ブラック–ショールズ方程式ほうていしき

ブラック–ショールズ方程式ほうていしき（ブラック–ショールズほうていしき、英えい: Black–Scholes equation）とは、デリバティブの価あたい格かくづけに現あらわれる偏へん微分びぶん方程式ほうていしき（およびその境界きょうかい値ち問題もんだい）のことである。

様々さまざまなデリバティブに応用おうようできるが、特とくにオプションに対たいしての適用てきようが著名ちょめいである。ブラック-ショールズ方程式ほうていしきはヨーロピアンオプションのオプション・プレミアムの値ねを解析かいせき的てきに計算けいさんできるが、アメリカンタイプのプット・オプションについては（解析かいせき的てきには）計算けいさんできない。ただし、ブラック-ショールズモデルにおけるアメリカンコールオプションの理論りろん価格かかくはヨーロピアンコールオプションの理論りろん価格かかくと一致いっちする。

ブラック–ショールズ方程式ほうていしきは1973年ねんにフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズによりオプションの価格かかく付づけ問題もんだいについての研究けんきゅうの一環いっかんとして発表はっぴょうされた。後のちにロバート・マートンが彼かれらの方法ほうほうに厳密げんみつな証明しょうめいを与あたえた。これらの理論りろんは現代げんだい金融きんゆう工学こうがくの先さきがけとなったとも言いわれる。

歴史れきし的てき背景はいけい

オプション価格かかくの評価ひょうかについての研究けんきゅうは長ながい歴史れきしがある。ファイナンス研究けんきゅうにおいて先駆せんく的てきな業績ぎょうせきを残のこしたことで知しられるルイ・バシュリエは1900年ねんに発表はっぴょうされた博士はかせ論文ろんぶんの中なかでオプションの評価ひょうか式しきを考察こうさつしていた。しかし、彼かれの評価ひょうか式しきは価格かかくが負まけになることもありうるために非ひ現実げんじつ的てきであった。その後ご、1961年ねんにCase Sprenkleが、1965年ねんにポール・サミュエルソンが株価かぶか変動へんどうに幾何きかブラウン運動うんどうを用もちいたオプション価格かかく式しきを導出みちびきだした。しかしながら、彼かれらの評価ひょうか式しきはオプションの価格かかく評価ひょうかにおいて、今日きょうで言いう所ところのリスクの市場いちば価格かかくを明示めいじ的てきに表現ひょうげんできなかった為ために、実用じつよう性せいに乏とぼしいものであった。

1965年ねんにアーサー・D・リトルで職しょくを得えたフィッシャー・ブラックは同社どうしゃに在籍ざいせきしていたCAPMについての研究けんきゅうで知しられるジャック・トレイナーの影響えいきょうの下した、ワラントの評価ひょうか式しきについての研究けんきゅうを行おこなっていた。その中なかで1969年ねん頃ころに、ブラック–ショールズ方程式ほうていしきの前ぜん段階だんかいとなるようなワラントについての評価ひょうか式しきの導出どうしゅつに成功せいこうしていた。これにはサミュエルソンやロバート・マートンによる多た期間きかんにおいての株式かぶしきと債券さいけんの最適さいてき投資とうし比率ひりつを決定けっていする問題もんだい（マートンのポートフォリオ問題もんだい）についての研究けんきゅうに大おおきく影響えいきょうされたとブラックは述のべている。しかし、ブラックはこの方程式ほうていしきが熱ねつ伝導でんどう方程式ほうていしきの一種いっしゅであることには気付きづかず、解かいを導出どうしゅつできずにいた。ただ、ブラックはこの方程式ほうていしきについて考察こうさつを深ふかめる中なかで、株式かぶしきの期待きたいリターンにワラントの価値かちは依存いぞんしないこと、つまりワラントの価値かちを決定けっていする上じょうで重要じゅうようなのは株式かぶしき全体ぜんたいのリスク（ボラティリティ）であることに気付きづいている。

