同時どうじ分布ぶんぷ

同時どうじ確かく率りつ分布ぶんぷ（どうじかくりつぶんぷ、英えい: joint probability distribution）あるいは同時どうじ分布ぶんぷ（どうじぶんぷ、英えい: joint distribution）、結合けつごう確かく率りつ分布ぶんぷ（けつごうかくりつぶんぷ）や結合けつごう分布ぶんぷ（けつごうぶんぷ）とは、確率かくりつ論ろんにおいて、複数ふくすうの確かく率りつ変数へんすうの組くみを確かく率りつ要素ようそとする確かく率りつの確かく率りつ分布ぶんぷのことである。

離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうなら同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう（同時どうじ確かく率りつ関数かんすうともいう）、連続れんぞく型がた確かく率りつ変数へんすうで連続れんぞく確かく率りつ分布ぶんぷならば同時どうじ確かく率りつ密度みつど関数かんすうで表あらわされる。

定義ていぎ

確率かくりつ論ろんでは、 $n$ 個この確かく率りつ変数へんすう $X 1, X 2, \dots, X n$ の同時どうじ確かく率りつ分布ぶんぷとは、確かく率りつ変数へんすうの組くみ $(X 1, X 2, \dots, X n) \in R n$ に確かく率りつを対応たいおうさせる関数かんすうのことである。

同時どうじ確かく率りつ分布ぶんぷは $R n$ 上うえの測度そくどであり、記号きごう

P_{X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}(\cdot )

と書かかれる。

同時どうじ累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすう（joint cumulative distribution function）、同時どうじ確かく率りつ密度みつど関数かんすう（joint probability density function）、同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう（joint probability mass function）も同様どうように

$F_{X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$
$f_{X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$
$f_{X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

のように書かかれる。

日本工業規格にほんこうぎょうきかくでは、2次元じげん分布ぶんぷ関数かんすうの定義ていぎにおいて、多次元たじげん分布ぶんぷ関数かんすうを説明せつめいし、同時どうじ分布ぶんぷを紹介しょうかいしている^[1]。

離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうの場合ばあい

各々おのおのの確かく率りつ変数へんすうがすべて離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうであるとき、同時どうじ分布ぶんぷは同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうで表あらわされる。

例たとえば、1円えん硬貨こうかと5円えん硬貨こうかを同時どうじに投なげるという試行しこうをし、それぞれ表ひょうを1点てん、裏うらを0点てんとする。 $X$ を1円えん硬貨こうかの点数てんすう、 $Y$ を2つの値ねのうち大おおきいほうの点数てんすうとする。 $Y$ は $X$ より小ちいさくなることはない。1円えん硬貨こうかが表ひょう（1点てん）で5円えん硬貨こうかが裏うら（0点てん）なら、 $(X, Y)$ は $(1, 1)$ となる。同おなじく1円えん硬貨こうかが表ひょう（1点てん）で5円えん硬貨こうかが表ひょう（1点てん）なら、 $(X, Y)$ は $(1, 1)$ となる。この2変数へんすうのすべての組くみ合あわせを考かんがえると、 $(0, 0)$ が1、 $(0, 1)$ が1、 $(1, 1)$ が2で総計そうけい4となる。

