大数たいすうの法則ほうそく

サイコロ投なげの試行しこう回数かいすうを限かぎりなく増ふやすと、出でた目めの標本ひょうほん平均へいきんは平均へいきんに収束しゅうそくする。

大数たいすうの法則ほうそく（たいすうのほうそく、英えい: Law of Large Numbers, LLN、仏ふつ: Loi des grands nombres^{[注釈ちゅうしゃく 1]}）とは、確率かくりつ論ろん・統計とうけい学がくにおける基本きほん定理ていりの一ひとつ。確かく率りつの公理こうりにより構成こうせいされる確かく率りつ空間くうかんの体系たいけいは、統計とうけい学がく的てき確かく率りつと矛盾むじゅんしないことを保証ほしょうする定理ていりである。

たとえばサイコロを振ふり、出でた目めを記録きろくすることを考かんがえる。この試行しこう回数かいすうを限かぎりなく増ふやせば、出でた目めの標本ひょうほん平均へいきんが目めの期待きたい値ちである $3.5$ の近傍きんぼうから外はずれる確かく率りつはいくらでも小ちいさくなる。これは大数たいすうの法則ほうそくから導みちびかれる帰結きけつの典型てんけい例れいである。より一般いっぱんに、大数たいすうの法則ほうそくは「独立どくりつ同どう分布ぶんぷに従したがう可か積分せきぶん系けい確かく率りつ変数へんすう列れつの標本ひょうほん平均へいきんは平均へいきんに収束しゅうそくする」と述のべられる。

厳密げんみつには、大数たいすうの法則ほうそくは収束しゅうそくをどのようにとらえるかに応おうじて、ヤコブ・ベルヌーイによる大数たいすうの弱じゃく法則ほうそく (WLLN: Weak Law of Large Numbers) と、エミール・ボレルやアンドレイ・コルモゴロフによる大数たいすうの強つよ法則ほうそく (SLLN: Strong Law of Large Numbers) の2つに大別たいべつされる。単たんに「大数たいすうの法則ほうそく」と言いった場合ばあい、どちらを指さしているのかは文脈ぶんみゃくにより判断はんだんする必要ひつようがある。

具体ぐたい例れい

多数たすうのコインを投なげたときの表ひょう（赤あか）と裏うら（青あお）の出でた頻度ひんど（左ひだり）と円えんグラフで表あらわした比率ひりつ（右みぎ）。

試行しこうにおいて事象じしょうが起おこる公理こうり的てき確かく率りつを $p$ とする。さらに、この試行しこうを反復はんぷくしても、各かく結果けっかの起おこりやすさは変化へんかしない（他たの結果けっかに影響えいきょうを及およぼすことがない）ものとする^{[注釈ちゅうしゃく 2]}。この仮定かていの下もとで、試行しこうにおける事象じしょうの（起おこる）確かく率りつは、試行しこう回数かいすうを限かぎりなく増ふやしていったときの、その事象じしょうの頻度ひんど（発生はっせい回数かいすうの相対そうたい度数どすう）の極限きょくげん値ね（統計とうけい的てき確率かくりつあるいは経験けいけん的てき確かく率りつ）はほとんど確実かくじつに $p$ に等ひとしくなる。これは大数たいすうの法則ほうそくから導みちびかれる重要じゅうような帰結きけつの一ひとつであり、上記じょうきの仮定かていの下したで統計とうけい的てき確かく率りつは公理こうり的てき確かく率りつに等ひとしいことの数学すうがく的てきな根拠こんきょを与あたえる。

たとえばコイントス、特とくに公正こうせいなコイン（ゆがみや偏かたよりがない、完全かんぜんに対称たいしょうなコイン）を投なげて出でた面めんを記録きろくする試行しこうを行おこなうとする。このとき、表ひょうが出でる確かく率りつと裏うらが出でる確かく率りつは等ひとしいと考かんがえられるためともに $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2$ である確かく率りつ空間くうかんになる。このとき、コイン投なげの試行しこう回数かいすうを限かぎりなく増ふやすと、表ひょうが出でる回数かいすうと裏うらが出でる回数かいすうの比率ひりつはどちらも $1 / 2$ に近ちかづく。実際じっさいには、試行しこう回数かいすうが有限ゆうげんでは、各かく頻度ひんどが完全かんぜんに $1 / 2$ になることはほぼないが、極限きょくげん値ちとしては各かく頻度ひんどが $1 / 2$ に収束しゅうそくする。これが大数たいすうの法則ほうそくの主張しゅちょうである。

試行しこうの回数かいすうを時刻じこくと見みたとき、時刻じこく無限むげん大だいの極限きょくげんにおいて時間じかん平均へいきんが相あい平均へいきんに一致いっちするという意味いみで、エルゴード理論りろんの最もっとも単純たんじゅんな数学すうがく的てき定式ていしき化か（エルゴード定理ていり）のうちの一ひとつであるといえる。

数学すうがく的てき定式ていしき化か

独立どくりつ同どう分布ぶんぷに従したがう可か積分せきぶん系けい確かく率りつ変数へんすうの無限むげん列れつ $X 1, X 2, \dots$ が与あたえられたとき、その平均へいきんを $μ みゅー$ とおく。標本ひょうほん平均へいきん

{\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})\quad (n\geq 1)

のとる値ねが平均へいきん $μ みゅー$ の近傍きんぼうから外はずれる確かく率りつは、十分じゅうぶん大おおきな $n$ を取とれば、いくらでも小ちいさくできる^{[注釈ちゅうしゃく 3]}：

\lim _{n\to \infty }P(\vert {\bar {X}}_{n}-\mu \vert >\varepsilon )=0\quad (\forall \varepsilon >0).

