Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Lognormale verdeling
Kansdichtheid μ みゅー =0
Verdelingsfunctie μ みゅー =0
Parameters
σ しぐま
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
−
∞
<
μ みゅー
<
∞
{\displaystyle -\infty <\mu <\infty }
Drager
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
Kansdichtheid
1
x
σ しぐま
2
π ぱい
exp
[
−
(
ln
(
x
)
−
μ みゅー
)
2
2
σ しぐま
2
]
{\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln(x)-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}
Verdelingsfunctie
1
2
+
1
2
e
r
f
[
ln
(
x
)
−
μ みゅー
σ しぐま
2
]
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}
Verwachtingswaarde
e
μ みゅー
+
σ しぐま
2
/
2
{\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
Mediaan
e
μ みゅー
{\displaystyle e^{\mu }\,}
Modus
e
μ みゅー
−
σ しぐま
2
{\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}
Variantie
(
e
σ しぐま
2
−
1
)
e
2
μ みゅー
+
σ しぐま
2
{\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}
Scheefheid
(
e
σ しぐま
2
+
2
)
e
σ しぐま
2
−
1
{\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}
Kurtosis
e
4
σ しぐま
2
+
2
e
3
σ しぐま
2
+
3
e
2
σ しぐま
2
−
6
{\displaystyle {e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6}}
Entropie
1
2
+
1
2
ln
(
2
π ぱい
σ しぐま
2
)
+
μ みゅー
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }
In de kansrekening is de lognormale verdeling de kansverdeling van een stochastische variabele waarvan de logaritme normaal verdeeld is. Als de stochastische variabele
Y
{\displaystyle Y}
normaal verdeeld is, heeft de stochastische variabele
X
=
e
Y
{\displaystyle X=e^{Y}}
dus een lognormale verdeling. In de statistiek wordt een lognormale verdeling gebruikt om een variabele te modelleren die kan worden gezien als het multiplicatieve resultaat van een aantal kleine, onafhankelijke factoren.
De lognormale verdeling is de kansverdeling met als kansdichtheid, gedefinieerd voor
x
>
0
{\displaystyle x>0}
,
f
(
x
;
μ みゅー
,
σ しぐま
)
=
1
x
σ しぐま
2
π ぱい
e
−
1
2
(
ln
(
x
)
−
μ みゅー
σ しぐま
)
2
{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\ e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}
.
Hierin stellen de parameters
μ みゅー
{\displaystyle \mu }
en
σ しぐま
{\displaystyle \sigma }
respectievelijk de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de natuurlijke logaritme van de betrokken variabele voor. De verdelingsfunctie is
1
2
+
1
2
e
r
f
[
ln
(
x
)
−
μ みゅー
σ しぐま
2
]
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}
Hoewel alle momenten bestaan en gegeven worden door
μ みゅー
k
=
e
k
μ みゅー
+
k
2
σ しぐま
2
/
2
{\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}}
,
bestaat de momentgenererende functie zelf niet.
Als de toevalsvariabele
X
{\displaystyle X}
lognormaal verdeeld is, noteert men dit wel als
X
∼
L
o
g
-
N
(
μ みゅー
,
σ しぐま
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}
.
Laat
X
{\displaystyle X}
een lognormaal verdeelde toevalsvariabele zijn. Dan is
de verwachtingswaarde gelijk aan
E
(
X
)
=
e
μ みゅー
+
σ しぐま
2
/
2
{\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
.
De variantie is
v
a
r
(
X
)
=
(
e
σ しぐま
2
−
1
)
e
2
μ みゅー
+
σ しぐま
2
{\displaystyle \mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}
Overige eigenschappen, zoals modus , mediaan en scheefheid , staan in de tabel rechtsboven.
Inderdaad is de stochastische variabele
Y
=
ln
(
X
)
{\displaystyle Y=\ln(X)}
normaal verdeeld, immers:
P
(
Y
≤
y
)
=
P
(
ln
(
X
)
≤
y
)
=
P
(
X
≤
e
y
)
{\displaystyle P(Y\leq y)=P(\ln(X)\leq y)=P(X\leq e^{y})}
,
dus de dichtheid van
Y
{\displaystyle Y}
is:
f
Y
(
y
)
=
d
d
y
P
(
Y
≤
y
)
=
d
d
y
P
(
X
≤
e
y
)
=
f
X
(
e
y
)
e
y
=
1
σ しぐま
2
π ぱい
e
−
1
2
(
y
−
μ みゅー
σ しぐま
)
2
{\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}y}}P(Y\leq y)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}y}}P(X\leq e^{y})=f_{X}(e^{y})e^{y}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\ e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}
.
Als
X
∼
N
(
μ みゅー
,
σ しぐま
2
)
{\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}
dan
exp
(
X
)
∼
L
o
g
-
N
(
μ みゅー
,
σ しぐま
2
)
{\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}
.
Als
X
m
∼
L
o
g
-
N
(
μ みゅー
,
σ しぐま
m
2
)
{\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2})}
, met m = 1, .., n onafhankelijke lognormaal verdeelde stochasten, met dezelfde waarde μ みゅー , zijn en
Y
=
∏
m
=
1
n
X
m
{\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}}
, dan volgt Y een lognormale verdeling:
Y
∼
L
o
g
-
N
(
n
μ みゅー
,
∑
m
=
1
n
σ しぐま
m
2
)
{\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)}
.