数学 すうがく 有限 ゆうげん 差分 さぶん 英 えい finite difference f (x + b ) − f (x + a )形 かたち 式 しき 総称 そうしょう 言 い [要 よう 出典 しゅってん 。有限 ゆうげん 差分 さぶん b − a 割 われ 差分 さぶん 商 しょう 得 え 微分 びぶん 有限 ゆうげん 差分 さぶん 近似 きんじ 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 特 とく 境界 きょうかい 値 ち 問題 もんだい 数値 すうち 的 てき 解法 かいほう 有限 ゆうげん 差分 さぶん 法 ほう 中心 ちゅうしん 的 てき 役割 やくわり 果 は
ある種 しゅ 漸 やや 化 か 式 しき 多項 たこう 間 あいだ 関係 かんけい 式 しき 有限 ゆうげん 差分 さぶん 置 お 換 か 差分 さぶん 方程式 ほうていしき
今日 きょう 有限 ゆうげん 差分 さぶん 語 かたり 特 とく 数値 すうち 解法 かいほう 文脈 ぶんみゃく 微分 びぶん 有限 ゆうげん 差分 さぶん 近似 きんじ 同義語 どうぎご 用 もち [ 1] [ 2] [ 3] 有限 ゆうげん 差分 さぶん 近似 きんじ 冒頭 ぼうとう 用語 ようご 法 ほう 則 のっと 有限 ゆうげん 差分 さぶん 商 しょう
有限 ゆうげん 差分 さぶん 自体 じたい 抽象 ちゅうしょう 的 てき 数学 すうがく 的 てき 対象 たいしょう 研究 けんきゅう 主題 しゅだい 得 え 例 たと ジョージ・ブール (1860), ルイ・メイヴィル・ミルン゠トムソン （英語 えいご 版 ばん カロリー・ヨルダン （ドイツ語 ご 版 ばん ） 業績 ぎょうせき アイザック・ニュートン にまで遡 さかのぼ 観点 かんてん 言 い 有限 ゆうげん 差分 さぶん 関 かん 形式 けいしき 的 てき 計算 けいさん 無限 むげん 小 しょう 関 かん 計算 けいさん 代替 だいたい [ 4]
前進 ぜんしん 後退 こうたい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん [ 編集 へんしゅう ] 主 おも 前進 ぜんしん 後退 こうたい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 三 さん 種類 しゅるい 広 ひろ 用 もち [ 1] [ 2] [ 3]
前進 ぜんしん 差分 さぶん
Δ でるた
h
[
f
]
(
x
)
=
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
.
{\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}
後退 こうたい 差分 さぶん
∇
h
[
f
]
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
−
h
)
.
{\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).}
中心 ちゅうしん 差分 さぶん
δ でるた
h
[
f
]
(
x
)
=
f
(
x
+
1
2
h
)
−
f
(
x
−
1
2
h
)
.
{\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).}
応用 おうよう 場面 ばめん 応 おう 歩 あゆ h は変数 へんすう 見 み 定数 ていすう 見 み 添字 そえじ h を省略 しょうりゃく h = 1意味 いみ Δ でるた f ](x ) = Δ でるた 1 [f ](x )
函数 かんすう f の点 てん x における微分 びぶん 函数 かんすう 極限 きょくげん
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
で定義 ていぎ h を零 れい 近 ちか 代 か 非負 ひふ 値 ね 固定 こてい 右辺 うへん
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
Δ でるた
h
[
f
]
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}
と書 か h が小 ちい 歩 あゆ h の前進 ぜんしん 差分 さぶん 微分 びぶん 近似 きんじ 意味 いみ 近似 きんじ 誤差 ごさ テイラーの定理 ていり から評価 ひょうか 実際 じっさい f が微分 びぶん 可能 かのう 仮定 かてい
Δ でるた
h
[
f
]
(
x
)
h
−
f
′
(
x
)
=
O
(
h
)
→
0
(
as
h
→
0
)
{\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad ({\text{as }}h\to 0)}
であり、前進 ぜんしん 差分 さぶん 関 かん 同 おな 式 しき
∇
h
[
f
]
(
x
)
h
−
f
′
(
x
)
=
O
(
h
)
→
0
(
as
h
→
0
)
{\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad ({\text{as }}h\to 0)}
が満足 まんぞく 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 用 もち 精密 せいみつ 近似 きんじ 可能 かのう f が二 に 回 かい 微分 びぶん 可能 かのう