また、時ときを同おなじくして1969年ねんごろにマサチュまさちゅーセッツ工科大学せっつこうかだいがく（MIT）に所属しょぞくしていたマイロン・ショールズとブラックは知しり合あい、ショールズの紹介しょうかいによりブラックはMITに職場しょくばを移うつした。そこからブラックとショールズの共同きょうどう研究けんきゅうが始はじまり、ワラントの研究けんきゅうから転てんじたオプションの評価ひょうか式しきについての研究けんきゅうは急速きゅうそくに進展しんてんした。

同どう時期じきにオプション評価ひょうか式しきの研究けんきゅうに取とり組くんでいたマートンとの議論ぎろんはブラックとショールズの研究けんきゅうに大おおきな影響えいきょうを与あたえている。両者りょうしゃの関係かんけいは共同きょうどう関係かんけいであり、またライバル関係かんけいであったとブラックは述のべている。そのような中なかでブラックとショールズは伊藤いとう清きよしらにより創始そうしされた確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきの理論りろんとマートンとの議論ぎろんによってもたらされた複製ふくせいポートフォリオの概念がいねんを用もちいて導出みちびきだされたブラック–ショールズ方程式ほうていしきの解かいを見出みいだすことに成功せいこうした。ブラックとショールズは1970年ねんの夏なつに開ひらかれたカンファレンスでコーポレートファイナンスにおいてのブラック–ショールズ方程式ほうていしきの応用おうようについての研究けんきゅう成果せいかを発表はっぴょうしたが、マートンは寝坊ねぼうしてしまい、ブラックとショールズの発表はっぴょうを聞きくことが出来できなかった。

1970年ねんの10月がつにブラックとショールズはオプション評価ひょうか式しきとしてのブラック–ショールズ方程式ほうていしきの利用りようについての研究けんきゅうをまとめた論文ろんぶんをシカゴ大学だいがくが発行はっこうしている学術がくじゅつ雑誌ざっしであるJournal of Political Economyに投稿とうこうしたが、彼かれらの論文ろんぶんはアメリカファイナンス学会がっかいが発行はっこうしているThe Journal of Financeに投稿とうこうする方ほうがふさわしいということで掲載けいさい拒否きょひとなってしまった。その後ご、しばらく論文ろんぶんを学術がくじゅつ雑誌ざっしに発表はっぴょうできずにいたが、シカゴ大学だいがくのマートン・ミラーとユージン・ファーマの目めに留とまり、彼かれらのアドバイスを受うけて修正しゅうせいされた論文ろんぶんが1973年ねんにJournal of Political Economyで投稿とうこうを受理じゅりされ発表はっぴょうされた。これが広ひろく知しられる"The Pricing of Options and Corporate Liabilities"の論文ろんぶんである。

その後ご、マートンは無む裁定さいてい価格かかく理論りろんの厳密げんみつな理論りろんを展開てんかいした論文ろんぶんを発表はっぴょうし、さらにブラックとショールズ自身じしんによってブラック–ショールズ方程式ほうていしきの実用じつよう性せい、データに対たいする当あてはまりの良よさが検証けんしょうされたことで、ブラック–ショールズ方程式ほうていしきは不動ふどうの地位ちいを確立かくりつした。今日きょうでは"The Pricing of Options and Corporate Liabilities"はJournal of Political Economyで最もっとも引用いんようされる論文ろんぶんの一ひとつとなっている。

これらの功績こうせきを称となえ、1997年ねんのノーベル経済けいざい学がく賞しょうはショールズとマートンに授与じゅよされた。ブラックは1995年ねんに亡なくなっていたために、この栄誉えいよにあずかることはできなかった。

ブラック–ショールズモデル

ブラック–ショールズモデルとは、1種類しゅるいの配当はいとうのない株かぶと1種類しゅるいの債券さいけんの2つが存在そんざいする証券しょうけん市場いちばのモデルである。さらに連続れんぞく的てきな取引とりひきが可能かのうで、市場いちばは完全かんぜん市場いちばであることを仮定かていしている。

そして、時刻じこく t における株価かぶかを S_t 、債券さいけん価格かかくを B_t とする。株価かぶかは以下いかの確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきに従したがうとする。

$dS_{t}=\sigma S_{t}dW_{t}+\mu S_{t}dt$

ここで、W_t は標準ひょうじゅんウィーナー過程かていであり、σしぐま, μみゅー は定数ていすうで、σしぐま はボラティリティ、μみゅー はドリフトである。よって株価かぶかは幾何きかブラウン運動うんどうで表あらわされる。

