整せい関数かんすう

複素ふくそ解析かいせきにおける整せい函数かんすう（せいかんすう、英えい: entire function）は、複素数ふくそすう平面へいめんの全域ぜんいきで定義ていぎされる正則せいそく函数かんすうを言いう。そのような函数かんすうの例れいとして、特とくに複素ふくそ指数しすう函数かんすうや多項式たこうしき函数かんすうおよびそれらの和わ、積せき、合成ごうせいを用もちいた組合くみあわせとしての三角さんかく函数かんすうおよび双曲線そうきょくせん函数かんすうなどを挙あげることができる。

二ふたつの整せい函数かんすうの商しょうとして有理ゆうり型がた函数かんすうが与あたえられる。

解析かいせき函数かんすう論ろんの特定とくていの場合ばあいとして考かんがえれば「整せい函数かんすうの基本きほん理論りろん」は一般いっぱん論ろんからの単たんに帰結きけつであり、それは本質ほんしつ的てきに複素ふくそ関数かんすう論ろんの初歩しょほ（しばしばヴァイヤシュトラスの因数いんすう分解ぶんかい定理ていりによって詳くわしく調しらべられる）である。しかしその研究けんきゅうは、19世紀せいき半なかばごろのコーシー, ラゲール, ヴァイヤシュトラスらから始はじまり、ボレル, アダマール, モンテル, ピカール, ヴァリロン, ブルメンタールら（そしてネヴァンリンナを忘わすれることはできない）によって著いちじるしく豊ゆたかに推おし進すすめられ、いまや堂々どうどうたる理論りろんとなった。

整せい函数かんすうの理論りろんは、整せい函数かんすうをその増大ぞうだい度どによって分類ぶんるいしようとするものであり、整せい函数かんすうのテイラー係数けいすうと増大ぞうだい度どの間あいだの関係かんけい、取とりうる零れい点てんと整せい函数かんすうの振ふる舞まいの間あいだの関係かんけい、整せい函数かんすうとその導しるべ函数かんすうの間あいだの関係かんけいを特定とくていする。

整せい函数かんすうの理論りろんにおけるこれらの側面そくめんは、有理ゆうり型がた函数かんすうに対たいするものに拡張かくちょうされる。

解析かいせき函数かんすう論ろんにおける整せい函数かんすう

複素ふくそ解析かいせき函数かんすうの分類ぶんるいは普通ふつうはそれらの複雑ふくざつさ、つまりそれらの持もつ特異とくい点てんに従したがってなされる。多項式たこうしき函数かんすうを除のぞけば、本ほん項こうの主題しゅだいである整せい函数かんすう、整せい函数かんすうの商しょうとして極きょくのみを特異とくい点てんに持もつ有理ゆうり型がた函数かんすう、そして真性しんせい特異とくい点てんあるいは分岐ぶんき点てんを持もつような函数かんすうは一変いっぺん数すう複素ふくそ解析かいせき函数かんすうの中なかでもっとも複雑ふくざつである。

整せい函数かんすうは多項式たこうしき函数かんすうの一般いっぱん化かとして現あらわれ、ある意味いみで「無限むげん次数じすうの多項式たこうしき」のように振ふる舞まう。ゆえに整せい函数かんすうは、多項式たこうしき函数かんすうを除のぞいてもっとも単純たんじゅんな解析かいせき函数かんすうであり、有限ゆうげんな領域りょういきにおいて特異とくい点てんを持もたず、無限むげん遠とお点てんにおいてただ一ひとつの特異とくい点てんを持もつ（後述こうじゅつ）。それでも、整せい函数かんすうの研究けんきゅうは難むずかしく、二に百ひゃく年ねん近ちかい研究けんきゅう史しにも拘かかわらず未いまだに多おおくの未み解決かいけつ問題もんだいを抱かかえている。