δ でるた
h
[
f
]
(
x
)
h
−
f
′
(
x
)
=
O
(
h
2
)
{\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2})}
が成 な 立 た 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 法 ほう 主 おも 問題 もんだい 振動 しんどう 函数 かんすう 微分 びぶん 零 れい 場合 ばあい 例 たと 奇数 きすう n に対 たい f (nh ) = 1偶数 ぐうすう n に対 たい f (nh ) = 2中心 ちゅうしん 差分 さぶん 法 ほう 計算 けいさん f' (nh ) = 0f の定義 ていぎ 域 いき 離散 りさん 場合 ばあい 特 とく 問題 もんだい
「有限 ゆうげん 差分 さぶん 有限 ゆうげん 差分 さぶん 近似 きんじ 意味 いみ 用 もち 文献 ぶんけん 前進 ぜんしん 後退 こうたい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 前節 ぜんせつ 意味 いみ 本節 ほんぶし 言 い 商 しょう 定義 ていぎ [ 1] [ 2] [ 3]
微分 びぶん 有限 ゆうげん 差分 さぶん 近似 きんじ 対応 たいおう 高階 たかしな 微分 びぶん 有限 ゆうげん 差分 さぶん 近似 きんじ 得 え 例 たと 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 式 しき f' (x +h /2)f' (x −h /2)対 たい 考 かんが f' の微分 びぶん 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 近似 きんじ 適用 てきよう f の二 に 回 かい 微分 びぶん 近似 きんじ 式 しき
二 に 階 かい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん
f
″
(
x
)
≈
δ でるた
h
2
[
f
]
(
x
)
h
2
=
f
(
x
+
h
)
−
2
f
(
x
)
+
f
(
x
−
h
)
h
2
{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}}
が得 え 同様 どうよう 差分 さぶん 公式 こうしき 繰 く 返 かえ 適用 てきよう
二 に 階 かい 前進 ぜんしん 差分 さぶん
f
″
(
x
)
≈
Δ でるた
h
2
[
f
]
(
x
)
h
2
=
f
(
x
+
2
h
)
−
2
f
(
x
+
h
)
+
f
(
x
)
h
2
.
{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}
なども得 え 一般 いっぱん n -階 かい 前進 ぜんしん 後退 こうたい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん
n -階 かい 前進 ぜんしん 差分 さぶん
Δ でるた
h
n
[
f
]
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
f
(
x
+
(
n
−
i
)
h
)
,
{\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),}
Δ でるた
n
[
f
]
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
n
−
k
f
(
x
+
k
)
(
for
h
=
1
)
.
{\displaystyle \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)\quad ({\text{for }}h=1).}
n -階 かい 後退 こうたい 差分 さぶん
∇
h
n
[
f
]
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
f
(
x
−
i
h
)
,
{\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}
n -階 かい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん
δ でるた
h
n
[
f
]
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
f
(
x
+
(
n
2
−
i
)
h
)
{\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right)}
で与 あた 上記 じょうき (n i は二 に 項 こう 係数 けいすう 各 かく i に対 たい 係数 けいすう パスカルの三角形 さんかっけい の各行 かくこう 与 あた
中心 ちゅうしん 差分 さぶん n が奇数 きすう h が非 ひ 整数 せいすう 倍 ばい 留意 りゅうい 離散 りさん 化 か 幅 はば 変 か 問題 もんだい 問題 もんだい δ でるた n f ](x − h /2)δ でるた n f ](x + h /2)平均 へいきん 除 のぞ