また、債券さいけん価格かかくは次つぎで表あらわされるとする。

$B_{t}=B_{0}\exp(rt)$

ここで、r は定数ていすうの無むリスク利子りし率りつである。

さらに、0 ≤ t ≤ T で発展はってん的てき可か測はか(英えい: progressively measurable)な確かく率りつ過程かていの組くみ (a_t(ωおめが), b_t(ωおめが)) を取とる。a_t は t 時点じてんで状態じょうたいが ωおめが の場合ばあいの株式かぶしきの保有ほゆう量りょう、b_t(ωおめが) は同どう債券さいけんの保有ほゆう量りょうである。このような組くみ (a, b) を、株式かぶしきと債券さいけんの取引とりひき戦略せんりゃくという。区間くかん [0, T] における取引とりひき戦略せんりゃく (a, b) が自己じこ資本しほん充足じゅうそく的てき(英えい: self-financing)であるとは、0 ≤ t ≤ T の各かく時点じてん t に対たいし、次つぎの式しきが満みたされることである。

$a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}=a_{0}S_{0}+b_{0}B_{0}+\int _{0}^{t}a_{s}dS_{s}+\int _{0}^{t}b_{s$dBでしべる_{s}}

よって

$d{\Big (}a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}{\Big )}=a_{t}dS_{t}+b_{t$dBでしべる_{t}}

となる。

ブラック–ショールズ方程式ほうていしき

ブラック–ショールズ方程式ほうていしきの導出どうしゅつ

ブラック–ショールズモデルの下もとで、満期まんき T において行使こうし価格かかくが K であるヨーロピアン・コールのオプションプレミアム C = C(S_t, t) が無む裁定さいていとなるように適正てきせいな価格かかくとなる条件じょうけんを求もとめる。区間くかん [0, T] で自己じこ資本しほん充足じゅうそく的てきな取引とりひき戦略せんりゃく (a, b) を、各かく t 時点じてんで次つぎのように定さだめる。これを複製ふくせいポートフォリオ (replicating portfolio) という。

$C(S_{t},t)=a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}$

上うえ式しき右辺うへんの複製ふくせいポートフォリオの自己じこ資金しきん充足じゅうそく性せいにより、次つぎの式しきが導みちびかれる。

$dC=d{\Big (}a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}{\Big )}=a_{t}dS_{t}+b_{t$dBでしべる_{t}=(\mu a_{t}S_{t}+rb_{t}B_{t})dt+\sigma a_{t}S_{t}dW_{t}}

他方たほう、伊藤いとうの公式こうしきにより次つぎの式しきが立たつ。

${\begin{aligned}dC&={\frac {\partial C}{\partial t}}dt+{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}dS_{t}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}dt\\&=\left({\frac {\partial C}{\partial t}}+\mu S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}\right)\!dt+\sigma S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}dW_{t}\end{aligned}}$

係数けいすうを比較ひかくしてやると、次つぎの式しきが得えられる。

$a_{t}={\frac {\partial C}{\partial S_{t}}},$

$\mu a_{t}S_{t}+rb_{t}B_{t}={\frac {\partial C}{\partial t}}+\mu S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}$

これらの式しきと $C(S_{t},t)=a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}$ から a_t, b_t を消去しょうきょすると、次つぎの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきが得えられる。

$rC={\frac {\,\partial C\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}C\,}{\partial S_{t}^{2}}}+rS_{t}{\frac {\partial C}{\,\partial S_{t}\,}}$

この偏へん微分びぶん方程式ほうていしきをブラック–ショールズ方程式ほうていしき(英えい: Black–Scholes equation)、またはブラック–ショールズ偏へん微分びぶん方程式ほうていしき(英えい: Black–Scholes partial differential equation)と言いう。この方程式ほうていしきの境界きょうかい条件じょうけんは以下いかの3つである。

• C(0, t) = 0 (t (≤ T) は任意にんい)
• C(S_t, t) ∼ S_t as S_t → ∞ (t (≤ T) は任意にんい)
• C(S_T, T) = max{S_T − K, 0}