基本きほん理論りろん

複素ふくそ解析かいせき函数かんすう f が z に関かんして正則せいそくとすれば、テイラー–マクローリンの公式こうしきにより点てん z の周まわりで整せい級数きゅうすう $$f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}(s-z)^{n}}$$ に展開てんかいされる。整せい級数きゅうすう論ろんにより、上うえの級数きゅうすうは z を中心ちゅうしんとし、コーシー–アダマールの定理ていりにより $${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$$ で与あたえられる半径はんけい R をもつ開ひらき円えん板ばん上じょうで絶対ぜったいかつ一様いちように収束しゅうそくすることが分わかる。複素ふくそ解析かいせき函数かんすう論ろんの主しゅ結果けっかは、収束しゅうそく半径はんけいが z と最もっとも近ちかくにある特異とくい点てんとの間あいだの距離きょり R によって決きまることである。複素ふくそ解析かいせき函数かんすうが整せいであるとは、それが複素数ふくそすう平面へいめんの任意にんいの点てんにおいて正則せいそくであるときに言いう。したがって、整せい函数かんすうは有限ゆうげんの距離きょりにある特異とくい点てんを持もたない。ある点てん y において正則せいそくな函数かんすうは y において無限むげん回かい微分びぶん可能かのうであることを思おもい出だそう。

f が整せい函数かんすうならば、任意にんいの点てんにおいて正則せいそくであるから、収束しゅうそく整せい級数きゅうすう ${\textstyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$ に展開てんかいされ、また無限むげん遠とお点てんを除のぞいて特異とくい点てんを持もたないから整せい級数きゅうすうの収束しゅうそく半径はんけいは無限むげん大だいであり、すなわちこの級数きゅうすうは任意にんいの z に対たいして収束しゅうそくする。したがって ${\textstyle \limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}=0}$ が成なり立たつ。またそれゆえ、整せい函数かんすうの任意にんいの階数かいすうの導しるべ函数かんすうもまた整せい函数かんすうになる。

コーシーの積分せきぶん公式こうしき: $$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{{\frac {f(s)}{s-z}}ds}$$ は、分数ぶんすう式しき 1/(s − z) を整せい級数きゅうすうに展開てんかいすることにより、各かくテイラー係数けいすうを積分せきぶん $$a_{n}={\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(s)}{(s-z)^{n+1}}}ds$$ によって決定けっていできる。ただし上記じょうきの両方りょうほうの積分せきぶんでは、積分せきぶん路ろ γがんま は z を囲かこまない閉路へいろとする。さらに M(R) を z を中心ちゅうしんとする半径はんけい R の円えん板ばん上じょうでの函数かんすうの最大さいだい絶対ぜったい値ちとすれば、極きわめて重要じゅうようなコーシーの不等式ふとうしき $$|a_{n}|\leq {\frac {M(R)}{R^{n}}}$$ が簡単かんたんな論法ろんぽうにより得えられる。

整せい函数かんすうに関かんする重要じゅうような結果けっかとしてリウヴィルの定理ていりがある:

定理ていり (Liouville)

整せい函数かんすうが有界ゆうかいならば、定数ていすう函数かんすうである。

この定理ていりはコーシーの不等式ふとうしきを適用てきようして証明しょうめいできる。すなわち、R が何なにであっても M(R) が有界ゆうかいであることに注意ちゅういして、R を無限むげん大だいに飛とばせば所望しょもうの結果けっかを得える。 このリウヴィルの定理ていりから、代数だいすう学がくの基本きほん定理ていり「次数じすう n の任意にんいの多項式たこうしきは、重複じゅうふく度どを込こめて n 個この根ねを持もつ」の簡単かんたんな証明しょうめいが得えられる。次つぎのピカールの小しょう定理ていりはリウヴィルの定理ていりの強化きょうか版ばんであると考かんがえられる:

定理ていり (Picard)

定数ていすうでない任意にんいの整せい函数かんすうは、複素数ふくそすう平面へいめん上じょうにおいて、高々たかだか一ひとつの値ねを除のぞいたすべての複素数ふくそすうの値ねをとる。