数列 すうれつ 前進 ぜんしん 差分 さぶん 施 ほどこ 数列 すうれつ 二 に 項 こう 変換 へんかん （英語 えいご 版 ばん 呼 よ 組合 くみあわ 論 ろん 的 てき 興味深 きょうみぶか 様々 さまざま 性質 せいしつ 前進 ぜんしん 差分 さぶん ネールント–ライス積分 せきぶん を用 もち 評価 ひょうか 種類 しゅるい 級数 きゅうすう 対 たい 積分 せきぶん 表現 ひょうげん 積分 せきぶん 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 鞍点 あんてん 法 ほう 評価 ひょうか 重要 じゅうよう 対照 たいしょう 的 てき 前進 ぜんしん 差分 さぶん 級数 きゅうすう 大 おお n に対 たい 二 に 項 こう 係数 けいすう 急速 きゅうそく 増大 ぞうだい 数値 すうち 的 てき 評価 ひょうか 極 きわ 難 むずか
これら高 だか 階 かい 差分 さぶん 微分 びぶん 関係 かんけい 直接的 ちょくせつてき
d
n
f
d
x
n
(
x
)
=
Δ でるた
h
n
[
f
]
(
x
)
h
n
+
O
(
h
)
=
∇
h
n
[
f
]
(
x
)
h
n
+
O
(
h
)
=
δ でるた
h
n
[
f
]
(
x
)
h
n
+
O
(
h
2
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2})}
となる。高階 たかしな 微分 びぶん 良 よ 近似 きんじ 構成 こうせい 利用 りよう 上 うえ 述 の 一 いち 階 かい 差分 さぶん 近似 きんじ h のオーダー の項 こう 除 のぞ 一 いち 階 かい 微分 びぶん 近似 きんじ 高階 たかしな 微分 びぶん 組 く 合 あ
Δ でるた
h
[
f
]
(
x
)
−
1
2
Δ でるた
h
2
[
f
]
(
x
)
h
=
−
f
(
x
+
2
h
)
−
4
f
(
x
+
h
)
+
3
f
(
x
)
2
h
{\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}
は f' (x )h 2 項 こう 違 ちが 示 しめ 先述 せんじゅつ テイラー級数 きゅうすう 展開 てんかい 後述 こうじゅつ 有限 ゆうげん 差分 さぶん 汎 ひろし 函数 かんすう 計算 けいさん 用 もち
必要 ひつよう 前進 ぜんしん 後退 こうたい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 混合 こんごう 任意 にんい 点 てん 有限 ゆうげん 差分 さぶん 中心 ちゅうしん
任意 にんい 正 せい 整数 せいすう k, n に対 たい
Δ でるた
k
h
n
(
f
,
x
)
=
∑
i
1
=
0
k
−
1
∑
i
2
=
0
k
−
1
⋯
∑
i
n
=
0
k
−
1
Δ でるた
h
n
(
f
,
x
+
i
1
h
+
i
2
h
+
⋯
+
i
n
h
)
.
{\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h).}
ライプニッツ則 そく
Δ でるた
h
n
(
f
g
,
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
Δ でるた
h
k
(
f
,
x
)
Δ でるた
h
n
−
k
(
g
,
x
+
k
h
)
.
{\displaystyle \Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).}
有限 ゆうげん 差分 さぶん 重要 じゅうよう 応用 おうよう 数値 すうち 解析 かいせき 特 とく 数値 すうち 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 論 ろん 常微分 じょうびぶん 偏 へん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 数値 すうち 解 かい 得 え 目的 もくてき 利用 りよう 挙 あ 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 現 あらわ 微分 びぶん 近似 きんじ 有限 ゆうげん 差分 さぶん 置 お 換 か 考 かんが 方 かた 有限 ゆうげん 差分 さぶん 法 ほう 呼 よ
有限 ゆうげん 差分 さぶん 法 ほう 計算 けいさん 機 き 科学 かがく 工学 こうがく 熱 ねつ 工学 こうがく 流体 りゅうたい 力学 りきがく 分野 ぶんや 応用 おうよう
ニュートン級数 きゅうすう はニュートン の前進 ぜんしん 差分 さぶん 方程式 ほうていしき 項 こう 本質 ほんしつ 的 てき ニュートン補間 ほかん 公式 こうしき 年 ねん 著書 ちょしょ プリンキピア・マスマティカ 』において最初 さいしょ 公表 こうひょう [ 5] 具体 ぐたい 的 てき 連続 れんぞく 的 てき 展開 てんかい 離散 りさん 版 ばん
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
Δ でるた
k
[
f
]
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
=
∑
k
=
0
∞
(
x
−
a
k
)
Δ でるた
k
[
f
]
(
a
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)}
が任意 にんい 多項式 たこうしき 函数 かんすう f に対 たい 成立 せいりつ 多 おお 全 すべ 解析 かいせき 函数 かんすう 成立 せいりつ
(
x
k
)
=
(
x
)
k
k
!
