独立どくりつ増ぞう分ぶん過程かてい

加法かほう過程かてい（かほうかてい、英えい: additive process）または独立どくりつ増ぞう分ぶん過程かてい（どくりつぞうぶんかてい、英えい: independent increments process）とは、確かく率りつ過程かていの一種いっしゅであり、独立どくりつ増分ぞうぶん性せいによって特徴付とくちょうづけられる。ポール・ピエール・レヴィ(Paul Pierre Lévy)、アレクサンドル・ヒンチンなどによって詳くわしく調しらべられた。代表だいひょう的てきかつ典型てんけい的てきな加法かほう過程かていの例れいとして、ウィーナー過程かてい(ブラウン運動うんどう)がある。

定義ていぎ

加法かほう過程かてい

確かく率りつ空間くうかん$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$で定義ていぎされた $\mathbb {R} ^{d}$ -値ね確かく率りつ過程かてい $X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ が加法かほう過程かていであるとは次つぎの条件じょうけんをみたすときをいう:

1. $X_{0}=0$　a.s.
2. 任意にんいの $t\geq 0,\varepsilon >0$ に対たいして、$\lim _{h\to 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0$.
3. $P(\Omega _{0})=1$ を満みたす $\Omega _{0}\in {\mathcal {F}}$ が存在そんざいして、任意にんいの $\omega \in \Omega _{0}$ に対たいして $X_{t}(\omega ):t\mapsto X_{t}(\omega )$ は右みぎ連続れんぞくかつ左ひだり極限きょくげんをもつ。
4. 任意にんいの $n=1,2,\ldots$ と $0\leq t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}<\infty$ に対たいして、$X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ は独立どくりつ。

2. を確かく率りつ連続れんぞく性せい、3. をcàdlàg性せい、4. を独立どくりつ増分ぞうぶん性せいという。

レヴィ過程かてい

確かく率りつ過程かてい $X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ がレヴィ過程かていであるとは、加法かほう過程かていであって次つぎの条件じょうけんをみたすときをいう:

• 任意にんいの $s\geq 0$ に対たいして、$X_{t+s}-X_{t}$ の分布ぶんぷは $t$ には依存いぞんしない。

この条件じょうけんを時間じかん的てき一いち様よう性せい(time homogeneity)、または定常ていじょう増分ぞうぶん性せいという。

関連かんれん項目こうもく

• 自己じこ相似そうじ過程かてい
• 非ひ整数せいすうブラウン運動うんどう
• ガウス過程かてい
• マルコフ過程かてい
• 確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき
• 数理すうりファイナンス

参考さんこう文献ぶんけん

• A.Khintchine, A new derivation of a formula by. P. Lévy, Bull. Moscow Gov. Univ. 1, No. 1, 1-5.
• P.Lévy. Sur les intégrales dont les éléments sont des variables aléatoires indépendentes, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) 3, 337-366.(PDF-files)