詳くわしくは後述こうじゅつするが、ある意味いみで整せい函数かんすう論ろんはピカールの小しょう定理ていりのまったく周辺しゅうへんを周しゅうっている。

• 一ひとつの領域りょういき—つまり、連結れんけつ開ひらけ集合しゅうごう—上じょう定義ていぎされた正則せいそく函数かんすうが整せい函数かんすうに解析かいせき的てきに延長えんちょうできるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、そのテイラー級数きゅうすうの収束しゅうそく半径はんけいがその領域りょういき上じょうの任意にんいの点てんにおいて無限むげん大だいとなることである。（注ちゅう：領域りょういき上じょうのある1点てんに於おいてテイラー級数きゅうすうの収束しゅうそく判ばん型がたが無限むげん大だいであれば整せい関数かんすうに延長えんちょうできる。）
• 整せい函数かんすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは、写像しゃぞうの合成ごうせいに関かんして閉とじているから、複素数ふくそすう平面へいめんからそれ自身じしんへの連続れんぞく函数かんすう全体ぜんたいの成なす空間くうかんの複素ふくそ部分ぶぶん多元たげん環たまきを成なす。

整せい函数かんすうは有界ゆうかいならば定数ていすうであり、また無限むげん遠とお点てん以外いがいでは特異とくい点てんを持もてないから、定数ていすうでない任意にんいの整せい函数かんすうに対たいして無限むげん遠とお点てんは特異とくい点てんである。可能かのう性せいとしてその特異とくい点てんは極ごくまたは真性しんせい特異とくい点てんであるが、前者ぜんしゃの（無限むげん遠とお点てんに極きょくを持もつ）場合ばあい、その整せい函数かんすうは多項式たこうしきである。後者こうしゃの（無限むげん遠とおに真性しんせい特異とくい点てんを持もつ）場合ばあい、その函数かんすうは超越ちょうえつ整せい函数かんすうと言いう。

孤立こりつ零れい点てんの原理げんり

函数かんすう f は領域りょういき U 上うえで定義ていぎされた解析かいせき函数かんすうで、a において消きえているとする。このとき、f は恒等こうとう的てきに零れいか、さもなくば a を中心ちゅうしんとする円えん板ばん D が存在そんざいして、a と異ことなる任意にんいの s ∈ D に対たいして f(s) ≠ 0 が成なり立たつ。

これは解析かいせき接続せつぞくの原理げんりからの帰結きけつである。

開ひらけ写像しゃぞう定理ていり

開ひらけ集合しゅうごう U 上うえで定数ていすうでない解析かいせき函数かんすう f に対たいし、f(U) もまた開ひらけ集合しゅうごうである。

これは孤立こりつ零れい点てんの原理げんりによっても示しめせる。

最大さいだい値ち原理げんり

領域りょういき D 上うえで定数ていすうでない解析かいせき函数かんすう f に対たいし、開ひらき写像しゃぞう定理ていりから以下いかが直ただちに従したがう:

• f の絶対ぜったい値ちは D に極大きょくだい値ちを持もたない（したがって、D が有界ゆうかいならば |f| は D の境界きょうかい上じょうで最大さいだい値ちを持もつ）;
• f が D 上うえで消きえないならば、|f| は D に極大きょくだい値ちを持もたない;
• f の実み部ぶは D に極大きょくだい値ちも極小きょくしょう値ちも持もたない。

特とくにシュヴァルツの補題ほだいが導みちびける。

より一般いっぱんに、任意にんいの劣れつ調和ちょうわ函数かんすう（例たとえば |f| や f が消きえない場合ばあいの 1/|f| などはそう）は最大さいだい値ちの原理げんりを満足まんぞくする。また任意にんいの調和ちょうわ函数かんすう（例たとえば Re(f) はそう）は最大さいだい値ちおよび最小さいしょう値ちの原理げんりを満足まんぞくする。

フラグメン–リンデレーフの原理げんりは最大さいだい絶対ぜったい値ちの原理げんりの非ひ有界ゆうかい領域りょういきへの一般いっぱん化かである。

増大ぞうだい度ど

定義ていぎにより、整せい函数かんすうは無限むげん遠とお点てんにのみ孤立こりつ特異とくい点てんを持もつ。整せい函数かんすう f に対たいして $$M_{f}(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|$$ と置おけば、この函数かんすうは最大さいだい値ち原理げんりにより単調たんちょう増大ぞうだいで、f が定数ていすうでなければリウヴィルの定理ていりから有界ゆうかいではない。これを f の最大さいだい絶対ぜったい値ち函数かんすうと言いう。

定理ていり (Hadamard)