{\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}
は二 に 項 こう 係数 けいすう
(
x
)
k
=
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
k
+
1
)
{\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}
は下降 かこう 階 かい 乗 じょう 下方 かほう 階 かい 乗 じょう 空 そら 積 せき (x )0 は 1 とする）。これは後述 こうじゅつ 一般 いっぱん 化 か x の変化 へんか 歩 あゆ h = 1仮定 かてい 特別 とくべつ 場合 ばあい
この結果 けっか テイラーの定理 ていり との形式 けいしき 的 てき 対応 たいおう 注意 ちゅうい 歴史 れきし 的 てき ファンデルモンド恒等 こうとう 式 しき （英語 えいご 版 ばん
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
x
)
n
−
k
(
y
)
k
{\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(x)_{n-k}~(y)_{k}}
（二 に 項 こう 定理 ていり 対応 たいおう 陰 かげ 計算 けいさん 体系 たいけい 至 いた 観察 かんさつ 含 ふく
p -進 すすむ 解析 かいせき 学 がく マーラーの定理 ていり は f が多項式 たこうしき 函数 かんすう 仮定 かてい 単 たん 連続 れんぞく 仮定 かてい 緩 ゆる 述 の カールソンの定理 ていり （英語 えいご 版 ばん 級数 きゅうすう 存在 そんざい 一意 いちい 必要 ひつよう 十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん 与 あた 一般 いっぱん 級数 きゅうすう 存在 そんざい 保証 ほしょう ニュートン級数 きゅうすう 補間 ほかん 多項式 たこうしき 多項式 たこうしき 一般 いっぱん 差分 さぶん 多項式 たこうしき 特別 とくべつ 場合 ばあい 全 すべ 適当 てきとう 前進 ぜんしん 差分 さぶん 言葉 ことば 定義 ていぎ
In a compressed and slightly more general form and equidistant nodes the formula reads
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
(
x
−
a
h
k
)
∑
j
=
0
k
(
−
1
)
k
−
j
(
k
j
)
f
(
a
+
j
h
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}
有限 ゆうげん 差分 さぶん 関 かん 演算 えんざん 子 こ 法 ほう [ 編集 へんしゅう ] 前進 ぜんしん 差分 さぶん 函数 かんすう f を Δ でるた h f ]写 うつ 差分 さぶん 作用素 さようそ 考 かんが [ 6] [ 7] 作用素 さようそ 歩 あゆ h のシフト作用素 さようそ T h 用 もち
Δ でるた
h
=
T
h
−
I
{\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I}
という和 わ 書 か T h f ](x ) = f (x +h )I 恒等 こうとう 作用素 さようそ
高階 たかしな 有限 ゆうげん 差分 さぶん 再帰 さいき 的 てき Δ でるた h n Δ でるた h Δ でるた h n −1 ) と定義 ていぎ 同値 どうち 別 べつ 定義 ていぎ Δ でるた h n T h I ]n とすることもできる。
差分 さぶん 作用素 さようそ Δ でるた h 線型 せんけい 作用素 さようそ 上 うえ 述 の 特別 とくべつ 則 そく Δ でるた h f (x )g (x )) = (Δ でるた h f (x )) g (x +h ) + f (x ) (Δ でるた h g (x ))満足 まんぞく 後退 こうたい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 関 かん 同様 どうよう 成立 せいりつ
h に関 かん テイラー級数 きゅうすう を形式 けいしき 的 てき 適用 てきよう 等式 とうしき
Δ でるた
h
=
h
D
+
1
2
h
2
D
2
+
1
3
!
