出典 しゅってん 百科 ひゃっか 事典 じてん
カイ二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ
確 かく 率 りつ 密度 みつど 関数 かんすう
累積 るいせき 分布 ぶんぷ 関数 かんすう 母 はは 数 すう
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
台 だい
[0, ∞) 確 かく 率 りつ 密度 みつど 関数 かんすう
x
k
/
2
−
1
e
−
x
/
2
2
k
/
2
Γ がんま (
k
/
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2}\Gamma (k/2)}}}
累積 るいせき 分布 ぶんぷ 関数 かんすう
γ がんま (
k
/
2
,
x
/
2
)
Γ がんま (
k
/
2
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}
期待 きたい 値 ち
k 中央 ちゅうおう 値 ち
≃
k
−
2
3
+
4
27
k
−
8
729
k
2
{\displaystyle \simeq k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}}
最 さい 頻 しき 値 ね
0 for k < 2k − 2 for k ≥ 2 分散 ぶんさん
2k 歪 いびつ 度 ど
2
2
k
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {k}}}}
尖 とんが 度 たび
12 / k エントロピー
k / 2 Γ がんま k / 2 k / 2 ψ ぷさい k / 2 モーメント母 はは 関数 かんすう
1
(
1
−
2
t
)
k
/
2
for
t
<
1
/
2
{\displaystyle {\frac {1}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}t<1/2}
特性 とくせい 関数 かんすう
1
(
1
−
2
i
t
)
k
/
2
{\displaystyle {\frac {1}{(1-2it)^{k/2}}}}
テンプレートを表示 ひょうじ
カイ二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ （カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχ かい 2 分布 ぶんぷ 確 かく 率 りつ 分布 ぶんぷ 一種 いっしゅ 推計 すいけい 統計 とうけい 学 がく 最 もっと 広 ひろ 利用 りよう ヘルメルト により発見 はっけん [1] ピアソン により命名 めいめい [2]
独立 どくりつ 標準 ひょうじゅん 正規 せいき 分布 ぶんぷ 従 したが k 個 こ 確 かく 率 りつ 変数 へんすう X 1 , …, Xk 統計 とうけい 量 りょう
Z
=
∑
i
=
1
k
X
i
2
{\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}^{2}}
の従 したが 分布 ぶんぷ 自由 じゆう 度 ど k のカイ二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ 呼 よ
普通 ふつう
Z
∼
χ かい
k
2
{\displaystyle Z\sim \chi _{k}^{2}}
と書 か 二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ k という1個 いっこ 母 はは 数 すう Xi の自由 じゆう 度 ど 等 ひと 正 せい 整数 せいすう 場合 ばあい 非 ひ 整数 せいすう 自由 じゆう 度 ど 二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ 用 もち 二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ ガンマ分布 ぶんぷ の特殊 とくしゅ 場合 ばあい 当 あ
カイ二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ カイ二 に 乗 じょう 検定 けんてい と総称 そうしょう 多 おお 検定 けんてい 法 ほう フリードマン検定 けんてい （英語 えいご 版 ばん 利用 りよう
カイ二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ 確 かく 率 りつ 密度 みつど 関数 かんすう x ≥ 0対 たい
f
(
x
;
k
)
=
1
2
k
/
2
Γ がんま (
k
/
2
)
x
k
/
2
−
1
e
−
x
/
2
{\displaystyle f(x;k)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}
また x ≤ 0対 たい fk (x ) = 0形 かたち Γ がんま ガンマ関数 かんすう である。
分布 ぶんぷ 関数 かんすう
F
(
x
;
k
)
=
γ がんま (
k
/
2
,
x
/
2
)
Γ がんま (
k
/
2
)
{\displaystyle F(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}
（ただし γ がんま k , z )不完全 ふかんぜん 関数 かんすう
Y
=
X
1
/