ブラック–ショールズ方程式ほうていしきの解かい

同どう方程式ほうていしきにおいて、次つぎのように変数へんすう変換へんかんする。

${\begin{aligned}&C(S_{t},t)=e^{r(t-T)}u(S_{t},t),\\&z={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma }},\\&s=T-t\end{aligned}}$

これは、次つぎのような1次元じげん熱ねつ伝導でんどう方程式ほうていしき（拡散かくさん方程式ほうていしき）の初期しょき値ち問題もんだいとなる。

${\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}$

これを解といて元もとの変数へんすうに戻もどすと、ブラック–ショールズ方程式ほうていしきの解かいは次つぎの形かたちで与あたえられる。

$C(S_{t},t)=S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

ただし、下記かきの条件じょうけんにおいてである。

$N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy,$

$d_{1}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}},$

$d_{2}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

これが「適正てきせい価格かかく」と呼よばれる背景はいけいとしては、上述じょうじゅつのとおり株かぶと債券さいけんを使つかってヨーロピアン・コールオプションを複製ふくせいすることができるという事実じじつから来きている。もし、コールオプション価格かかくと複製ふくせいポートフォリオの組成そせい費用ひようが異ことなれば、無限むげんに資金しきんを増ふやすことが可能かのうになる。それは非ひ現実げんじつ的てきであるのでコールオプション価格かかくと複製ふくせいポートフォリオの組成そせい費用ひようは、理論りろん的てきには、一致いっちしなくてはならないのである。またここでは S_t は株価かぶかであるとしたが、実際じっさいは株式かぶしきだけに限かぎらず、為替かわせレートや投資とうし信託しんたく、株価かぶか指数しすうなどの市場いちば性せいのある投資とうし商品しょうひんや指標しひょうであれば全すべて上述じょうじゅつの議論ぎろんが成立せいりつする。

配当はいとう込こみのブラック–ショールズ方程式ほうていしき

もし株式かぶしきに配当はいとうが含ふくまれたとしても、ブラック–ショールズ方程式ほうていしきは細部さいぶの変更へんこうのみで成立せいりつする。ここで S_t で表あらわされる株式かぶしきには配当はいとうが存在そんざいし、その配当はいとうは連続れんぞく的てきに支払しはらわれるものとする。単位たんい時間じかん当あたりの配当はいとう利回りまわりを q とする。この時とき、株価かぶかの従したがう確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきは

$dS_{t}=\sigma S_{t}dW_{t}+(\mu -q)S_{t}dt$

となる。ただし、この株式かぶしきを保有ほゆうしていると配当はいとうが得えられるので、自己じこ資金しきん充足じゅうそく的てきなポートフォリオは次つぎの確かく率りつ積分せきぶん方程式ほうていしきを満みたす。

$a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}=a_{0}S_{0}+b_{0}B_{0}+\int _{0}^{t}a_{s}dS_{s}+\int _{0}^{t}b_{s$dBでしべる_{s}+\int _{0}^{t}a_{s}qS_{s}ds}

あとは全まったく同様どうようの議論ぎろんを繰くり返かえすことで次つぎの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきが得えられる。

$rC={\frac {\,\partial C\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}C\,}{\partial S_{t}^{2}}}+(r-q)S_{t}{\frac {\partial C}{\,\partial S_{t}\,}}$

境界きょうかい条件じょうけんは配当はいとうなしの場合ばあいと同一どういつである。この偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいは以下いかのようになる。

$C(S_{t},t)=e^{-q(T-t)}S_{t}N(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

ただし、

$N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy,$

$d_{1}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-q+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}},$

$d_{2}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-q-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

である。この配当はいとう込こみのブラック–ショールズ方程式ほうていしきは通貨つうかオプションについても重要じゅうような意味いみを持もつ。自国じこくとある外国がいこくの間あいだの(自国じこく通貨つうか建だて)為替かわせレートを Q_t として、Q_t が以下いかの確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしきに従したがうとする。