最大さいだい絶対ぜったい値ちの自然しぜん対数たいすう函数かんすう ln M_f(r) は、ln r の凸とつ函数かんすうである。

定理ていり (Blumenthal)

最大さいだい絶対ぜったい値ちの自然しぜん対数たいすう函数かんすう ln M_f(r) は、任意にんいの区間くかん上じょうで連続れんぞくかつ解析かいせき的てきである。

上記じょうきの凸とつ性せいからの帰結きけつとして、ln M_f(r) は右みぎおよび左ひだり微分びぶんを持もち、それらは単調たんちょう増大ぞうだいである。必かならずしも連続れんぞくでない函数かんすう v(t) が存在そんざいして $$\ln M_{f}(r)=\ln M_{f}(1)+\int _{1}^{r}{v(t){\frac {dt}{t}}}$$ が成なり立たつ。

関数かんすうｆの絶対ぜったい最大さいだい値ち函数かんすう M_f(r) の r に関かんしての増大ぞうだいにはいくらでも速はやいものが存在そんざいする。より精確せいかくには、任意にんいの単調たんちょう増大ぞうだい函数かんすう g: [0, +∞) → [0, +∞) に対たいして、適当てきとうな函数かんすう f を選えらぶことで、任意にんいの実数じっすう x に対たいして f(x) が g(|x|) より真しんに大おおきい実数じっすうとなるようにできる。そのためには f として $$f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}$$ の形かたちのものを、うまく選えらんだ整せい数列すうれつ n_k に対たいしてとればよい。実際じっさい、c ≔ g(2) および ${\textstyle n_{k}:=2\lceil k\ln g(k+2)\rceil \quad (\forall k\geq 1)}$ と取とれる。

実じつはこれはトルステン・カーレマンの一様いちよう近似きんじ定理ていり「 Q が R 上うえ定義ていぎされた複素ふくそ数値すうち連続れんぞく函数かんすうで、E: R → (0, +∞) が連続れんぞくならば、整せい函数かんすう f が存在そんざいして、任意にんいの実数じっすう x に対たいして ${\textstyle |f(x)-Q(x)|<E(x)}$ とできる」の特別とくべつの場合ばあいになっている。

整せい函数かんすう f が適当てきとうな値ね λらむだ に対たいして $$\liminf _{r\to \infty }{\frac {M_{f}(r)}{r^{\lambda }}}=0$$ を満みたすならば、函数かんすう f は次数じすうが高々たかだか λらむだ の多項式たこうしきである。等号とうごうを満足まんぞくする λらむだ が存在そんざいしないときは、M_f(r) の増大ぞうだい度どを exp(r^k) と比較ひかくする。適当てきとうな値ね r₀ より大おおきい r に対たいして不等式ふとうしき ${\textstyle M_{f}(r)<\exp(r^{k})}$ が常つねに成なり立たつならば、f は有限ゆうげん増ぞう大度たいどであると言いう。整せい函数かんすう f の増大ぞうだい度ど (order of growth) あるいは上うえ増ぞう大度たいど (superior order)は、等式とうしき $$\rho =\rho _{f}=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{f}(r)}{\ln r}}$$ によって定義ていぎされる。同おなじ増ぞう大度たいど ρろー の整せい函数かんすうの間あいだでも、$$\sigma _{f}=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho }}}$$ と定義ていぎされる型かた σしぐま_f の函数かんすうを区別くべつすることができる。σしぐま_f の値ねにより、極小きょくしょう型がた (σしぐま_f = 0), 通常つうじょう型がた (0 < σしぐま_f < ∞) または極大きょくだい型がた (σしぐま_f = ∞) に分類ぶんるいする。

そのとき以下いかの不等式ふとうしきが成なり立たつ：

• $\rho _{f+g}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g});$
• $\rho _{fg}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g});$
• $\sigma _{f+g}\leq \max(\sigma _{f},\sigma _{g});$
• $\sigma _{fg}\leq \sigma _{f}+\sigma _{g}.$

指数しすう函数かんすう exp の増大ぞうだい度どは 1 であり、また正弦せいげん sin および余弦よげん函数かんすう cos もそうである。

ミッタク゠レフラー函数かんすう $$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma \left(1+{\frac {n}{\rho }}\right)}}$$ は増大ぞうだい度ど ρろー である。リンデレーフ函数かんすう $$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z}{n^{1/\rho }}}\right)^{n}$$ も同おなじ。

