条件じょうけん付づけ期待きたい値ち

確率かくりつ論ろんにおいて、確かく率りつ変数へんすうの条件じょうけん付つき期待きたい値ち（じょうけんつききたいち、英えい: conditional expectation）とは初等しょとう的てきには何なんらかの情報じょうほうが与あたえられた場合ばあいの確かく率りつ変数へんすうに期待きたいされる値ねのことである。しかし、より一般いっぱんの場合ばあいの定義ていぎでは、確かく率りつ変数へんすうの条件じょうけん付つき期待きたい値ちは新あたらしい確かく率りつ変数へんすうであり、元もとの確かく率りつ変数へんすうより強つよい可か測はか性せいをもつ。このことは新あたらしい確かく率りつ変数へんすうを決定けっていするのに必要ひつような情報じょうほうが減少げんしょうしたということなので、情報じょうほうを減へらしたときに確かく率りつ変数へんすうがどうなるかを計算けいさんしたものとみることもできる。この方法ほうほうで情報じょうほうを最小さいしょうのものにすると、条件じょうけん付つき期待きたい値ちは定数ていすうになり期待きたい値ちと一致いっちする。初等しょとう的てきな定義ていぎでは、この最小さいしょうの情報じょうほうに情報じょうほうを追加ついかしたときの挙動きょどうを見みているといってもよい。

初等しょとう的てきな定義ていぎ

初等しょとう的てきな定義ていぎでは条件じょうけん付つき期待きたい値ちは条件じょうけん付つき確かく率りつによる期待きたい値ちである。P(A) > 0 をみたす事象じしょう A が起おきたことが分わかったときに、事象じしょう B が起おきる条件じょうけん付つき確かく率りつは

\operatorname {P} (B\mid A):={\frac {\operatorname {P} (A\cap B)}{\operatorname {P} (A)}}

で定義ていぎされ、事象じしょう A が起おきたことが分わかったときの確かく率りつ変数へんすう X の条件じょうけん付つき期待きたい値ちは

\operatorname {E} [X\mid A]:=\operatorname {E} ^{\operatorname {P} (\cdot \mid A)}[X]={\frac {\operatorname {E} [X,A]}{\operatorname {P} (A)}}

で与あたえられる。

初等しょとう的てきな場合ばあいの例れい

大小だいしょう二ふたつのサイコロを投なげて大おおきいほうのサイコロの目めを $X$ 、小ちいさいほうのサイコロの目めを $Y$ としよう。条件じょうけん付つき期待きたい値ちを計算けいさんしたい確かく率りつ変数へんすうを2つのサイコロの目めの積せき $XY$ とし、 $Y = 3$ という情報じょうほうが分わかっているとする。このとき、ありうる可能かのう性せいは $(X, Y) = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)}$ の6通とおりであり、それぞれ確かく率りつ 1/6 なので

\operatorname {E} [XY\mid Y=3]=1\cdot 3\cdot {\frac {1}{6}}+\cdots +6\cdot 3\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {21}{2}}

となる。同様どうように $Y = y$ が分わかっているとすると

\operatorname {E} [XY\mid Y=y]={\frac {21y}{6}}

というのが分わかるが、これを

\operatorname {E} [XY\mid Y]={\frac {21Y}{6}}

と書かくと、「 $Y$ の値ねが決きまったときの $XY$ の期待きたい値ちは 21 Y / 6 である。」と自然しぜんに読よむことができる。このようなことは一般いっぱんの確かく率りつ変数へんすうの組くみ $X$ と $Y$ が与あたえられた場合ばあいにもいえることで、関数かんすう $f$ をうまく見みつけてきて

E[X\mid Y]=f(Y)

とすることができる。

一般いっぱんの場合ばあい

初等しょとう的てきな場合ばあいの例れいでサイコロを投なげるかわりに、 $X$ と $Y$ が平均へいきん $2$ 、分散ぶんさん $1$ の正規せいき分布ぶんぷに従したがう場合ばあいを考かんがえてみると、

E[XY\mid Y]=2Y

とするのがよさそうだが、正規せいき分布ぶんぷは連続れんぞく確かく率りつ分布ぶんぷなので、 $Y = y$ となる確かく率りつは $0$ である。よって、初等しょとう的てきな定義ていぎを使つかうことはできない。そこで、一般いっぱんの場合ばあいは条件じょうけん付つき期待きたい値ちとして満みたすべき条件じょうけんを定さだめて、それを満みたす唯一ゆいいつの確かく率りつ変数へんすうを条件じょうけん付つき期待きたい値ちとして定義ていぎする。

条件じょうけん付つき確かく率りつ密度みつど関数かんすうを使つかい、f_Y(y) > 0 ならば、以下いかのように計算けいさんできる。f_Y(y) は Y の確かく率りつ密度みつど関数かんすうである。

\operatorname {E} [X\mid Y=y]=\int _{\mathcal {X}}xf_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm {d} x,

f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}

さらに、一般いっぱんの場合ばあいは情報じょうほうを事象じしょうでも確かく率りつ変数へんすうの値ねでもなく、完全かんぜん加法かほう族ぞくで与あたえる。

定義ていぎ

確かく率りつ空間くうかん $(Ω おめが, F, P)$ 上うえの可か積分せきぶん確かく率りつ変数へんすう $X$ と σしぐま集合しゅうごう体たい $G \subset F$ が与あたえられたとき、確かく率りつ変数へんすう $Y$ が $X$ の $G$ に関かんする条件じょうけん付つき期待きたい値ちであるとは

$Y$ は $G$ 可か測はかな可か積分せきぶん確かく率りつ変数へんすう
任意にんいの $G$ 可か測はかな事象じしょう $A$ に対たいして、 $E[X, A] = E[Y, A]$

が成なり立たつことである。このような $Y$ は零れい集合しゅうごうを除のぞいて唯一ゆいいつに定さだまるので、 $E[X | G]$ と書かく。