんざい 示 しめ 例 たと [0, 1) の実数 じっすう 選 えら 場合 ばあい A = {x | x ≤ 0.5}B = {x | x ≥ 0.5}積 せき 事象 じしょう 確 かく 率 りつ P (A ∩ B ) = P ({x | x = 0.5}) = 0[0, 1) から 0.5 未 み 満 まん 数 かず 0.5 以上 いじょう 数 かず 選 えら 程度 ていど 期待 きたい 選 えら 数 かず 0.5 であることはほとんど確実 かくじつ 期待 きたい 積 せき 事象 じしょう 自体 じたい A ∩ B = {x | x = 0.5}空 そら 事象 じしょう A と B は排反 はいはん
ある事象 じしょう B に対 たい P (B ) ≠ 0事象 じしょう A に対 たい Q (A ) = P (A |B )定義 ていぎ 関数 かんすう Q は確 かく 率 りつ 測度 そくど
条件 じょうけん 付 つ 確 かく 率 りつ 決定 けってい 木 き ベン図 べんず 表示 ひょうじ 同時 どうじ 確 かく 率 りつ 英 えい simultaneous probability ）または結合 けつごう 確 かく 率 りつ 英 えい joint probability ）は、複数 ふくすう 事象 じしょう 起 お 確 かく 率 りつ 時間 じかん 的 てき 同時 どうじ 意味 いみ A と B の同時 どうじ 確 かく 率 りつ P (A ∩ B )P (A , B )書 か 同時 どうじ 分布 ぶんぷ 多次元 たじげん 確 かく 率 りつ 分布 ぶんぷ 指 さ
周辺 しゅうへん 確 かく 率 りつ 英 えい marginal probability ）は、他 た 事象 じしょう 事象 じしょう 確 かく 率 りつ 普通 ふつう 条件 じょうけん 確 かく 率 りつ 等 ひと 周辺 しゅうへん 確 かく 率 りつ 同時 どうじ 確 かく 率 りつ 不要 ふよう 事象 じしょう 関 かん 合計 ごうけい 一般 いっぱん 積分 せきぶん 得 え A の周辺 しゅうへん 確 かく 率 りつ P (A )B の周辺 しゅうへん 確 かく 率 りつ P (B )表 あらわ 周辺 しゅうへん 分布 ぶんぷ k 次元 じげん 確 かく 率 りつ 変数 へんすう 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう k - 1変数 へんすう 同時 どうじ 分布 ぶんぷ
ただし、以上 いじょう 事象 じしょう A と B の間 あいだ 時間 じかん 関係 かんけい 因果 いんが 関係 かんけい 関係 かんけい 注意 ちゅうい 例 たと ベイズ推定 すいてい で用 もち 事後 じご 確 かく 率 りつ 根拠 こんきょ 条件 じょうけん 原因 げんいん 時間 じかん 的 てき 以前 いぜん 事象 じしょう 推測 すいそく 確 かく 率 りつ
確 かく 率 りつ 条件 じょうけん 付 つ 別 べつ 新 あら 情報 じょうほう 考慮 こうりょ 確 かく 率 りつ 改訂 かいてい 数学 すうがく 的 てき ベイズの定理 ていり で示 しめ
![{\displaystyle \operatorname {P} (X\in A\mid Y\in \bigcup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}{\sum _{i}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acdc9d0608aaf521ac44594955fcc8415c7baf1)