$dQ_{t}=\sigma Q_{t}dW_{t}+\gamma Q_{t}dt$

γがんま は定数ていすうであるとする。また自国じこく債券さいけん価格かかくを B_t 、外国がいこく債券さいけん価格かかくを B^f_t として、それぞれ

$B_{t}=B_{0}\mathrm {exp} (rt),\quad B_{t}^{f}=B_{0}^{f}\mathrm {exp} (r_{f}t)$

と表あらわされるとする。ただし、r と r_f はそれぞれ自国じこくの金利きんりと外国がいこくの金利きんりを表あらわし、共ともに定数ていすうであるとする。ここで自国じこく通貨つうか建だて通貨つうかオプションを自国じこく債券さいけんと外国がいこく債券さいけんからなる自己じこ資金しきん充足じゅうそく的てきなポートフォリオで複製ふくせいすることを考かんがえる。つまり

$C(Q_{t},t)=a_{t}B_{t}+b_{t}Q_{t}B_{t}^{f}$

である自己じこ資金しきん充足じゅうそく的てきなポートフォリオ (a, b) を考かんがえる。すると、前節ぜんせつと同様どうようの議論ぎろんから無む裁定さいていならば次つぎの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきが成立せいりつしなくてはならない。

$rC={\frac {\,\partial C\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}Q_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}C\,}{\partial Q_{t}^{2}}}+(r-r_{f})Q_{t}{\frac {\partial C}{\,\partial Q_{t}\,}}$

この式しきは配当はいとう込こみの株式かぶしきを原資げんし産さんとしたブラック-ショールズ方程式ほうていしきにおける配当はいとう利回りまわりを外国がいこく金利きんりに置おき換かえただけの式しきなので、その解かいも配当はいとう利回りまわりを外国がいこく金利きんりに置おき換かえるだけでよいことが分わかる。つまり通貨つうかオプションの理論りろん価格かかくは配当はいとう込こみの株式かぶしきオプションの理論りろん価格かかくと同おなじ形がたをすることが分わかる。

プットコールパリティ

ヨーロピアンタイプのプットオプションについてもコールオプションの場合ばあいと全まったく同様どうようの議論ぎろんから次つぎの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきが成なり立たつ。

$rP={\frac {\,\partial P\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}P\,}{\partial S_{t}^{2}}}+rS_{t}{\frac {\partial P}{\,\partial S_{t}\,}}$

ただし、P はプットオプションの現在げんざい価格かかくである。つまり、原はら資産しさんの価格かかく変動へんどうが幾何きかブラウン運動うんどうで、債券さいけん利子りし率りつが一定いっていならば、どのようなデリバティブについても偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの形かたちは同おなじとなる。異ことなるのは境界きょうかい条件じょうけんで、プットオプションの場合ばあいの境界きょうかい条件じょうけんは

• P(0, t) = Ke^-r(T-t) (t (≤ T) は任意にんい)
• P(S_t, t) → 0 as S_t → ∞ (t (≤ T) は任意にんい)
• P(S_T, T) = max{K − S_T, 0}

となる。解かいは

$P(S_{t},t)=-S_{t}N(-d_{1})+Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})$

となる。関数かんすうや変数へんすうの定義ていぎはコールオプションの場合ばあいと同様どうようである。ここで同一どういつの原資げんし産さん、満期まんき、行使こうし価格かかくであるヨーロピアンコールオプションとプットオプションをコールオプションについては1単位たんい買かい、プットオプションについては1単位たんい売うることを考かんがえる。そのようなポートフォリオの価値かち額がくは

$C(S_{t},t)-P(S_{t},t)=S_{t}-Ke^{-r(T-t)}$

となる。つまり0時点じてんにおいて株式かぶしきを1単位たんい買かい、債券さいけんを Ke^-rT / B₀ 単位たんい空売からうりし、満期まんきまでそれを保有ほゆうし続つづけるポートフォリオの価値かち額がくと常つねに一致いっちする。この関係かんけいをプットコールパリティ(英えい: put-call parity)と言いう。より一般いっぱん的てきには、T 期きを満期まんきとした額面がくめんが1円えんの債券さいけんの t 時点じてんでの価格かかくがB ( t, T ) = e^{-r ( T-t )} で表あらわされることから