これを大数たいすうの弱じゃく法則ほうそくという。さらに同おなじ仮定かていの下もとで、 $n \to \infty$ とするとき、 ${\bar {X}}_{n}$ は $μ みゅー$ にほとんど確実かくじつに（almost surely, 確かく率りつ $1$ で）収束しゅうそくする^{[注釈ちゅうしゃく 4]}：

P(\lim _{n\to \infty }{\bar {X}}_{n}=\mu )=1.

これを大数たいすうの強つよ法則ほうそくという。

強つよ法則ほうそくの方ほうが弱じゃく法則ほうそくより強つよい主張しゅちょうをしているが、その分ぶん証明しょうめいが難むずかしい。

証明しょうめい

この節ふしでは確かく率りつ変数へんすうが有限ゆうげんの分散ぶんさん $σ しぐま 2$ をもつ場合ばあいに限かぎって、大数たいすうの弱じゃく法則ほうそくの証明しょうめいを与あたえる。

確かく率りつ変へん数列すうれつは独立どくりつ同どう分布ぶんぷに従したがっているので、確かく率りつ変数へんすう ${\bar {X}}_{n}$ の平均へいきんと分散ぶんさんはそれぞれ $μ みゅー$ と $σ しぐま 2 / n$ になる。よってチェビシェフの不等式ふとうしきから

0\leq P(\left\vert {\bar {X}}_{n}-\mu \right\vert >\varepsilon )\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}V({\bar {X}}_{n})={\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )

となり、定理ていりの主張しゅちょうが得えられる。

仮定かていを満みたさない例れい

標準ひょうじゅんコーシー分布ぶんぷに従したがう独立どくりつな標本ひょうほんの平均へいきんが取とる値ねの推移すいい例れい。

大数たいすうの法則ほうそくは（有限ゆうげんな）期待きたい値ちの存在そんざいを仮定かていしている。期待きたい値ちの存在そんざいしない場合ばあいは、大数たいすうの法則ほうそくが当あてはまらないことがある。例たとえば安定あんてい分布ぶんぷにおける特性とくせい指数しすうが $α あるふぁ \leq 1$ の場合ばあい（例れい：コーシー分布ぶんぷ）である。また、大数たいすうの法則ほうそくが成立せいりつするためには事象じしょうの独立どくりつが保証ほしょうされなければならない。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ この名前なまえはシメオン・ドニ・ポアソンに由来ゆらいする。
^ つまり、独立どくりつにベルヌーイ分布ぶんぷに従したがう確かく率りつ変へん数列すうれつが与あたえられた場合ばあいを例れいとして考かんがえる。
^ つまり ${\bar {X}}_{n}$ が $μ みゅー$ に確かく率りつ収束しゅうそくする： ${\bar {X}}_{n}{\overset {P}{\longrightarrow }}\mu \ (n\to \infty ).$
^ つまり ${\bar {X}}_{n}$ が $μ みゅー$ に概がい収束しゅうそくする： ${\bar {X}}_{n}{\overset {\text{a.s.}}{\longrightarrow }}\mu \ (n\to \infty ).$

参考さんこう文献ぶんけん

伊藤いとう雄二ゆうじ『確率かくりつ論ろん』朝倉書店あさくらしょてん、2002年ねん。ISBN 978-4254114409。

外部がいぶリンク

『大数たいすうの法則ほうそく』 - コトバンク
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Law of large numbers”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
中嶋なかじま眞澄ますみ (2004-06-20), “大数たいすうの強つよ法則ほうそくの初等しょとう的てき証明しょうめい”, 鹿児島かごしま経済けいざい論集ろんしゅう 45 (1): 1–5, NAID 110004671025（強つよし法則ほうそくのみ。分散ぶんさんの有限ゆうげん性せいを仮定かていしない。）

[1] この名前なまえはシメオン・ドニ・ポアソンに由来ゆらいする。

[2] つまり、独立どくりつにベルヌーイ分布ぶんぷに従したがう確かく率りつ変へん数列すうれつが与あたえられた場合ばあいを例れいとして考かんがえる。

[3] つまり ${\bar {X}}_{n}$ が $μ みゅー$ に確かく率りつ収束しゅうそくする： ${\bar {X}}_{n}{\overset {P}{\longrightarrow }}\mu \ (n\to \infty ).$

[4] つまり ${\bar {X}}_{n}$ が $μ みゅー$ に概がい収束しゅうそくする： ${\bar {X}}_{n}{\overset {\text{a.s.}}{\longrightarrow }}\mu \ (n\to \infty ).$

[注釈ちゅうしゃく 1]

[注釈ちゅうしゃく 2]

[注釈ちゅうしゃく 3]

[注釈ちゅうしゃく 4]

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