内うち挿

内うち挿（ないそう、英えい: interpolation）や補間ほかん（ほかん）とは、ある既知きちの数値すうちデータ列れつを基もとにして、そのデータ列れつの各かく区間くかんの範囲はんい内ないを埋うめる数値すうちを求もとめること、またはそのような関数かんすうを与あたえること。またその手法しゅほうを内うち挿法（英えい: interpolation method）や補間ほかん法ほうという。対義語たいぎごは外そと挿や補外ほがい。

概要がいよう

内うち挿さするためには、各かく区間くかんの範囲はんい内ないで成なり立たつと期待きたいされる関数かんすうと境界きょうかいでの振舞ふるまい（境界きょうかい条件じょうけん）を決きめることが必要ひつようである。

最もっとも一般いっぱん的てきで容易よういに適用てきようできるものは、一いち次じ関数かんすう（直線ちょくせん）による内うち挿（直線ちょくせん内ない挿）である。ゼロ次じ関数かんすう（ステップ関数かんすう）によってデータ列れつを埋うめること（0次じ補間ほかん）を内うち挿と呼よぶことはあまりないが、内うち挿の一種いっしゅである。

内うち挿と外そと挿（補外ほがい）とのアルゴリズムの類似るいじ性せいから、それぞれ内ない挿補間あいだ、外そと挿補間あいだと誤あやまって呼称こしょうされることがある。本来ほんらい、補間ほかんと内うち挿は同義どうぎであり、内うち挿補間あいだと重かさねて呼よぶ必要ひつようはない。

内うち挿法の選択せんたく

内うち挿のもたらす結果けっかは、平滑へいかつ化かや最小さいしょう自乗じじょう近似きんじと似にているが、これらは全まったく違ちがったものである。内うち挿は、ある区間くかんの間あいだに成なり立たつ関数かんすうモデルや境界きょうかい条件じょうけんを仮定かていし、その関数かんすうのパラメータのうちのいくつか(または全すべて)を決定けっていする。このため、入力にゅうりょく数値すうちデータ列れつには誤差ごさが含ふくまれないか、無視むしできると仮定かていしている。一方いっぽう、平滑へいかつ化かや最小さいしょう自乗じじょう近似きんじは誤差ごさが含ふくまれる数値すうちデータ列れつの関係かんけいをもっともらしく推定すいていする数列すうれつや関数かんすうモデルを与あたえる。

物理ぶつり現象げんしょうを測定そくていしたデータを入力にゅうりょくとする内うち挿では、その物理ぶつり現象げんしょうに適用てきようできるもっともらしい内うち挿法を選択せんたくすることが必要ひつようである。しばしば、そうした測定そくてい値ちやコンピュータアニメーションにおけるキャラクターの運動うんどうなどで線形せんけい補間ほかんや多項式たこうしき補間ほかんが好このまれて適用てきようされるのは、単たんにアルゴリズムのソフトウェアへの実装じっそうが容易よういで計算けいさん機き負荷ふかが少すくないというだけでなく、多おおくの物理ぶつり現象げんしょうを表あらわす関数かんすうがテイラー展開てんかい可能かのうであり、その高次こうじの項こうが無視むしできるほど小ちいさいと仮定かていできるからである。

そうでない場合ばあいは、適てきした内うち挿法を選択せんたくする必要ひつようがある。

代表だいひょう的てきな補間ほかん法ほう、補間ほかん関数かんすう

例れいとして、このような点てんがデータとして与あたえられたとき、これらの点てんの間あいだの値ねを補間ほかんすることを考かんがえる。

多項式たこうしき補間ほかん。

• 多項式たこうしき補間ほかん

  全すべてのデータ点てんを通とおる多項式たこうしきを用もちいた補間ほかん法ほう。

  • ニュートン補間ほかん

    差分さぶんを用もちいる補間ほかん公式こうしきの一種いっしゅであるニュートンの補間ほかん公式こうしきを使つかう補間ほかん法ほう。

  • ラグランジュ補間ほかん

    ラグランジュの補間ほかん公式こうしきを使つかう補間ほかん法ほう。

  • ガウス補間ほかん

    ガウスの補間ほかん式しきを使つかう補間ほかん法ほう。

• エルミート補間ほかん(Hermite)

