確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう

離散りさん確かく率りつ分布ぶんぷは、確かく率りつ質量しつりょうがはたらく点てんに丸まるを付つけ、支柱しちゅうを付つけて表あらわす。

確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう（かくりつしつりょうかんすう、英えい: probability mass function, PMF）とは、確率かくりつ論ろんおよび統計とうけい学がくにおいて、離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうにその値ねをとる確かく率りつを対応たいおうさせる関数かんすうのことである（単たんに確かく率りつ関数かんすうということもある）。

確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうの定義ていぎ域いきは離散りさん的てきであるスカラー変数へんすうや確かく率りつ変数へんすうベクトルなどの確かく率りつ要素ようそであることもある。

離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうの場合ばあいは連続れんぞく型がた確かく率りつ変数へんすうの場合ばあいと異ことなり、事象じしょうの確かく率りつは高々たかだか可算かさん個この確かく率りつ質量しつりょうの和わで表あらわされる。

定義ていぎ

偏かたよりのないサイコロの確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう。等とう確かく率りつ空間くうかんにおける確かく率りつ分布ぶんぷは離散りさん一いち様よう分布ぶんぷになる。

X : S → A (A ⊆ R) を標本ひょうほん空間くうかん S に定義ていぎされる離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうとすると、X に対たいする確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう f_X : A → [0, 1] は次つぎの式しきで定義ていぎされる。

$f_{X}(x)=\operatorname {P} (X=x)=\operatorname {P} (\{s\in S\mid X(s)=x\})$

確かく率りつ変へん数値すうち a には質量しつりょう（確かく率りつ質量しつりょう）P(X = a) がかかっており、確かく率りつ質量しつりょうの総和そうわは

$\sum _{x\in A}f_{X}(x)=1$

であると考かんがえることができる。 離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうには順序じゅんじょを与あたえておくことでその離散りさん確かく率りつ分布ぶんぷがグラフで表あらわせる。確かく率りつ変数へんすうベクトルなどの確かく率りつ要素ようそに対たいしても同様どうようである。離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすうの像ぞう以外いがいでは確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう値ちは 0、すなわち全すべての $x\notin X(S)$ に対たいして f_X(x) = 0 である。

すると、X の像ぞうは高々たかだか可算かさん集合しゅうごうであるので、確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう f_X(x) は可算かさん個この点てんを除のぞいて全ぜん領域りょういきで 0 となる。確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうの不連続ふれんぞく性せいは、離散りさん確かく率りつ変数へんすうの累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうもまた不連続ふれんぞくであることを示しめす。微分びぶん可能かのうな範囲はんいでは、微分びぶん値ちは 0 であり、その範囲はんいでは確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうもまた 0 である。

測度そくど論ろん的てき定式ていしき化か

離散りさん型がた確かく率りつ変数へんすう X の確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうは 2 つのより一般いっぱん的てきな測度そくど論ろん的てき構成こうせいの特別とくべつな場合ばあいと見みることができる。すなわち、数かぞえ上あげ測度そくどに関かんして、X の確かく率りつ分布ぶんぷと X の確かく率りつ密度みつど関数かんすうである。以下いか詳述しょうじゅつする。

$(A,{\mathcal {A}},P)$ を確かく率りつ空間くうかんとし、$(B,{\mathcal {B}})$ をそのσしぐま-代数だいすうが離散りさん的てきな（したがって特とくに B の一元いちげん集合しゅうごうを含ふくむ）可か測はか空間くうかんとする。この設定せっていにおいて、確かく率りつ変数へんすう $X:A\to B$ は像ぞうが可算かさん集合しゅうごうであれば離散りさん的てきである。pushforward measure $X_{*}(P)$—この文脈ぶんみゃくでは X の分布ぶんぷ (distribution) と呼よばれる—は B 上うえの確かく率りつ測度そくどであって、一元いちげん集合しゅうごうへのその制限せいげんは、各かく b ∈ B に対たいして $f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=[X_{*}(P)](\{b\})$ であるから、確かく率りつ質量しつりょう関数かんすう $f_{X}:B\to \mathbb {R}$ を誘導ゆうどうする。

さて $(B,{\mathcal {B}},\mu )$ を数かぞえ上あげ測度そくどを持もった測度そくど空間くうかんとする。数かぞえ上あげ測度そくどに関かんする X の確かく率りつ密度みつど関数かんすう f は、存在そんざいすれば、（数かぞえ上あげ測度そくどに関かんしての）X の pushforward measure のラドン＝ニコディム微分びぶんであり、したがって $f=dX_{*}P/d\mu$ であり f は B から非負ひふの実数じっすうへの関数かんすうである。したがって、任意にんいの b ∈ B に対たいして、

$P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int _{X^{-1}(\{b\})}\,dP=\int _{\{b\}}f\,d\mu =f(b)$

が成なり立たち、f が実際じっさい確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうであることが証明しょうめいされた。

実例じつれい

標本ひょうほん空間くうかん S を偏かたよりのないコインを投なげた場合ばあいの全すべての結果けっかとし、X を S 中なかに定義ていぎされる試行しこう結果けっか（表ひょう：1、裏うら：0）とする。コインに偏かたよりがないので、確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうは

$f_{X}(x)={\begin{cases}1/2,&x\in \{0,1\},\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}$

であり、これは二に項こう分布ぶんぷの特別とくべつな場合ばあいに相当そうとうする。

多値たちを採とる離散りさん分布ぶんぷおよび確かく率りつ質量しつりょう関数かんすうの例れいは多項たこう分布ぶんぷを参照さんしょう。

関連かんれん資料しりょう

• Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36)

関連かんれん項目こうもく

• 確かく率りつ変数へんすう
• 確かく率りつ密度みつど関数かんすう
• 離散りさん確かく率りつ分布ぶんぷ