h
3
D
3
+
⋯
=
e
h
D
−
I
{\displaystyle \Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\dotsb =e^{hD}-I}
が得 え D は函数 かんすう f をその導 しるべ 函数 かんすう f' へ写 うつ 連続 れんぞく 的 てき 微分 びぶん 作用素 さようそ 十分 じゅうぶん 小 ちい h に対 たい 展開 てんかい 両辺 りょうへん 解析 かいせき 函数 かんすう 作用 さよう 有効 ゆうこう 従 したが T h e hD 逆 ぎゃく 冪 べき 指数 しすう 関 かん 解 と
h
D
=
log
(
1
+
Δ でるた
h
)
=
Δ でるた
h
−
1
2
Δ でるた
h
2
+
1
3
Δ でるた
h
3
+
⋯
{\displaystyle hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}+\dotsb }
が得 え 式 しき 両辺 りょうへん 多項式 たこうしき 作用 さよう 同 おな 結果 けっか 与 あた 意味 いみ 正 ただ
解析 かいせき 函数 かんすう 作用 さよう 場合 ばあい 右辺 うへん 級数 きゅうすう 収束 しゅうそく 保証 ほしょう 漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう 得 え 微分 びぶん 対 たい 精密 せいみつ 近似 きんじ 得 え 利用 りよう 例 たと 例 たと 級数 きゅうすう 最初 さいしょ 二 に 項 こう 取 と 出 だ #高階 たかしな 差分 さぶん の節 ふし 最後 さいご 述 の f ' (x )二 に 階 かい 近似 きんじ 導 みちび
後退 こうたい 中心 ちゅうしん 差分 さぶん 対 たい 同様 どうよう 公式 こうしき
h
D
=
−
log
(
1
−
∇
h
)
,
h
D
=
2
arsinh
(
1
2
δ でるた
h
)
{\displaystyle hD=-\log(1-\nabla _{h}),\quad hD=2\operatorname {arsinh} ({\tfrac {1}{2}}\delta _{h})}
となる。
有限 ゆうげん 差分 さぶん 作用素 さようそ 計算 けいさん 法則 ほうそく [ 編集 へんしゅう ] 微分 びぶん 法則 ほうそく （英語 えいご 版 ばん 対応 たいおう
定数 ていすう 律 りつ c が定数 ていすう
Δ でるた c
=
0
{\displaystyle \Delta c=0}
成 な 立 た 線型 せんけい 性 せい 定数 ていすう a, b に対 たい
Δ でるた (
a
f
+
b
g
)
=
a
Δ でるた f
+
b
Δ でるた g
{\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g}
成 な 立 た この二 ふた 法則 ほうそく 他 た 差分 さぶん 作用素 さようそ 成 な 立 た
積 せき 差分 さぶん
Δ でるた (
f
g
)
=
f
Δ でるた g
+
g
Δ でるた f
+
Δ でるた f
Δ でるた g
,
{\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\,\Delta g,}
∇
(
f
g
)
=
f
∇
g
+
g
∇
f
−
∇
f
∇
g
.
{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\,\nabla g.}
商 しょう 差分 さぶん
∇
(
f
g
)
=
1
g
det
(
∇
f
∇
g
f
g
)
(
det
(
g
∇
g
1
1
)
)
−
1
{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{pmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{pmatrix}}\left(\det {\begin{pmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{pmatrix}}\right)^{-1}}
あるいは
∇
(
f
g
)
=
g
∇
f
−
f
∇
g
g
⋅
(
g
−
∇
g
)
,
{\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}},}
Δ でるた
(
f
g
)
=
g
Δ でるた f
−
f
Δ でるた g
g
⋅
(
g
+
Δ でるた g
)
.
{\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta f-f\,\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}.}
和 わ 分 ぶん
∑
n
=
a
b
Δ でるた f
(
n
)
=
f
(
b
+
1
)
−
f
(
a
)
,
{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a),}
∑
n
=
a
b
∇
f
(
n
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
−
1
)
.
