E.ホップの拡張かくちょう定理ていり

数学すうがくの測度そくど論ろんにおけるE.ホップの拡張かくちょう定理ていり（英えい: Hopf extension theorem）とは、有限ゆうげん加法かほう的てき測度そくどが完全かんぜん加法かほう族ぞく上うえの（完全かんぜん加法かほう的てき）測度そくどに拡張かくちょうできるための条件じょうけんを述のべた定理ていりである。

X を集合しゅうごう、${\mathcal {F}}$ を X 上うえの有限ゆうげん加法かほう族ぞくとする。${\mathcal {F}}$ 上うえの有限ゆうげん加法かほう的てき測度そくど μみゅー が、F が生成せいせいする完全かんぜん加法かほう族ぞく $\sigma [{\mathcal {F}}]$ 上うえの測度そくどへと拡張かくちょうされるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、μみゅー が ${\mathcal {F}}$ 上うえ完全かんぜん加法かほう的てきであることである。さらに、可算かさん個この $X_{1},X_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}$ で μみゅー(X_k) < ∞ (∀k), X = ⋃∞
k=1 X_k なるものが存在そんざいすれば、拡張かくちょうは一意的いちいてきである。

カラテオドリの拡張かくちょう定理ていりは、ジョルダン測度そくどがルベーグ測度そくどに一意いちいに拡張かくちょうできることを示しめしたものだが、E.ホップは、より一般いっぱんの有限ゆうげん加法かほう的てき測度そくどが（完全かんぜん加法かほう的てき）測度そくどに拡張かくちょうできるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんを示しめした。ただし、本稿ほんこうの一般いっぱんの有限ゆうげん加法かほう的てき測度そくどについての定理ていりを「カラテオドリの拡張かくちょう定理ていり」と呼よんでいるテキストも多おおく見みられる。

定理ていりの内容ないよう

$\Sigma _{0}$ を集合しゅうごう $X$ の部分ぶぶん集合しゅうごうの有限ゆうげん加法かほう族ぞくとする。関数かんすう

$\mu _{0}\colon \Sigma _{0}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$

は有限ゆうげん加法かほう的てきであるとする。すなわち

$\mu _{0}{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{N}A_{n}{\bigr )}=\sum \limits _{n=1}^{N}\mu _{0}(A_{n})$

が $\Sigma _{0}$ 内うちの任意にんいの有限ゆうげん個この互たがいに素もとな集合しゅうごう $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}$ に対たいして成なり立たつものとする。

また、この関数かんすうはより強つよいσしぐま-加法かほう性せいも満みたすものとする。すなわち、

$\mu _{0}{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}{\bigr )}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})$

が、$\cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in \Sigma _{0}$ を満みたす $\Sigma _{0}$ 内うちの任意にんいの互たがいに素そな集合しゅうごう列れつ $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ に対たいして成なり立たつものとする（これらの2つの性質せいしつを満みたす関数かんすう $\mu _{0}$ は前ぜん測度そくどとして知しられている）。このとき $\mu _{0}$ は、$\Sigma _{0}$ により生成せいせいされるσしぐま-代数だいすう $\Sigma$ 上うえで定義ていぎされるある測度そくどへと拡張かくちょうされる。すなわち、$\Sigma _{0}$ への制限せいげんが $\mu _{0}$ と一致いっちするようなある測度そくど

$\mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$

が存在そんざいする。

$\mu _{0}$ が σしぐま-有限ゆうげんであるなら、この拡張かくちょうは一意いちいである。

拡張かくちょうの非ひ一意いちい性せい

$\mu _{0}$ が $\sigma$-有限ゆうげんでないなら、上述じょうじゅつのような拡張かくちょうは必かならずしも一意いちいではない。たとえその拡張かくちょう自身じしんが $\sigma$-有限ゆうげんであっても、その一意いちい性せいは保証ほしょうされない。

そのような一いち例れいを挙あげる：

$a,b\in \mathbb {Q}$ に対たいし、$[a,b)$ の形かたちで表あらわされる任意にんいの $\mathbb {Q}$ の部分ぶぶん集合しゅうごうを有理ゆうり閉開区間くかんと呼よぶことにする。

$X$ を $\mathbb {Q} \cap [0,1)$ とし、$\Sigma _{0}$ を、$\mathbb {Q} \cap [0,1)$ に含ふくまれるすべての有理ゆうり閉開区間くかんの有限ゆうげんな合併がっぺいからなる代数だいすうとする。実際じっさいそのような $\Sigma _{0}$ が代数だいすうであることは簡単かんたんに証明しょうめいすることができる。また、$\Sigma _{0}$ に含ふくまれるすべての空そらでない集合しゅうごうは無限むげん大だいであることも、簡単かんたんに分わかる。

$\mu _{0}$ を、$\Sigma _{0}$ に定義ていぎされる集合しゅうごう計数けいすう関数かんすう ($\#$) とする。$\mu _{0}$ が $\Sigma _{0}$ 内うちにおいて有限ゆうげん加法かほう的てきかつ $\sigma$-加法かほう的てきであることは明あきらかである。$\Sigma _{0}$ に含ふくまれるすべての空そらでない集合しゅうごうは無限むげん大だいであるため、すべての空そらでない集合しゅうごう $A\in \Sigma _{0}$ に対たいして $\mu _{0}(A)=+\infty$ が成なり立たつ。

今いま $\Sigma$ を、$\Sigma _{0}$ によって生成せいせいされる $\sigma$-代数だいすうとする。$\Sigma$ が $X$ の部分ぶぶん集合しゅうごうのボレル $\sigma$-代数だいすうであり、$\#$ と $2\#$ は $\Sigma$ 上うえ定義ていぎされる測度そくどで、それらはいずれも $\mu _{0}$ の拡張かくちょうであることが分わかる。

解説かいせつ

この定理ていりは、完全かんぜん加法かほう性せいが簡単かんたんに確たしかめられる小ちいさい有限ゆうげん加法かほう族ぞく上じょうで測度そくどを定義ていぎしてから、それが生成せいせいする完全かんぜん加法かほう族ぞくへの測度そくどの拡張かくちょうを行おこなうことが常つねに可能かのうである点てんにおいて、優すぐれている。この定理ていりは自明じめいではない。なぜならばこの定理ていりでは、$\mu _{0}$ を有限ゆうげん加法かほう族ぞくからより大おおきい完全かんぜん加法かほう族ぞくへと拡張かくちょうし、しかも（$\mu _{0}$ が $\sigma$-有限ゆうげんであるなら）その拡張かくちょうは一意いちいであり、また拡張かくちょうした関数かんすうの完全かんぜん加法かほう性せいも満みたされている必要ひつようがあるためである。

参考さんこう文献ぶんけん

• 伊藤いとう清三せいぞう『ルベーグ積分せきぶん入門にゅうもん』（第だい46版はん）裳も華はな房ぼう〈数学すうがく選書せんしょ4〉、2008年ねん。ISBN 978-4-7853-1304-3。 

関連かんれん項目こうもく

• 前ぜん測度そくど
• カラテオドリの拡張かくちょう定理ていり
• コルモゴロフの拡張かくちょう定理ていり