連続れんぞく確かく率りつ分布ぶんぷ

連続れんぞく確かく率りつ分布ぶんぷ（れんぞくかくりつぶんぷ、英えい: continuous probability distribution）や連続れんぞく型がた確かく率りつ分布ぶんぷ（れんぞくがたかくりつぶんぷ）は、確率かくりつ論ろんにおいて、累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうが連続れんぞくな確かく率りつ分布ぶんぷである。連続れんぞく確かく率りつ分布ぶんぷとなるのは確かく率りつ変数へんすう X が連続れんぞく型がたのときに限かぎられる。絶対ぜったい連続れんぞく分布ぶんぷと区別くべつする際さいは広義こうぎ連続れんぞく分布ぶんぷと呼よぶ。

広義こうぎ連続れんぞく分布ぶんぷでは、確かく率りつ変数へんすう X の値ね a に対たいして常つねに P(X = a) = 0 である。これは必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんである。しかし、確かく率りつ変数へんすうが連続れんぞく型がたでも広義こうぎ連続れんぞく分布ぶんぷでない場合ばあいは、必かならずしもそうではない。広義こうぎ連続れんぞく分布ぶんぷではない例れいとして退化たいか分布ぶんぷがある。退化たいか分布ぶんぷなどでは P(X = a) > 0 となることもありうる。

広義こうぎ連続れんぞく分布ぶんぷでは確かく率りつ密度みつど関数かんすうが存在そんざいしない場合ばあいがあるが、絶対ぜったい連続れんぞく分布ぶんぷでは必かならず確かく率りつ密度みつど関数かんすうが存在そんざいする。

なお、連続れんぞく確かく率りつ分布ぶんぷは単たんに確かく率りつ変数へんすうが実数じっすうなどの連続れんぞく値ちになる場合ばあいの確かく率りつ分布ぶんぷのことでは無ない。条件じょうけんは更さらに厳きびしく、累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうが連続れんぞくであることも必要ひつようである。

区間くかんに対たいする確かく率りつ

「確かく率りつ密度みつど関数かんすう」も参照さんしょう

連続れんぞく分布ぶんぷでは確かく率りつ分布ぶんぷの確かく率りつ変数へんすう X において、全すべての実数じっすう a について P(X = a) = 0 になる。すなわち、X が値ね a を取とる確かく率りつは、任意にんいの a について 0 である。離散りさん確かく率りつ分布ぶんぷでは確かく率りつ 0 の事象じしょうは空そら事象じしょう、つまり起おこらないことを意味いみする（例たとえばサイコロの目めが3.5になる確かく率りつは 0）が、連続れんぞく型がた確かく率りつ変数へんすうではこれは正ただしくない。例たとえば、ある木きの葉はっぱの幅はばを測はかるとして、それが3.5cmとなることもありうるが、その確かく率りつは 0 である。何故なぜなら3cmと4cmの間あいだには無限むげんに多数たすうの値ねがあるためであり、個々ここの値ねが測定そくていできる確かく率りつはゼロだが、ある区間くかんの値ねとなる確かく率りつは 0 ではなく、例たとえば P(3 ≦ X ≦ 4) = 0.1 のように区間くかんに対たいして確かく率りつを考かんがえる。X が区間くかんのような無限むげん集合しゅうごう内ないの何なんらかの値ねを取とる確かく率りつは、個々ここの確率かくりつ値ちを単純たんじゅんに加算かさんするのではなく、確かく率りつ密度みつど関数かんすうを定てい積分せきぶんして求もとめる。この例れいでは $\int _{3}^{4}f(x)\,dx=0.1$ である。また、累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうを用もちい P(3 ≦ X ≦ 4) = F(4) - F(3) という扱あつかい方かたもする。

絶対ぜったい連続れんぞく分布ぶんぷ

累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうが「連続れんぞく」であるという用語ようごは、「ルベーグ測度そくどに対たいして絶対ぜったい連続れんぞく」という意味いみで使つかわれることもある。σしぐま-有限ゆうげんである確かく率りつ空間くうかんにおいて、確かく率りつ分布ぶんぷが可か測はか関数かんすうのルベーグ積分せきぶんで表あらわされるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすう F_X が絶対ぜったい連続れんぞくであることである（ラドン＝ニコディムの定理ていり）。このときのラドン＝ニコディム微分びぶんを確かく率りつ密度みつど関数かんすうという。確かく率りつ分布ぶんぷ P_X が絶対ぜったい連続れんぞくであるとは、ルベーグ測度そくどが 0 の $\mathbb {R}$ の部分ぶぶん集合しゅうごう N をとる確かく率りつが 0 である。絶対ぜったい連続れんぞく ⊆ 連続れんぞくであり、絶対ぜったい連続れんぞく分布ぶんぷ ⊆ 広義こうぎ連続れんぞく分布ぶんぷ ⊆ 連続れんぞく型がた確かく率りつ変数へんすうの確かく率りつ分布ぶんぷである。

ルベーグ測度そくどが 0 の非ひ可算かさんな集合しゅうごう（たとえばカントール集合しゅうごう）も存在そんざいするため、累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうが連続れんぞく（つまり、任意にんいの実数じっすう a について P(X = a) = 0）であっても絶対ぜったい連続れんぞくでない例れいが存在そんざいする。カントール分布ぶんぷは（本来ほんらいの意味いみでは）連続れんぞくだが、絶対ぜったい連続れんぞくではない。

実際じっさいの応用おうようにおいては、確かく率りつ変数へんすうは離散りさん的てきな場合ばあいも絶対ぜったい連続れんぞくな場合ばあいも、それらの混合こんごうの場合ばあいもある。しかし、カントール分布ぶんぷは離散りさん的てきでも離散りさん分布ぶんぷと絶対ぜったい連続れんぞく分布ぶんぷの重おもみ付つき平均へいきんでもない。

正規せいき分布ぶんぷ、連続れんぞく一いち様よう分布ぶんぷ、ベータ分布ぶんぷ、ガンマ分布ぶんぷは、絶対ぜったい連続れんぞく分布ぶんぷとしてよく知しられている。正規せいき分布ぶんぷは、中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていりがあるため、自然しぜん界かいや統計とうけいではよく現あらわれる。多数たすうの小ちいさな独立どくりつ変数へんすうの総和そうわとしてモデル化かできる変数へんすうは総そうじて、正規せいき分布ぶんぷに近似きんじできる。

外部がいぶリンク

• Continuous Random Variables. John Appleby, School of Mathematical Sciences, Dublin City University.