$C(S_{t},t)-P(S_{t},t)=S_{t}-KB(t,T)$

と書かける。このポートフォリオの満期まんきでのペイオフは

$C(S_{T},T)-P(S_{T},T)=S_{T}-K$

となる。このポートフォリオでの満期まんきでのペイオフは同どう一いち残存ざんそん期間きかんの先さき渡わたり価格かかく K の先さき渡わたり契約けいやくの満期まんきでのペイオフと同おなじである。よって満期まんきを T とする t 時点じてんで締結ていけつされた先さき渡わたり契約けいやくの先さき渡わたり価格かかくを F ( t, T ) とすると、無む裁定さいてい条件じょうけんから

$C(S_{t},t;F(t,T))-P(S_{t},t;F(t,T))=S_{t}-F(t,T)B(t,T)$

が成なり立たつ。ヨーロピアンプットオプションの理論りろん価格かかくについてはブラック-ショールズ方程式ほうていしきを解とかずにプットコールパリティから計算けいさんした方ほうが簡単かんたんである。

グリークス(The Greeks)

ブラック–ショールズモデルにおけるコールオプション価値かち。call option's value long before expiry dateで示しめされる曲線きょくせんが満期まんきまでの期間きかんが比較的ひかくてき長ながいヨーロピアンコールオプション価値かちでcall option's value before expiry dateで示しめされる曲線きょくせんが満期まんきまでの期間きかんが比較的ひかくてき短みじかいヨーロピアンコールオプション価値かちである。call option's payoff at expiry dateは満期まんき時点じてんでのペイオフを表あらわしている。オプション価値かちは右みぎ上あがりの凸とつ状じょうの曲線きょくせんであり、時間じかん経過けいかにしたがって下方かほうに異動いどうし、満期まんき時点じてんでのペイオフに近ちかづいていくことが分わかる。

ブラック–ショールズ方程式ほうていしきによるオプション価格かかくを決定けっていするのは株価かぶか、満期まんきまでの残存ざんそん期間きかんもしくは経過けいか時間じかん、行使こうし価格かかく、金利きんり、ボラティリティの5つとなる。よってオプション価格かかくをこの5つの変数へんすうの関数かんすうと見みなし、それぞれの偏へん微分びぶんを持もって各かく変数へんすうについてのオプション価格かかくの感応かんおう度どとして表あらわしたものをグリークス(英えい: The Greeks)と言いう。代表だいひょう的てきなものとして、株価かぶかについての1階かい偏へん微分びぶんをデルタ(英えい: delta)、2階かい偏へん微分びぶんをガンマ(英えい: gamma)、経過けいか時間じかんの1階かい偏へん微分びぶんをセータ(英えい: theta)、金利きんりの1階かい偏へん微分びぶんをロー(英えい: rho)、ボラティリティの1階かい偏へん微分びぶんをベガ(英えい: vega)またはカッパ(英えい: kappa)と言いう。それぞれの配当はいとう無なしヨーロピアンコールオプションにおける具体ぐたい形がたは以下いかの通とおりとなる。ただし記号きごう等とうは前節ぜんせつのものと同おなじである。

デルタ

$\Delta :={\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}=N(d_{1})$

ガンマ

$\Gamma :={\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}={\dfrac {1}{\sigma S_{t}{\sqrt {T-t}}}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {exp} \left\{-{\frac {1}{2}}d_{1}^{2}\right\}$

セータ

$\Theta :={\frac {\partial C}{\partial t}}=-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})-{\dfrac {\sigma S_{t}}{2{\sqrt {T-t}}}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {exp} \left\{-{\frac {1}{2}}d_{1}^{2}\right\}$

ロー

$\rho :={\frac {\partial C}{\partial r}}=(T-t)Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})$

ベガ

$\kappa :={\frac {\partial C}{\partial \sigma }}=S_{t}{\sqrt {T-t}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {exp} \left\{-{\frac {1}{2}}d_{1}^{2}\right\}$

デルタとガンマが共ともに常つねに正せいであることから、Y軸じくをオプション価値かちとしX軸じくを原資げんし産さん価格かかくとした座標ざひょう平面へいめんでのオプション価値かちの曲線きょくせんは右みぎ上あがりの凸とつ状じょうの曲線きょくせんになる。さらにセータが負まけであることからこの曲線きょくせんは時間じかん経過けいかと共ともに下方かほうへ移動いどうしていく。プットオプションや配当はいとう込こみオプションの場合ばあいのグリークスは英語えいご版ばんwikipedia のen:Greeks (finance)#Formulas for European option Greeksを参照さんしょうのこと。