	$Y$
$X$

0

1

X

の周辺しゅうへん分布ぶんぷ
（行くだり和わ）

0

1

1/4	1/4
0	1/2

12

Y

の周辺しゅうへん分布ぶんぷ
（列れつ和わ）

14

34

表ひょう1：2確かく率りつ変数へんすうの同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう

このような2確かく率りつ変数へんすうの同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうを表ひょうにまとめると、表ひょう1のようになる。可能かのうな事象じしょうは3つなので、2×2の表ひょうでは $(1, 0)$ の確かく率りつは0である。表ひょうの最終さいしゅう列れつと最終さいしゅう行ぎょうは各々おのおの $X$ と $Y$ の分布ぶんぷである。これを同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうの周辺しゅうへん確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうまたは周辺しゅうへん分布ぶんぷと呼よび、行くだり和わや列れつ和わを計算けいさんして求もとめることができる。この周辺しゅうへん分布ぶんぷより、 $E (X) = 1 / 2, V (X) = 1 / 4, E (Y) = 3 / 4, V (Y) = 3 / 16$ などが求もとめられる。同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうからは $X$ と $Y$ の積せきの期待きたい値ちや共きょう分散ぶんさんなどが計算けいさんできる。計算けいさん方法ほうほうは1変数へんすうの期待きたい値ちと同様どうようで、 $E (XY) = ((X \times Y) \times (X \times Y) が起おきる確かく率りつ)$ の総和そうわと定義ていぎされる。上記じょうきの例れいでは 1/2 となる。共きょう分散ぶんさんは $Cov (X, Y) = E (XY) - E (X) E (Y)$ であり、1/8 と求もとめられる。 $X$ と $Y$ の結むすびつき具合ぐあいを示しめす母はは関数かんすう係数けいすうは $ρ ろー = Cov (X, Y) / (V (X) V (Y)) 1/2$ と定義ていぎされ、これは $1/3 1/2$ である。なお、同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうから求もとめる母はは相関そうかん係数けいすうと、データの特性とくせいを調しらべるために求もとめる標本ひょうほん相関そうかん係数けいすうの違ちがいには注意ちゅういが必要ひつようである（相関そうかん係数けいすうを参照さんしょう）。条件じょうけん付つき確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうとは、このような同時どうじ確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうの任意にんいの行くだりあるいは列れつを選択せんたくして、確かく率りつの総和そうわが $1$ になるように調整ちょうせいしたものをいう。例たとえば、 $Y = 1$ の条件じょうけんをつけた場合ばあいの $X$ の条件じょうけん付つき分布ぶんぷは、 $0$ と $1$ を各々おのおの 1/3 と 2/3 で執とる分布ぶんぷである。1/3 は $(0, 1)$ が起おきる確かく率りつ 1/4 を列れつ和わの 3/4 で割わって求もとめる。 $Y = 0$ の条件じょうけんをつけた $X$ は確かく率りつ $1$ で $0$ になる。これは退化たいか分布ぶんぷである。

条件じょうけん付つき確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうも確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうの要件ようけんを満みたしていることから、条件じょうけん付つき確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうについて、期待きたい値ち・分散ぶんさんを計算けいさんできる。これを条件じょうけん付づけ期待きたい値ち・条件じょうけん付つき分散ぶんさん（偏へん分散ぶんさん）という。例たとえば、 $Y = 1$ の条件じょうけんを付ふした場合ばあいの $X$ の条件じょうけん付つき期待きたい値ちは、 $E (X | Y = 1) = 2 / 3, E (X | Y = 0) = 0$ 、条件じょうけん付つき分散ぶんさんは $V (X | Y = 1) = 2 / 9, E (X | Y = 0) = 0$ などとなる。条件じょうけんによって値ねは変化へんかする。

脚注きゃくちゅう

^ JIS Z 8101-1 1999 統計とうけい−用語ようごと記号きごう−第だい1部ぶ：確率かくりつ及および一般いっぱん統計とうけい用語ようご 1.4 2次元じげん分布ぶんぷ関数かんすう, 日本にっぽん規格きかく協会きょうかい

参考さんこう文献ぶんけん

西岡にしおか康夫やすお『数学すうがくチュートリアルやさしく語かたる確かく率りつ統計とうけい』オおーム社むしゃ、2013年ねん。ISBN 9784274214073。
伏見ふしみ康治こうじ『確かく率りつ論及ろんきゅう統計とうけい論ろん』河出かわで書房しょぼう、1942年ねん。ISBN 9784874720127。
日本にっぽん数すう学会がっかい『数学すうがく辞典じてん』岩波書店いわなみしょてん、2007年ねん。ISBN 9784000803090。
JIS Z 8101-1 1999 統計とうけい−用語ようごと記号きごう−第だい1部ぶ：確率かくりつ及および一般いっぱん統計とうけい用語ようご, 日本にっぽん規格きかく協会きょうかい

定義ていぎ

離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうの場合ばあい

脚注きゃくちゅう

参考さんこう文献ぶんけん

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