出典 しゅってん 百科 ひゃっか 事典 じてん
ラプラス原理 げんり （ラプラスげんり、英 えい Laplace principle, Laplace's principle ）は大 だい 偏差 へんさ 原理 げんり （英語 えいご 版 ばん 関 かん 理論 りろん 基本 きほん 的 てき 定理 ていり 原理 げんり 一般 いっぱん 化 か ヴァラダンの補題 ほだい （英語 えいご 版 ばん 原理 げんり 固定 こてい 集合 しゅうごう A 上 うえ exp(−θ しーた φ ふぁい x )) のルベーグ積分 せきぶん が、θ しーた 大 おお 漸近 ぜんきん 的 てき 振 ふ 舞 ま 見 み 述 の 実際 じっさい 例 れい 統計 とうけい 力学 りきがく 逆 ぎゃく 温度 おんど 無限 むげん 大 だい 極限 きょくげん 温度 おんど 絶対 ぜったい 零 れい 度 ど 近 ちか 系 けい 振 ふ 舞 ま 議論 ぎろん 際 さい 原理 げんり 用 もち
A をルベーグ可 か 測 はか な d 次元 じげん ユークリッド空間 くうかん R d 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 可 か 測 はか 関数 かんすう φ ふぁい R d R
∫
A
e
−
φ ふぁい (
x
)
d
x
<
+
∞
{\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,\mathrm {d} x<+\infty }
であるとする。このとき、以下 いか 関係 かんけい 成 な 立 た
lim
θ しーた →
+
∞
1
θ しーた
log
∫
A
e
−
θ しーた φ ふぁい (
x
)
d
x
=
−
e
s
s
i
n
f
x
∈
A
φ ふぁい (
x
)
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to +\infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x).}
ここで ess inf は本質 ほんしつ 的 てき 下限 かげん (essential infimum) を表 あらわ 充分 じゅうぶん 大 おお θ しーた 上 うえ 関係 かんけい 次 つぎ 漸近 ぜんきん 表現 ひょうげん 得 え
∫
A
e
−
θ しーた φ ふぁい (
x
)
d
x
≈
exp
(
−
θ しーた
e
s
s
i
n
f
x
∈
A
φ ふぁい (
x
)
)
.
{\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).}
ラプラス原理 げんり 以下 いか 与 あた 確 かく 率 りつ 測度 そくど P θ しーた 族 ぞく
P
θ しーた
(
A
)
=
(
∫
A
e
−
θ しーた φ ふぁい (
x
)
d
x
)
/
(
∫
R
d
e
−
θ しーた φ ふぁい (
y
)
d
y
)
.
{\displaystyle \mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\right){\Big /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,\mathrm {d} y\right).}
に対 たい 適用 てきよう θ しーた 大 おお 場合 ばあい 事象 じしょう 集合 しゅうごう A に対 たい 確 かく 率 りつ 漸近 ぜんきん 表現 ひょうげん 与 あた X を R 上 うえ 正規 せいき 分布 ぶんぷ 確 かく 率 りつ 変数 へんすう 可 か 測 はか 集合 しゅうごう A について
lim
ε いぷしろん ↓
0
ε いぷしろん log
P
[
ε いぷしろん
X
∈
A
]
=
−
e
s
s
i
n
f
x
∈
A
x
2
2
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}
という関係 かんけい 成 な 立 た
Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications . Applications of Mathematics (New York) 38 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2 MR 1619036 
![{\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8959a17bbc812b78901068ab669b8e61ef7fd52)
