ガウス過程かてい

ガウス過程かてい（ガウス-かてい、英えい: Gaussian process）は連続れんぞく時間じかん確かく率りつ過程かていの一種いっしゅである。この概念がいねんはカール・フリードリッヒ・ガウスの名なにちなんでいるが、それは単たんに正規せいき分布ぶんぷがガウス分布ぶんぷとも呼よばれるためであり、しかも正規せいき分布ぶんぷはガウスが最初さいしょに研究けんきゅうしたというわけでもない。いくつかの文献ぶんけん（たとえば下記かきのSimonの著書ちょしょ）では、確かく率りつ変数へんすう X_t の期待きたい値ちが 0 であることを仮定かていする場合ばあいもある。

定義ていぎ

確かく率りつ過程かてい {X_t}_t∈T は、任意にんいに（有限ゆうげん個この）X_t1, ..., X_tk を選えらんで作つくった線型せんけい結合けつごう（あるいはより一般いっぱんに、{X_t}_t∈T を標本ひょうほん関数かんすう X_t 全体ぜんたいからなる連続れんぞく濃度のうどの函数かんすう空間くうかんと見みたときの、任意にんいの線型せんけい汎ひろし関数かんすう）が正規せいき分布ぶんぷに従したがうとき、ガウス過程かていという。い換いかえると、添字そえじ集合しゅうごう T から有限ゆうげん個この添字そえじ t₁, ..., t_k を選えらび出だしたとき、常つねに

$\mathbf {X} _{t_{1},\ldots ,t_{k}}=(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{k}})$

が多次元たじげん正規せいき分布ぶんぷに従したがうという性質せいしつを持もつ確かく率りつ過程かてい{X_t}_t∈T はガウス過程かていである。また、確かく率りつ分布ぶんぷの特性とくせい関数かんすうを用もちいれば次つぎのようにも述のべられる。任意にんいの有限ゆうげん個この添字そえじ t₁, ..., t_k に対たいして、

$\mathbb {E} \!\left(\exp \!\left(i\sum _{l=1}^{k}t_{l}X_{t_{l}}\right)\right)=\exp \!\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{l,j}\sigma _{lj}t_{l}t_{j}+i\sum _{l}\mu _{l}t_{l}\right)$

を満みたすような正数せいすう σしぐま_lj および μみゅー_j が存在そんざいする。またこのとき、μみゅー_j は X_tj の期待きたい値ち、σしぐま_lj は X_tl と X_tj の共きょう分散ぶんさんとなることが確認かくにんできる。

主おもなガウス過程かてい

ウィーナー過程かていは、おそらく最もっとも広ひろく研究けんきゅうされているガウス過程かていの一種いっしゅである。ウィーナー過程かていは定常ていじょう過程かていではないが、定常ていじょう増ぞう分ぶんを持もつ。

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程かていは、定常ていじょうなガウス過程かていである。

ブラウン橋きょうは増分ぞうぶんが独立どくりつではないガウス過程かていである。

非ひ整数せいすうブラウン運動うんどうは、ウィーナー過程かていにおいて定常ていじょう増ぞう分ぶんが従したがう正規せいき分布ぶんぷを${\mathcal {N}}(0,|t-s|^{2H})$ へと非ひ整数せいすう次数じすう(2H)にまで拡張かくちょうしたガウス過程かていである。

応用おうよう

ガウス過程かていは機械きかい学習がくしゅうにおける教師きょうしあり学習がくしゅうの回帰かいき分析ぶんせきに応用おうようされる。平均へいきん値ち関数かんすうと共きょう分散ぶんさん関数かんすうを既知きちとし与あたえられたデータがそのガウス過程かていに従したがっていると仮定かていすると未知みちの観測かんそく値ちの平均へいきんと分散ぶんさんがわかる。

参考さんこう文献ぶんけん

• R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Wadsworth and Brooks/Cole, 1989.
• B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979.
• C. E. Rasmussen, C. K. I. Williams, Gaussian Processes for Machine Learning, MIT Press, 2006. ISBN 0-262-18253-X
• M.L. Stein, Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging, Springer, 1999

外部がいぶリンク

• The Gaussian Processes Web Site