ベータ分布ぶんぷ

第だい1種しゅベータ分布ぶんぷ

確かく率りつ密度みつど関数かんすう
累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすう
母はは数すう	$\alpha >0$ 形状けいじょう母はは数すう (実数じっすう) $\beta >0$ 形状けいじょう母はは数すう (実数じっすう)
台だい	$[0,1]$
確かく率りつ密度みつど関数かんすう	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}$ （B はベータ関数かんすう）
累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすう	$I_{x}(\alpha ,\beta )$ $I_{x}(\alpha ,\beta )$ は正則せいそく化かされた不完全ふかんぜんベータ関数かんすう
期待きたい値ち	$\operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$ $\operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )$ （ψぷさいはディガンマ関数かんすう）
中央ちゅうおう値ち	${\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}$
最さい頻しき値ね	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$ for $\alpha ,\beta >1$
分散ぶんさん	$\operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ $\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$ （ψぷさい1 はトリガンマ関数かんすう）
歪いびつ度ど	${\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
尖とんが度たび	${\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$
エントロピー	${\begin{aligned}\ln \operatorname {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}$
モーメント母はは関数かんすう	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
特性とくせい関数かんすう	${}_{1}\!F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$（Confluent hypergeometric functionを参照さんしょう）

ベータ分布ぶんぷ（ベータぶんぷ、英えい: beta distribution）は、連続れんぞく確かく率りつ分布ぶんぷであり、第だい1種しゅベータ分布ぶんぷおよび第だい2種しゅベータ分布ぶんぷがある。単たんにベータ分布ぶんぷと呼よんだ場合ばあい、第だい1種しゅベータ分布ぶんぷを指さす。

第だい1種しゅベータ分布ぶんぷ

第だい1種しゅベータ分布ぶんぷ（英えい: beta distribution of the first kind）の確かく率りつ密度みつど関数かんすうは以下いかで定義ていぎされる。

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}$

ここで B(αあるふぁ, βべーた) はベータ関数かんすうであり、確かく率りつ変数へんすうの取とる値ねは 0 ≤ x ≤ 1、パラメータ αあるふぁ, βべーた はともに正せいの実数じっすうである。期待きたい値ちは αあるふぁ/αあるふぁ + βべーた、分散ぶんさんは ${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ である。自然しぜんパラメータを ηいーた = (αあるふぁ − 1, βべーた − 1) として以下いかのように書かき換かえられるので、ベータ分布ぶんぷは指数しすう型がた分布ぶんぷ族ぞくである。

$f(x;\eta )=h(\eta )\exp(\eta \cdot u(x))$

ただし $h(\eta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}},u(x)=(\log x,\log(1-x))$ である。

累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすう

累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうは、以下いかの式しきで与あたえられる。

$F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )$

ここで、 $\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt$ は、不完全ふかんぜんベータ関数かんすうであり、 $I_{x}(\alpha ,\beta )$ は、正則せいそく化か不完全ふかんぜんベータ関数かんすうである。

他たの分布ぶんぷとの関係かんけい

• $\alpha =\beta =1/2$のとき逆ぎゃく正弦せいげん分布ぶんぷになる。
• $\alpha =\beta =1$のとき一様いちよう分布ぶんぷになる。

第だい2種しゅベータ分布ぶんぷ

詳細しょうさいは「第だい2種しゅベータ分布ぶんぷ」を参照さんしょう

一般いっぱん化かベータ分布ぶんぷ

a, b, c, p, q が実数じっすうパラメータで、0 ≦ c ≦ 1 で、b, p, q が正せいの時とき、下記かきの確かく率りつ密度みつど関数かんすうを一般いっぱん化かベータ分布ぶんぷ（英えい: generalized beta distribution）という。

$GB(x;a,b,c,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}(1-(1-c)(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+c(x/b)^{a})^{p+q}}}\quad \quad {\text{ for }}0<x^{a}<{\frac {b^{a}}{1-c}},$

一般いっぱん化か第だい1種しゅベータ分布ぶんぷ

c = 0 の時とき、一般いっぱん化か第だい1種しゅベータ分布ぶんぷ（英えい: generalized beta of first kind）という。

$GB1(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=0,p,q).$

$GB1(x;a,b,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}(1-(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}}$

一般いっぱん化か第だい2種しゅベータ分布ぶんぷ

c = 1 の時とき、一般いっぱん化か第だい2種しゅベータ分布ぶんぷ（英えい: generalized beta of second kind）という。台だいは $x\in (0,\infty )\!$ 。

$GB2(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=1,p,q).$

$GB2(x;a,b,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(x/b)^{a})^{p+q}}}$

参考さんこう文献ぶんけん

• 蓑谷みのたに千せん凰彦、統計とうけい分布ぶんぷハンドブック、朝倉書店あさくらしょてん (2003).
• B. S. Everitt（清水しみず良一りょういち訳やく）、統計とうけい科学かがく辞典じてん、朝倉書店あさくらしょてん (2002).

関連かんれん項目こうもく

• 確かく率りつ分布ぶんぷ
• ベータ関数かんすう
• ガンマ分布ぶんぷ
• ディリクレ分布ぶんぷ

外部がいぶリンク

• GSL reference manual Japanese version