整せい函数かんすうの増大ぞうだい度どと整せい級数きゅうすう展開てんかいの係数けいすうの間あいだには以下いかのような関係かんけいがある:

• 整せい函数かんすう ${\textstyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$ が十分じゅうぶん大おおきな r に対たいして ${\textstyle M_{f}(r)<e^{Ar^{k}}}$を満みたすならば、$$|a_{n}|\leq \left({\frac {eAk}{n}}\right)^{n/k}$$ が十分じゅうぶん大おおきな n に対たいして成なり立たつ。
• 逆ぎゃくに、十分じゅうぶん大おおきな n に対たいして ${\textstyle |a_{n}|\leq \left({\frac {eAk}{n}}\right)^{n/k}}$ が成なり立たつならば、任意にんいの εいぷしろん > 0 に対たいし $$M_{f}(r)<e^{(A+\epsilon )r^{k}}$$ が十分じゅうぶん大おおきな r に対たいして成なり立たつ。

まとめると:

増大ぞうだい度どと係数けいすうとの関係かんけい

整せい函数かんすうの増大ぞうだい度どは、以下いかの公式こうしき $$\rho _{f}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{\ln 1/|a_{n}|}}$$によって求もとまり、また整せい函数かんすうの型かたは公式こうしき $$\sigma _{f}={\frac {1}{\rho e}}\limsup _{n\to \infty }n|a_{n}|^{\rho /n}$$ によって決定けっていできる

円周えんしゅう上じょうの最大さいだい値ちと整せい級数きゅうすう展開てんかいの係数けいすうには関係かんけいがあることを見みたが、同様どうようの関係かんけいがたとえば函数かんすうの実み部ぶのみに関かんしてどのようになるかを問とうことができる。この関係かんけいは一般いっぱんにはボレル-カラテオドリの補題ほだいによって与あたえられる。それもまた導しるべ函数かんすうの評価ひょうかを考かんがえるものである:

定理ていり (Borel–Carathéodory)

函数かんすう f(z) は原点げんてん中心ちゅうしん、半径はんけい R の閉球体きゅうたい B(0, R) において解析かいせき的てきとし、その実み部ぶの半径はんけい r の円上えんじょうでとる最大さいだい値ちを A(r) とすると、∀r ∈ (0, R) に対たいして、以下いかの不等式ふとうしき $$M(r)\leq {\frac {2r}{R-r}}A(R)+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|$$ を得える。また A(R) ≥ 0 ならば $$\max _{|z|=r}\left|f^{(n)}(z)\right|\leq {\frac {2^{n+2}n!R}{(R-r)^{n+1}}}(A(R)+|f(0)|)$$ を得える。

整せい函数かんすうの導しるべ函数かんすうはその整せい級数きゅうすうの形式けいしき微分びぶんによって得えられる。コーシー–アダマールの公式こうしきを適用てきようすると、整せい函数かんすうの導しるべ函数かんすうもまた整せい函数かんすうになることが分わかる。導しるべ函数かんすうの増大ぞうだい度どがどうなるかという問といが自然しぜんに生しょうじるが、その増大ぞうだい度どは上記じょうきの公式こうしきによって計算けいさんできて、以下いかのことが示しめされる:

命題めいだい

整せい函数かんすうの導しるべ函数かんすうの増大ぞうだい度どはもとの整せい函数かんすうの増大ぞうだい度どに等ひとしい。

また整せい函数かんすうは無限むげん回かい微分びぶん可能かのうであるから、任意にんいの階数かいすうの導しるべ函数かんすうについても増大ぞうだい度どはすべて等ひとしい。

整せい函数かんすうの増大ぞうだいをより細こまかく比較ひかくするために、$$\liminf _{r\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{f}(r)}{\ln r}}$$ で定義ていぎされる下した増ぞう大度たいど (inferior order) を考かんがえる。