ν にゅー
1
X
2
/
ν にゅー
2
{\displaystyle Y={\frac {X_{1}/\nu _{1}}{X_{2}/\nu _{2}}}}
X
1
∼
χ かい
ν にゅー
1
2
{\displaystyle X_{1}\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}}
X
2
∼
χ かい
ν にゅー
2
2
{\displaystyle X_{2}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}
二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ 従 したが 独立 どくりつ 確 かく 率 りつ 変数 へんすう
Y
∼
F
(
ν にゅー
1
,
ν にゅー
2
)
{\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}
自由 じゆう 度 ど 割 わ 比 ひ F分布 ぶんぷ に従 したが
X
∼
χ かい
2
2
{\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}
自由 じゆう 度 ど X は期待 きたい 値 ち 2 の指数 しすう 分布 ぶんぷ 従 したが
自由 じゆう 度 ど k のカイ二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ 従 したが 確 かく 率 りつ 変数 へんすう 期待 きたい 値 ち k で、分散 ぶんさん 2k である。中央 ちゅうおう 値 ち 近似 きんじ 的 てき
k
−
2
3
+
4
27
k
−
8
729
k
2
{\displaystyle k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}}
となる。
カイ二 に 乗 じょう 分布 ぶんぷ 再生 さいせい 性 せい 持 も
X
∼
χ かい
m
2
,
Y
∼
χ かい
n
2
{\displaystyle X\sim \chi _{m}^{2},\ Y\sim \chi _{n}^{2}}
X
+
Y
∼
χ かい
m
+
n
2
{\displaystyle X+Y\sim \chi _{m+n}^{2}}
正規 せいき 分布 ぶんぷ 近似 きんじ [ 編集 へんしゅう ]
X
∼
χ かい
k
2
{\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}
k が無限 むげん 大 だい 近 ちか X の分布 ぶんぷ 正規 せいき 分布 ぶんぷ 近 ちか 近 ちか 方 かた 歪 いびつ 度 ど
8
k
{\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{k}}}}
尖 とんが 度 たび 12 / k X 自体 じたい 速 はや 正規 せいき 分布 ぶんぷ 近 ちか 次 つぎ 方法 ほうほう 普通 ふつう 用 もち
2
X
{\displaystyle {\sqrt {2X}}}
近似 きんじ 的 てき 平均 へいきん √ 2k − 1 分散 ぶんさん 1 の正規 せいき 分布 ぶんぷ 従 したが ロナルド・フィッシャー ）。
X
k
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {X}{k}}}}
近似 きんじ 的 てき 平均 へいきん 1 − 2 / 9k 、分散 ぶんさん 2 / 9k 正規 せいき 分布 ぶんぷ 従 したが 1931年 ねん ）。
^ Helmert, F. R. (1875): Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler , Zeitschrift für Mathematik und Physik, 20 , 300-303, インターネットアーカイブ : zeitschriftfrma29runggoog/page/n287 .
^ Pearson, K. (1900): On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling , Philosophical Magazine 5, 50 , 157-175, doi :10.1080/14786440009463897 .
離散 りさん 単 たん 変量 へんりょう 有限 ゆうげん 台 だい 離散 りさん 単 たん 変量 へんりょう 無限 むげん 台 だい 連続 れんぞく 単 たん 変量 へんりょう 有界 ゆうかい 区間 くかん 台 だい 持 も 連続 れんぞく 単 たん 変量 へんりょう 半 はん 無限 むげん 区間 くかん 台 だい 持 も 連続 れんぞく 単 たん 変量 へんりょう 実数 じっすう 直線 ちょくせん 全体 ぜんたい 台 だい 持 も 連続 れんぞく 単 たん 変量 へんりょう 変 か 台 だい 持 も 混 こん 連続 れんぞく 離散 りさん 単 たん 変量 へんりょう 多 た 変量 へんりょう 結合 けつごう 方向 ほうこう 退化 たいか 特異 とくい 族 ぞく サンプリング法 ほう （英語 えいご 版 ばん
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {X}{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27a01c39e8296bbdf63d75c940ab4f92e91c8f5)
