ボラティリティ

ボラティリティ（英えい: volatility）とは、金融きんゆう工学こうがくにおける金融きんゆう商品しょうひんの価格かかくについての幾何きかブラウン運動うんどうモデル^{[注ちゅう 1]}

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dB_{t}

における $\sigma$ のこと。リスクとも呼よばれる。（ $S_{t}$ は、時間じかん $_{t}$ の函数かんすうとしての金融きんゆう商品しょうひんの価格かかくや運用うんよう資産しさんの額がく）

このモデルにおいて、 $S_{t}$ が株価かぶかを表あらわす場合ばあい、時間じかんの単位たんいを1年ねん単位たんいにすると、ボラティリティは通常つうじょう $0.15<\sigma <0.60$ の範囲はんいにあることが経験けいけん的てきに知しられている^{[要よう出典しゅってん]}。

広義こうぎには資産しさん価格かかくの変動へんどうの激はげしさを表あらわすパラメータ。広義こうぎについては、テクニカル指標しひょう一覧いちらん#広義こうぎボラティリティを参照さんしょう。

ヒストリカル・ボラティリティとインプライド・ボラティリティ[編集へんしゅう]

幾何きかブラウン運動うんどうモデル（ブラック-ショールズ方程式ほうていしき）で現実げんじつの市場いちばを説明せつめいしようとする際さい、インプットとして使つかうデータの種類しゅるいによって $\sigma$ の値ねが異ことなる。

ヒストリカル・ボラティリティ[編集へんしゅう]

株価かぶかの値動ねうごきがモデル (1) に従したがうと仮定かていし、過去かこの株価かぶかのデータから推定すいていした $\sigma$ の値ね。価格かかくの対数たいすう差分さぶんの標準ひょうじゅん偏差へんさ。過去かこ $n$ 日にちにわたって株価かぶかを観測かんそくしたとし、 $S_{i}$ を第だい $i$ 日にちの（例たとえば）終値おわりねとする。

$u_{i}:=\log {\frac {S_{i}}{S_{i-1}}},\ \ {\overline {u}}:=u_{i}$ の平均へいきん

と置おくと

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(u_{i}-{\overline {u}})^{2}}}$

が推定すいてい値ちとなる。このような手続てつづきによって推定すいていされた値ねをヒストリカル・ボラティリティという。

インプライド・ボラティリティ[編集へんしゅう]

これに対たいして、現実げんじつのオプション市場いちばでついたオプション価格かかくから逆算ぎゃくさんされたボラティリティをインプライド・ボラティリティという。以下いかこれについて説明せつめいする。

ブラック-ショールズモデル (1) （金利きんりは $r=$ 一定いってい）を使つかえば、満期まんき $T$ 、権利けんり行使こうし価格かかく $K$ のヨーロピアン・コールオプションの価格かかく $c(K,T)$ は

$C(K,T)=SN\left({\frac {\log(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-Ke^{-rT}N\left({\frac {\log(S/K)+(r-\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)$
$S$ は現在げんざいの株価かぶか、 $N(x)$ は標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷの分布ぶんぷ関数かんすう

によって表あらわされる。しかしこの式しきの $\sigma$ をヒストリカル・ボラティリティにすると多おおくの場合ばあい、計算けいさんされる $C(K,T)$ は現実げんじつのオプションの市場いちば価格かかくとは一致いっちしない。そこで逆ぎゃくに、 $\sigma$ に関かんする方程式ほうていしき（ $C(K,T)$ は $\sigma$ の関数かんすうであることに注意ちゅうい）

市場いちば価格かかく $=C(K,T)$

を解といて得えられる $\sigma$ をインプライド・ボラティリティという。

なお、この値ねは当然とうぜん $K$ や $T$ によって異ことなる。 $T$ を固定こていして、横よこ軸じくに $K$ 、縦たて軸じくにインプライド・ボラティリティをプロットしたグラフをボラティリティ・スマイル、 $K$ を固定こていして、横よこ軸じくに $T$ 、縦たて軸じくにインプライド・ボラティリティをプロットしたものをボラティリティ期間きかん構造こうぞうと呼よぶ。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

^ ただし、現実げんじつの金融きんゆう資産しさんの価格かかくの変化へんか率りつは、幾何きかブラウン運動うんどうモデルから導みちびかれる対数たいすう正規せいき分布ぶんぷではなくパレート分布ぶんぷ（冪べき分布ぶんぷ）にしたがうという説せつもある（経済けいざい物理ぶつり学がくを参照さんしょう）。

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

John Hull, "Options, Futures, and other derivatives", Prentice Hall

[1] ただし、現実げんじつの金融きんゆう資産しさんの価格かかくの変化へんか率りつは、幾何きかブラウン運動うんどうモデルから導みちびかれる対数たいすう正規せいき分布ぶんぷではなくパレート分布ぶんぷ（冪べき分布ぶんぷ）にしたがうという説せつもある（経済けいざい物理ぶつり学がくを参照さんしょう）。

[注ちゅう 1]