負まけの確かく率りつ

ある実験じっけんの結果けっかとしての確かく率りつは決けっして負まけにならないが、負まけの確かく率りつ（ふのかくりつ、英えい: negative probability）や擬なずらえ確かく率りつ（ぎかくりつ、英えい: quasiprobability）を許ゆるすと擬なずらえ確かく率りつ分布ぶんぷ（英語えいご版ばん）が定義ていぎできる。擬なずらえ確かく率りつ分布ぶんぷは観測かんそく不能ふのうな事象じしょうや条件じょうけん付つき確かく率りつに応用おうようされる。

数理すうり物理ぶつり

1942年ねんのポール・ディラックの論文ろんぶん「量子力学りょうしりきがくの物理ぶつり的てき解釈かいしゃく」^[1]に負まけのエネルギーや負まけの確かく率りつの概念がいねんが登場とうじょうする。

負まけのエネルギーや負まけの確かく率りつをナンセンスな概念がいねんと考かんがえてはならない。充分じゅうぶんに定義ていぎされた数学すうがくの概念がいねんであるからだ、負まけの金額きんがくのように。

負まけの確かく率りつの概念がいねんは後のちに物理ぶつり学がくや量子力学りょうしりきがくで関心かんしんをひくようになる。リチャード・ファインマンは－３個このリンゴが現実げんじつで有効ゆうこうな概念がいねんではないように、負まけの数かずを計算けいさんで使つかう物体ぶったいはない、ただし負まけの金額きんがくは有効ゆうこうだが、と議論ぎろんした。さらに彼かれは負まけの確かく率りつが、１以上いじょうの確かく率りつの計算けいさんに有用ゆうようかもしれないと論ろんじた^[2]。

マーク・バーギンは異ことなる例れいを挙あげている。

英語えいごに通つうじるA氏しがテキストTを書かいていると考かんがえてみたい。テキストT中なかに「texxt」や「wrod」が現あらわれる確かく率りつはいかほどか。通常つうじょうの確率かくりつ論ろんによれば0である。しかし、弘法ぐほうも筆ふでの誤あやまり、誤植ごしょくが生しょうじることもある。だがすぐに訂正ていせいされるにちがいない。確率かくりつ論ろんを拡張かくちょうして、テキストT中なかに「texxt」が出現しゅつげんする確かく率りつを-0.1とする。これは「texxt」が誤植ごしょくで生しょうじることがあるが、訂正ていせいされた現在げんざいのテキストT中なかにはないことを意味いみする。"
—Mark Burgin、Burgin, Mark (2010). "Interpretations of Negative Probabilities". arXiv:1008.1287 [physics.data-an]。

それからしばらく、負まけの確かく率りつはいくつかの問題もんだいや矛盾むじゅんを解とくために提案ていあんされた^[3]。2005年ねんのG.J.セーケイによる半分はんぶん枚まいのコインは簡単かんたんな例れいである^[4]。このコインは無限むげんに多おおくの側面そくめんを持もち、それぞれの面めんに０,１,２,...と番号ばんごうが振ふってあり、正せいの偶数ぐうすうの出現しゅつげんは負まけの確かく率りつをとる。２枚まいの半はんコインを弾ひくと合計ごうけいはそれぞれ確かく率りつ1/2で０か１であるから、通常つうじょうのコインを１枚まい弾ひいたのと同おなじである。

「非負ひふ定義ていぎ関数かんすうの畳たたみ込こみ係数けいすう」^[5]と「代数だいすう確率かくりつ論ろん」^[6] の中なかでルージャとセーケイは、確かく率りつ変数へんすうXが負まけの確かく率りつを含ふくむ符号ふごう付づけ確かく率りつ分布ぶんぷまたは擬なずらえ確かく率りつ分布ぶんぷをもつとき、確かく率りつ変数へんすうXは X+Y=Z として２ふたつの独立どくりつした確かく率りつ変数へんすうYとZを伴ともなうことを証明しょうめいした。X=Z-Y であるから、Xは２ふたつの確かく率りつ変数へんすうZとYの「差分さぶん」ととらえられる。YがXの測定そくてい誤差ごさで観測かんそく値ちがZのとき、Xの分布ぶんぷのうちの負まけの部分ぶぶんは誤差ごさYによって隠かくれるのである。

ウィグナー関数かんすう

詳細しょうさいは「ウィグナー関数かんすう」を参照さんしょう

他ほかにも例れいとして、1932年ねんにユージン・ウィグナーが量子りょうし誤あやまり訂正ていせいの研究けんきゅう^[7]で提案ていあんした位相いそう空間くうかん上うえの擬なずらえ確かく率りつ分布ぶんぷであるウィグナー関数かんすうが挙あげられる。1945年ねんバートレットはウィグナー分布ぶんぷが負まけの値ねをもつことに数理すうり論理ろんり的てきな矛盾むじゅんがないことを見出みいだした^[8]。ウィグナー関数かんすうは量子りょうし光学こうがく分野ぶんやでよく利用りようされ、位相いそう空間くうかん量子りょうし化かの基礎きそとなっている。また、量子りょうし干渉かんしょうのある場合ばあいに負まけ値ちとなることから、量子りょうし干渉かんしょうがあることをわかりやすく示しめすことができる。ウィグナー関数かんすうが負まけ値ちをとる領域りょういきは、量子りょうし論ろんの不ふ確定かくてい性せい原理げんりにより直接ちょくせつ観測かんそくすることが困難こんなんなほど小ちいさいが、可か観測かんそく量りょうの期待きたい値ちを求もとめるときに利用りようされている。

