対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ

対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ

確かく率りつ密度みつど関数かんすう μみゅー = 0
累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすう μみゅー = 0
母はは数すう	$\mu \in \mathbb {R}$ $\sigma >0$
台だい	$(0,\infty )$
確かく率りつ密度みつど関数かんすう	$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln {x}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすう	${\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left[-{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right]$
期待きたい値ち	$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$
中央ちゅうおう値ち	$e^{\mu }$
最さい頻しき値ね	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$
分散ぶんさん	$e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)$
歪いびつ度ど	${\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}(e^{\sigma ^{2}}+2)$
尖とんが度たび	$e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6$
エントロピー	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln {(2\pi \sigma ^{2})}+\mu$
モーメント母はは関数かんすう	-
特性とくせい関数かんすう	-

確率かくりつ論ろんおよび統計とうけい学がくにおいて、対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ（たいすうせいきぶんぷ、英えい: log-normal distribution）は、連続れんぞく確かく率りつ分布ぶんぷの一種いっしゅである。この分布ぶんぷに従したがう確かく率りつ変数へんすうの対数たいすうをとったとき、対応たいおうする分布ぶんぷが正規せいき分布ぶんぷに従したがうものとして定義ていぎされる。そのため中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていりの乗法じょうほう的てきな類似るいじが成なり立たち、独立どくりつ同どう分布ぶんぷに従したがう確かく率りつ変数へんすうの積せきは漸近ぜんきん的てきに対数たいすう正規せいき分布ぶんぷに従したがう。

定義ていぎ

平均へいきん μみゅー と標準ひょうじゅん偏差へんさ σしぐま > 0 に対たいし、正せいの実数じっすうを値ねにとる確かく率りつ変数へんすう X の確かく率りつ密度みつど関数かんすう f(x) が

$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}x}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\quad 0<x<\infty$

で与あたえられるとき、確かく率りつ変数へんすう X は対数たいすう正規せいき分布ぶんぷに従したがうという。また、上記じょうきの確かく率りつ密度みつど分布ぶんぷに対応たいおうする対数たいすう正規せいき分布ぶんぷを Λらむだ(μみゅー, σしぐま²) と表記ひょうきする。

このとき、対応たいおうする分布ぶんぷ関数かんすう F(X) は

${\begin{aligned}F_{X}(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \!\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\\&=\Phi {\bigg (}{\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}{\bigg )}\end{aligned}}$

である。ただし、erfc は相補そうほ誤差ごさ関数かんすう、Φふぁい は標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷの分布ぶんぷ関数かんすうである。

標準ひょうじゅん対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ

特とくに μみゅー = 0, σしぐま² = 1 のとき、この分布ぶんぷは標準ひょうじゅん対数たいすう正規せいき分布ぶんぷと呼よばれる。

つまり標準ひょうじゅん対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ Λらむだ(0, 1) は

$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x}}\exp \!\left(-{\frac {(\ln x)^{2}}{2}}\right)$

なる確かく率りつ密度みつど関数かんすうを持もつ確かく率りつ分布ぶんぷとして与あたえられる。

正規せいき分布ぶんぷとの関係かんけい

対数たいすう正規せいき分布ぶんぷという名なは、対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ Λらむだ(μみゅー, σしぐま²) に従したがう確かく率りつ変数へんすう X の対数たいすう関数かんすうを取とったときに、新あらたな確かく率りつ変数へんすう Y = ln X が正規せいき分布ぶんぷ N(μみゅー, σしぐま²) に従したがうことに由来ゆらいする。また、正規せいき分布ぶんぷに従したがう確かく率りつ変数へんすうが負まけの値ねを取とりうるのに対たいして、対数たいすう正規せいき分布ぶんぷに従したがう確かく率りつ変数へんすうは正せいの値ねのみ取とるという性質せいしつを有ゆうする。

性質せいしつ

平均へいきん・分散ぶんさん

対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ Λらむだ(μみゅー, σしぐま²) に従したがう確かく率りつ変数へんすう X に対たいし、平均へいきん E(x) および分散ぶんさん V(x) はそれぞれ以下いかで与あたえられる。

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=e^{\mu +\sigma ^{2}/2},\\\operatorname {V} (X)&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1).\end{aligned}}$

再生さいせい性せい

対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ Λらむだ(μみゅー₁, σしぐま₁²) に従したがう確かく率りつ変数へんすう X と対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ Λらむだ(μみゅー₂, σしぐま₂²) に従したがう確かく率りつ変数へんすう Y が互たがいに独立どくりつであるとき、確かく率りつ変数へんすうの積せき XY は対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ Λらむだ(μみゅー₁ + μみゅー₂, σしぐま₁² + σしぐま₂²) に従したがう。

この性質せいしつは正規せいき分布ぶんぷが再生さいせい性せいを有ゆうすることから導みちびかれる。

中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていりの類似るいじ

正せいの値ねを取とる独立どくりつ同どう分布ぶんぷに従したがう確かく率りつ変数へんすう X₁, …, X_n が条件じょうけん

${\begin{aligned}\mu &=\operatorname {E} (\ln X_{i})<\infty \\\sigma ^{2}&=\operatorname {V} (\ln X_{i})<\infty \end{aligned}}$

を満みたすならば、積せき X₁…X_n は漸近ぜんきん的てきに対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ Λらむだ(nμみゅー, nσしぐま²) に従したがう。

n次じ対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ

エスペンシェイドらによって提案ていあんされた次つぎの分布ぶんぷ f_n (x) をn 次じ対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ (n-th order log-normal distribution) という：

$f_{n}(x)=c_{n}x^{n}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\ln \mu )^{2}}{2(\ln \sigma )^{2}}}\right)$

ここで、μみゅー, σしぐま はそれぞれ平均へいきん、分散ぶんさんに関かんする値ね、c_n は正規せいき化かのための定数ていすうで

$c_{n}^{-1}={\sqrt {2\pi }}\ln \sigma \mu ^{n+1}\exp \left({\frac {(n+1)^{2}(\ln \sigma )^{2}}{2}}\right)$

である。通常つうじょうの対数たいすう正規せいき分布ぶんぷは n = −1 次つぎの場合ばあいに相当そうとうする。

0次じ対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ

特とくに0次じ対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ (ZOLD)：

$f_{0}(x)={\frac {\exp \left(-{\dfrac {(\ln x-\ln \mu )^{2}}{2(\ln \sigma )^{2}}}\right)}{{\sqrt {2\pi }}\ln \sigma \mu \exp \left({\dfrac {(\ln \sigma )^{2}}{2}}\right)}}$

は、最さい頻しき値ねが μみゅー に等ひとしく、σしぐま に依存いぞんしないことから感覚かんかく的てきな理解りかいが容易よういで、物理ぶつり学がくの分野ぶんやで用もちいられることがある。

参考さんこう文献ぶんけん

• 蓑谷みのたに千せん凰彦『統計とうけい分布ぶんぷハンドブック』朝倉書店あさくらしょてん、2003年ねん。 
• Crow, Edwin L.; Shimizu, Kunio (1988). Lognormal distributions. Statistics: Textbooks and Monographs. 88. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7803-0. MR0939191. Zbl 0644.62014. https://books.google.co.jp/books?id=B8kNa1khS4QC 

関連かんれん項目こうもく

• 正規せいき分布ぶんぷ
• ジブラ法則ほうそく（比例ひれい効果こうかの法則ほうそく）