命題めいだい

整せい函数かんすうの導しるべ函数かんすうの下した増ぞう大度たいどは、もとの整せい函数かんすうの下した増ぞう大度たいどに等ひとしい。

が示しめされるが、これではまだ十分じゅうぶんに精密せいみつではない。有限ゆうげん増ぞう大度たいど ρろー の整せい函数かんすう f に対たいして、函数かんすう ρろー(r) が存在そんざいして、以下いかの性質せいしつ

• ρろー(r) は定義ていぎされて連続れんぞく、各かく点てんにおいて左ひだりおよび右みぎ微分びぶん可能かのうである;
• ${\textstyle \lim _{r\to \infty }\rho (r)=\rho ;}$
• ${\textstyle \lim _{r\to \infty }\rho '(r)r\ln r=0;}$
• ${\textstyle \limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho (r)}}}=1}$

を満みたすとき、f の精密せいみつ増ぞう大度たいど (precise order) L が定義ていぎされる。（※校正こうせい意見いけん、精密せいみつ増ぞう大度たいど L の定義ていぎが不明ふめいである。）

エミール・ボレルは、自身じしんの整せい函数かんすうの研究けんきゅうにおいて、整せい函数かんすうの増大ぞうだい度どを $$\rho =\lim _{r\to \infty }{\frac {\ln \ln M(r)}{\ln r}}$$ と与あたえることにより、整せい函数かんすうの通常つうじょう増大ぞうだい (regular growth) を定義ていぎした。定義ていぎにより、これは上うえ増ぞう大度たいどと下した増ぞう大度たいどが一致いっちするときのその値ねであり、函数かんすうの通常つうじょう増大ぞうだいとはそのような増大ぞうだい度どを持もつという意味いみで言いう。

整せい函数かんすう f が増大ぞうだい度ど ρろー となるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、その通常つうじょう増大ぞうだいが十分じゅうぶん大おおきな n と任意にんいの εいぷしろん > 0 に対たいして ${\textstyle |a_{n}|^{1/n}<n^{-1/{\rho +\epsilon }}}$ を満みたし、かつ整数せいすう列れつ n_p が存在そんざいして $$\lim _{n\to \infty }{\frac {n_{p+1}}{n_{p}}}=1$$ および ${\textstyle |a_{n_{p}}|^{1/n_{p}}>n_{p}^{-1/{\rho +\epsilon _{p}}}}$ が ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\epsilon _{p}=0}$ とともに成なり立たつことである。

有限ゆうげん増ぞう大度たいど整せい函数かんすうの因数いんすう分解ぶんかい

詳細しょうさいは「ヴァイヤシュトラスの因数いんすう分解ぶんかい定理ていり」を参照さんしょう

ヴァイヤシュトラスは有限ゆうげん増ぞう大度たいど ρろー の任意にんいの整せい函数かんすう f に対たいし、f が複素数ふくそすう a_n ≠ 0 で値ねが零れいにならないとすれば、次数じすうが高々たかだか ρろー である多項式たこうしき P(s) と整数せいすう m ≤ ρろー が存在そんざいして、$$f(s)=s^{p}\exp(P(s))\prod _{n=1}^{\infty }E\left({\frac {s}{a_{n}}},m\right)$$ と書かけることを示しめした。ただし、${\textstyle E(u,m)=(1-u)e^{u+u^{2}/2+\dotsb +u^{m}/m}}$ である。因子いんし s^p は、函数かんすうが原点げんてん 0 に位い数すう p の零れい点てんを持もつことに対応たいおうするものである。

ブートルー–カルタンの定理ていりは整せい函数かんすうの研究けんきゅうにおいて頻繁ひんぱんに用もちいられる結果けっかを述のべる。問題もんだいは積せき ${\textstyle P(z):=\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k})}$ を零れい点てんの近傍きんぼうの外そとにおいて評価ひょうかすることである。いま n は既知きちと仮定かていする。

定理ていり (Boutroux–Cartan)

任意にんいの実数じっすう H > 0 に対たいし、半径はんけいの和わが高々たかだか 2H となる n 個この円えんの外側そとがわで $$|P(z)|>\left({\frac {H}{e}}\right)^{n}$$ が成なり立たつ。