指定していした分ぶん点てんにおいて，関数かんすうの値ねだけでなくて微分びぶんの値ねも一致いっちするような多項式たこうしきを用もちいる補間ほかん法ほう。さらに一般いっぱん化かされたものとして，より高次こうじの微分びぶんの値ねも一致いっちするような多項式たこうしきによる補間ほかん。

スプライン補間ほかん。

• 有理ゆうり関数かんすう補間ほかん

指定していされた分ぶん点てんにおいて関数かんすうと値ねが一致いっちする有理ゆうり関数かんすうによる補間ほかん法ほう。さらに一般いっぱん化かされたものとして，関数かんすうの値ねだけでなく微分びぶんの値ね（さらに高次こうじの微分びぶんの値ね）も一致いっちするような有理ゆうり関数かんすうによる補間ほかん法ほうも考かんがえることができる。

• 重心じゅうしん形式けいしき補間ほかん法ほう(barycentric interpolation)

多項式たこうしきや有理ゆうり関数かんすうなどによる関数かんすうの補間ほかんを行おこなう際さいに，重心じゅうしん形式けいしきと呼よばれる形式けいしきを用もちいて補間ほかんを行おこなう方法ほうほうである。

• スプライン補間ほかん

  隣となり合あう点てんに挟はさまれた各かく区間くかんに対たいし、個別こべつの多項式たこうしきを用もちいた補間ほかん法ほう。各かく区間くかんで、境界きょうかい条件じょうけんとして導しるべ関数かんすうの連続れんぞく性せいを仮定かていする。CADきゃどやグラフィックソフトウェアでは、滑なめらかな曲線きょくせんや曲面きょくめんを与あたえる機能きのうとして知しられる。

• フーリエ級数きゅうすう補間ほかん

指定していされた分ぶん点てんにおいて関数かんすうと値ねが一致いっちする有限ゆうげんフーリエ級数きゅうすうによる補間ほかん法ほう。関数かんすうが周期しゅうき的てきなものである場合ばあいには特とくに有用ゆうよう。

最近さいきん傍はた補間ほかん。

• 0次じ補間ほかん（最さい近傍きんぼう補間ほかん、最近さいきん傍点ぼうてん補間ほかん）

線形せんけい補間ほかん。

• 線形せんけい補間ほかん（直線ちょくせん補間ほかん、1次じ補間ほかん）
• 放物線ほうぶつせん補間ほかん（2次じ補間ほかん）
• キュービック補間ほかん（3次じ補間ほかん）

  2次元じげん信号しんごうの補間ほかんの場合ばあい、たとえば直交ちょっこう座標ざひょうでは直行ちょっこうする二ふたつの軸じくに沿そった二ふたつの関数かんすうを計算けいさんすることになる。このため、線形せんけい補間ほかんはバイリニア、3次じ補間ほかんはバイキュービック（双そう三さん次じ補間ほかん、双そう三さん次じ関数かんすう補間ほかん）と呼よばれる。

• キュービックコンボリューション

  字義じぎ的てきには3次じ畳たたみ込こみという意味いみであるが、下記かきの補間ほかん関数かんすうを用もちいる3次じ補間ほかんを指さすことがある。aは補間ほかん関数かんすうの性質せいしつを制御せいぎょするための変数へんすう（-0.5～-2程度ていどが用もちいられる）

  $h(t)={\begin{cases}(a+2)|t|^{3}-(a+3)|t|^{2}+1,&0\leq |t|<1\\a|t|^{3}-5a|t|^{2}+8a|t|-4a,&1\leq |t|<2\\0,&2\leq |t|\\\end{cases}}$

• Sinc関数かんすう
• Lanczos-n補間ほかん（ランツォシュ補間ほかん）　

  $n$ は補間ほかん関数かんすうの性質せいしつを制御せいぎょするための変数へんすう。$n=2$ とした補間ほかん関数かんすうはLanczos-2、$n=3$ とした補間ほかん関数かんすうはLanczos-3と呼よばれる。

  $h(t)={\begin{cases}\mathrm {sinc} (t)\cdot \mathrm {sinc} ({\frac {t}{n}}),&|t|\leq n\\0,&n<|t|\\\end{cases}}$

• クリギング - 空間くうかん的てきな内うち挿を行おこなう地球ちきゅう統計とうけい学がくの手法しゅほう

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