インプライド・ボラティリティ

「ボラティリティ#インプライド・ボラティリティ」も参照さんしょう

ブラック-ショールズ方程式ほうていしきによるオプション価格かかくにおいて、株価かぶか、満期まんきまでの残存ざんそん期間きかん、行使こうし価格かかく、金利きんりは全すべて市場いちばで観測かんそく可能かのうであるが、ボラティリティのみが直接ちょくせつ観測かんそく不可能ふかのうで何なんらかの方法ほうほうで推定すいていしなくてはならない。そこでブラック-ショールズ方程式ほうていしきによる理論りろん上じょうのオプション価格かかくが現実げんじつ価格かかくと等ひとしいと仮定かていして実際じっさいのオプションの市場いちば価格かかくから逆算ぎゃくさんされたボラティリティのことをインプライド・ボラティリティ(英えい: implied volatility)と言いう。ブラック-ショールズ方程式ほうていしきが正ただしければ、あらゆる水準すいじゅんの株価かぶか、満期まんきまでの残存ざんそん期間きかん、行使こうし価格かかく、金利きんりにおいてインプライド・ボラティリティは等ひとしいはずだが、実際じっさいに計算けいさんされるインプライド・ボラティリティはそうではないことが知しられている。

実務じつむへの応用おうよう

オプションの理論りろん価格かかく算定さんてい方式ほうしきが数学すうがく上じょう非常ひじょうに明晰めいせきな形かたちで提供ていきょうされたことはSPAN証拠しょうこ金きんに決定的けっていてきな示唆しさを与あたえている。

オプション価格かかくの理論りろん値ちが得えられることから、適正てきせいプレミアムの獲得かくとくや現実げんじつの取引とりひき価格かかくとの乖離かいりが投資とうし戦略せんりゃくとして裁定さいてい取引とりひき上じょうの利益りえき目標もくひょうとなり得えると考かんがえられた。この点てん、実際じっさいにはテイルリスクに対たいする脆弱ぜいじゃく性せいなどが指摘してきされている。そしてショールズが参加さんかしたロングターム・キャピタル・マネジメント破綻はたんにより現実げんじつ的てき妥当だとう性せいまで疑問ぎもん視しされた。しかし、投資とうし中ちゅうに発生はっせいするイベントの定性ていせい情報じょうほうを無視むししたポートフォリオ戦略せんりゃくとしては依然いぜんとして強力きょうりょくであり、それまでアナロジーやアフォリズム、アノマリーやテクニカル分析ぶんせきなどといった従来じゅうらいの「投資とうしの慣行かんこう」を超こえた学術がくじゅつ的てきバックグラウンドを持もつものとして、現代げんだいポートフォリオ理論りろんや資本しほん資産しさん価格かかくモデルなどと同様どうように大おおきな影響えいきょうをもたらしている。

発展はってん

ブラック–ショールズ方程式ほうていしきは、価格かかくの変化へんか率りつの分布ぶんぷが正規せいき分布ぶんぷに従したがうという仮定かていを置おいている。しかし現実げんじつの金融きんゆう商品しょうひんでは必かならずしも正規せいき分布ぶんぷが成立せいりつしない。そのような批判ひはんにこたえる形かたちでブラック–ショールズモデルが持もつ仮定かていを緩ゆるめたものとして、ボラティリティが時間じかん経過けいかにしたがって確かく率りつ的てきに変動へんどうする確かく率りつ的てきボラティリティモデルや原資げんし産さん(株式かぶしきなど)の価格かかくの不連続ふれんぞくな変動へんどうを許容きょようするマートンモデルなどが考案こうあんされている。

参考さんこう文献ぶんけん

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関連かんれん項目こうもく

• デリバティブ
• ブラック・モデル
• 確かく率りつ微分びぶん方程式ほうていしき、数理すうりファイナンス、金融きんゆう工学こうがく
• 伊藤いとうの補題ほだい
• 伊藤いとうの公式こうしき