テイラー級数きゅうすうの最大さいだい項こう

f(s) ≔ ∑∞
n=0 a_nsⁿ は整せい函数かんすうとする。数列すうれつ |a₀|, |a₁|r, |a₂|r², … はある番号ばんごう以降いこうは単調たんちょうに減少げんしょうして、r に依よらず 0 に収束しゅうそくする。したがって、各かく r に対たいしほかの全すべての項こう以上いじょうの値ねを持もつ項こうが存在そんざいするから、その値ねを B(r), その値ねをとる（複数ふくすうあるならば最大さいだいの）項こう番号ばんごうを μみゅー(r) と書かけば、B(r) は r に関かんして単調たんちょう増大ぞうだいで無限むげん大だいに発散はっさんし、コーシーの不等式ふとうしきにより B(r) < M(r) が成なり立たつから

命題めいだい

番号ばんごう μみゅー(r) は r の単調たんちょう非ひ減少げんしょう函数かんすうで、r とともに無限むげん大だいに発散はっさんする。

三みっつの函数かんすう B(r), M(r), μみゅー(r) の間あいだには、二ふたつの不等式ふとうしき $$B(r)<M(r)<B(r)[2\mu (r+{\tfrac {r}{\mu (r)}})+1]$$ が成立せいりつする。さらにこの不等式ふとうしきから、

命題めいだい

有限ゆうげん増ぞう大度たいどの整せい函数かんすうに対たいして、二ふたつの函数かんすう ln B(r), ln M(r) は漸近ぜんきん的てきに等ひとしい。

が言いえる。すると μみゅー(r) に関かんして

命題めいだい

有限ゆうげん増ぞう大度たいど ρろー および精密せいみつ増ぞう大度たいど ρろー(r) を持もつ完全かんぜん正則せいそく整せい函数かんすうに対たいし、μみゅー(r) ≈ ρろー⋅r^ρろー(r) となる

ことを得える。一般いっぱんに公式こうしき $$\ln B(r)=\ln B(r_{0})+\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mu (u)}{u}}du$$ が成なり立たつ。

値ねの分布ぶんぷ

整せい函数かんすうの値ねの分布ぶんぷに関かんして最もっとも深ふかい結果けっかはピカールの小しょう定理ていりで、「定数ていすうでない整せい函数かんすうは高々たかだか一ひとつの例外れいがい値ちを除のぞいてすべての複素数ふくそすうを値ねとしてとる」ことを述のべる（このとき、とらない値ねが存在そんざいすればそれを「ピカールの例外れいがい値ち」と称しょうする）。より精確せいかくな結果けっかは（先述せんじゅつの数かずを与あたえられた複素数ふくそすうの絶対ぜったい値ちで上うえから抑おさえることにより）函数かんすうの増大ぞうだい度どに依存いぞんする。

非ひ整数せいすう増ぞう大度たいどの場合ばあい

増大ぞうだい度どが整数せいすうでない場合ばあいは、ピカールの小しょう定理ていりにおける例外れいがい値ちを持もつことはできない。すなわち、そのような整せい函数かんすうは x の値ねに依よらずに方程式ほうていしき f(s) = x が無限むげん個この解かいを持もつ。特とくに、

増大ぞうだい度どが整数せいすうでない任意にんいの整せい函数かんすうは無限むげん個この零れい点てんを許ゆるす。

整数せいすう増ぞう大度たいどの場合ばあい

増大ぞうだい度どが整数せいすうの場合ばあいには、ピカールの例外れいがい値ちが存在そんざいしうる。そのような場合ばあいの詳細しょうさいはエミール・ボレルにより

方程式ほうていしき f(s) = x の絶対ぜったい値ちが r より小ちいさい根ねの数かず n(x, r) は x の高こう々一ひとつの値ねを例外れいがいとして ln M(r) の大おおきさより小ちいさい増大ぞうだい度どを持もつ。

零れい点てんが有限ゆうげん個こかつ多項式たこうしきに還元かんげんできない整数せいすう増ぞう大度たいどの整せい函数かんすうが存在そんざいすることが示しめせるが、そのような場合ばあいは増大ぞうだい度どが奇数きすうの偶整函数かんすうに対たいしては起おこらない。（校正こうせい意見いけん：この最後さいごの文ぶんは数学すうがく的てき論理ろんりがおかしい。）