ファイナンス

最近さいきんになって負まけの確かく率りつは数理すうりファイナンスに応用おうようされるようになった。計量けいりょうファイナンスにおいてはほとんどの確かく率りつはリスクニュートラル確かく率りつとして知しられる正せいの確かく率りつや擬なずらえ確かく率りつである。確率かくりつ論ろん上じょうの一連いちれんの仮定かていの下もとで、正せいの確かく率りつだけでなく負まけの確かく率りつも許ゆるす擬なずらえ確かく率りつを使つかうと計算けいさんを単純たんじゅんにできることを、2004年ねんにエスペン・ガーダー・ハウグが世界せかいで初はじめて指摘してきした^[9]。負まけの確かく率りつの厳密げんみつな数学すうがく的てき定義ていぎや数学すうがく的てき性質せいしつはバーギンとマイスナーによって2011年ねんに得えられた^[10]。その論文ろんぶんでは負まけの確かく率りつがオプション評価ひょうかにどのように応用おうようされているか紹介しょうかいされている。

参照さんしょう文献ぶんけん

^ Dirac, P. A. M. (1942). “Bakerian Lecture. The Physical Interpretation of Quantum Mechanics”. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 180 (980): 1–39. Bibcode: 1942RSPSA.180....1D. doi:10.1098/rspa.1942.0023. JSTOR 97777.
^ Feynman, Richard P. (1987). “Negative Probability”. In Peat, F. David; Hiley, Basil. Quantum Implications: Essays in Honour of David Bohm. Routledge & Kegan Paul Ltd. pp. 235–248. ISBN 978-0415069601
^ Khrennikov, A. Y. (1997): Non-Archimedean Analysis: Quantum Paradoxes, Dynamical Systems and Biological Models. Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4800-1
^ Székely, G.J. (2005) Half of a Coin: Negative Probabilities, Wilmott Magazine July, pp 66–68.
^ Ruzsa, Imre Z.; SzéKely, Gábor J. (1983). “Convolution quotients of nonnegative functions”. Monatshefte für Mathematik 95 (3): 235–239. doi:10.1007/BF01352002.
^ Ruzsa, I.Z. and Székely, G.J. (1988): Algebraic Probability Theory, Wiley, New York ISBN 0-471-91803-2
^ Wigner, E. (1932). “On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium”. Physical Review 40 (5): 749–759. Bibcode: 1932PhRv...40..749W. doi:10.1103/PhysRev.40.749.
^ Bartlett, M. S. (1945). “Negative Probability”. Math Proc Camb Phil Soc 41: 71–73. Bibcode: 1945PCPS...41...71B. doi:10.1017/S0305004100022398.
^ Haug, E. G. (2004): Why so Negative to Negative Probabilities, Wilmott Magazine, Re-printed in the book (2007); Derivatives Models on Models, John Wiley & Sons, New York
^ Burgin and Meissner: Negative Probabilities in Financial Modeling Wilmott Magazine March 2012

[1] Dirac, P. A. M. (1942). “Bakerian Lecture. The Physical Interpretation of Quantum Mechanics”. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 180 (980): 1–39. Bibcode: 1942RSPSA.180....1D. doi:10.1098/rspa.1942.0023. JSTOR 97777.

[2] Feynman, Richard P. (1987). “Negative Probability”. In Peat, F. David; Hiley, Basil. Quantum Implications: Essays in Honour of David Bohm. Routledge & Kegan Paul Ltd. pp. 235–248. ISBN 978-0415069601

[3] Khrennikov, A. Y. (1997): Non-Archimedean Analysis: Quantum Paradoxes, Dynamical Systems and Biological Models. Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4800-1

[4] Székely, G.J. (2005) Half of a Coin: Negative Probabilities, Wilmott Magazine July, pp 66–68.

[5] Ruzsa, Imre Z.; SzéKely, Gábor J. (1983). “Convolution quotients of nonnegative functions”. Monatshefte für Mathematik 95 (3): 235–239. doi:10.1007/BF01352002.

[6] Ruzsa, I.Z. and Székely, G.J. (1988): Algebraic Probability Theory, Wiley, New York ISBN 0-471-91803-2

[7] Wigner, E. (1932). “On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium”. Physical Review 40 (5): 749–759. Bibcode: 1932PhRv...40..749W. doi:10.1103/PhysRev.40.749.

[8] Bartlett, M. S. (1945). “Negative Probability”. Math Proc Camb Phil Soc 41: 71–73. Bibcode: 1945PCPS...41...71B. doi:10.1017/S0305004100022398.

[9] Haug, E. G. (2004): Why so Negative to Negative Probabilities, Wilmott Magazine, Re-printed in the book (2007); Derivatives Models on Models, John Wiley & Sons, New York

[10] Burgin and Meissner: Negative Probabilities in Financial Modeling Wilmott Magazine March 2012

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数理すうり物理ぶつり

ウィグナー関数かんすう

ファイナンス

関連かんれん項目こうもく

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