{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1).}
[ 8] [ 9] [ 10] [ 11]
一般 いっぱん 化 か 有限 ゆうげん 差分 さぶん μ みゅー μ みゅー 0 , …, μ みゅー N 係数 けいすう 列 れつ
Δ でるた
h
μ みゅー
[
f
]
(
x
)
=
∑
k
=
0
N
μ みゅー
k
f
(
x
+
k
h
)
{\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh)}
と定義 ていぎ 普通 ふつう 右辺 うへん 和 わ 無限 むげん 級数 きゅうすう 取 と 換 か 一般 いっぱん 化 か 無限 むげん 差分 さぶん infinite difference ) が定義 ていぎ 別 べつ 一般 いっぱん 化 か 係数 けいすう μ みゅー k x に依存 いぞん 許 ゆる μ みゅー k μ みゅー k x )重 おも 付 つ 有限 ゆうげん 差分 さぶん weighted finite difference ) が考 かんが 歩 あゆ h が x に依存 いぞん h = h (x )考 かんが 一般 いっぱん 化 か 別種 べっしゅ 連続 れんぞく 度 ど （英語 えいご 版 ばん 構成 こうせい 有用 ゆうよう
一般 いっぱん 化 か 有限 ゆうげん 差分 さぶん 全体 ぜんたい 多項式 たこうしき 環 たまき R [T h 見 み 差分 さぶん 環 たまき 考 かんが 差分 さぶん 作用素 さようそ 半 はん 順序 じゅんじょ 集合 しゅうごう 上 うえ メビウス反転 はんてん 作用素 さようそ に一般 いっぱん 化 か 畳 たた 込 こ 表現 ひょうげん 接合 せつごう 環 たまき 方法 ほうほう 論 ろん 通 つう 差分 さぶん 作用素 さようそ 反転 はんてん 作用素 さようそ メビウス函数 かんすう と呼 よ 半 はん 順序 じゅんじょ 集合 しゅうごう 上 じょう 函数 かんすう μ みゅー 畳 たた 込 こ 表 あらわ 差分 さぶん 作用素 さようそ 対 たい 函数 かんすう μ みゅー 数列 すうれつ (1, −1, 0, 0, 0, …) である。多 た 変数 へんすう 場合 ばあい 有限 ゆうげん 差分 さぶん 考 かんが 多 た 変数 へんすう 偏 へん 微分 びぶん 対応 たいおう
中心 ちゅうしん 差分 さぶん 偏 へん 微分 びぶん 近似 きんじ 挙 あ
f
x
(
x
,
y
)
≈
f
(
x
+
h
,
y
)
−
f
(
x
−
h
,
y
)
2
h
,
{\displaystyle f_{x}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}},}
f
y
(
x
,
y
)
≈
f
(
x
,
y
+
k
)
−
f
(
x
,
y
−
k
)
2
k
,
{\displaystyle f_{y}(x,y)\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}},}
f
x
x
(
x
,
y
)
≈
f
(
x
+
h
,
y
)
−
2
f
(
x
,
y
)
+
f
(
x
−
h
,
y
)
h
2
,
{\displaystyle f_{xx}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}},}
f
y
y
(
x
,
y
)
≈
f
(
x
,
y
+
k
)
−
2
f
(
x
,
y
)
+
f
(
x
,
y
−
k
)
k
2
,
{\displaystyle f_{yy}(x,y)\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}},}
f
x
y
(
x
,
y
)
≈
f
(
x
+
h
,
y
+
k
)
−
f
(
x
+
h
,
y
−
k
)
−
f
(
x
−
h
,
y
+
k
)
+
f
(
x
−
h
,
y
−
k
)
4
h
k
.
{\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.}
のようになる。
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=f(x+h)-f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4b1b463ac6a532d0089dad4ef7f7ec1a91acb9)
=f(x)-f(x-h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4916660138355c77211844935d43b20ba90144f6)
=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1b3bb1d30f5fc961b7f80481516195f475a0f5)
}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743786132dd076fecaa933270595befff4443a3c)
}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad ({\text{as }}h\to 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a75896e4e75fc313e01bc2bfd0d106d78a80a)
}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad ({\text{as }}h\to 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6c9f960a1ea8f3ff515d58e2b253150c3363f8)
}{h}}-f'(x)=O(h^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd3ce0a81ebb9bdf2acaf81c21947914e9bbac0)
}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f502a23a0ab2c724f144fd9ed3cc54e5ac7af06e)
}{h^{2}}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84318dbf92642e795bdc411368c8f817211eea83)
=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547d6a131754216ad9b7d3f0600ed388788fdb3c)
=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)\quad ({\text{for }}h=1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cefd3a37ba1d0f66329166c69ea7b531d2451a29)
=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d02b454bc5bec308d6b40c4b1d6fd0e5177a6f)
=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f76f23a6a4f6b4671cfa2672778e82a8b8de6d)
}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de75aedabc5f87d98b2a862430b4997ca5c78e37)
-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9cddb870f225e7259dcbe96bacce30960cdb45)
}{k!}}(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8137b719c52afd141235edafabd5bdcd050555f2)
=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6538bd31f9176c1d19bc3899793d4bdc86fd868b)