整せい函数かんすうと角かく

命題めいだい

増大ぞうだい度ど ρろー > 1/2 の整せい函数かんすうは πぱい(2 − 1/ρろー) より大おおきい角度かくどを持もつ任意にんいの角かくにおいて増大ぞうだい度ど ρろー である。

フランスの数学すうがく者しゃ Milloux は1924年ねんに受理じゅりされた修士しゅうし論文ろんぶんにおいて、「充填じゅうてん円えん」(cercles de remplissages) と呼よばれる特定とくていの円えんを定義ていぎした。それは以下いかのような形かたちで述のべられる:

定理ていり (Milloux)

f(z) は整せい函数かんすう、1 > εいぷしろん >0 は望のぞむだけ小ちいさいとして、${\textstyle A(r)=(\ln M(r))^{1-\epsilon }}$ および ${\textstyle q(r)={\frac {\epsilon }{6}}\ln \ln M(r)}$ と置おく。ここで r は十分じゅうぶん大おおきく ${\textstyle \ln \ln M(r)>343/\varepsilon }$ が成立せいりつするようにとると、f(z) は以下いかの二ふたつの性質せいしつのうち一ひとつを満足まんぞくする:

• 中央ちゅうおう円周えんしゅうが |z| = r の幅はば πぱいr/q(r) の球たま冠かんむりにおいて、不等式ふとうしき ${\textstyle \ln |f(z)|>A(r)}$ が成なり立たつ;
• 中心ちゅうしんが円周えんしゅう |z| = r 上うえにある半径はんけい 8πぱいr/q(r) の円えん（これを充填じゅうてん円えんと呼よぶ）が少すくなくとも一ひとつ存在そんざいして、その円上えんじょうで函数かんすう f(z) は絶対ぜったい値ち A(r) 以下いかの値ねを一ひとつの値ね a(r) の近傍きんぼうを除のぞいて全すべてとる。この近傍きんぼうは a(r) を中心ちゅうしんとする半径はんけい 2/A(r) の円えんに含ふくまれる。

この充填じゅうてん円えんは方程式ほうていしき f(z) = a の解かいの決定けっていに有用ゆうようである。

零れい点てん

整せい函数かんすう補間ほかん

整せい函数かんすうの増大ぞうだい度どに制約せいやくを設もうけないならば、その整せい函数かんすうは集積しゅうせき点てんを持もたない集合しゅうごう（例たとえば整数せいすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう）U 上うえの任意にんいに固定こていした値ねをとることができる。い換いかえれば、(a_n)_n∈N が触さわ値ねを持もたない複素数ふくそすう値ちの単たん射い数列すうれつで、(z_n)_n∈Nを任意にんいの値ねを持もつ複素ふくそ数列すうれつとすれば、整せい函数かんすう f が存在そんざいして f(a_n) = z_n (∀n ∈ N) とできる。

この結果けっかは、ラグランジュ補間ほかんの類似るいじであり、ヴァイヤシュトラスの因数いんすう分解ぶんかい定理ていりおよびミッタク＝レフラーの定理ていりの帰結きけつである。さらに言いえば、そのような函数かんすう二ふたつの差さは U 上うえで消きえている整せい函数かんすうとなり、以下いかの段落だんらくの定理ていりを適用てきようすることができる。

定理ていり

複素ふくそ変数へんすう s の函数かんすう f を級数きゅうすう f(s) ≔ ∑
n f_n(s) で定義ていぎし、それが絶対ぜったい収束しゅうそくであると仮定かていする。R が n を動うごかすとき f_n(s) の引数ひきすうの変動へんどうが πぱい より小ちいさいような複素数ふくそすう平面へいめん上じょうの領域りょういきとすれば、函数かんすう f はその領域りょういき R の外側そとがわでのみ消きえる。

代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりの帰結きけつとして次数じすう n の多項式たこうしきは複素ふくそ平面へいめん C においてちょうど n 個この零れい点てんを持もつから、多項式たこうしきは零れい点てんを多おおく持もつとそれだけ増大ぞうだい度どもより速はやくなる。このことは整せい函数かんすうにおいても同様どうようであるが、より複雑ふくざつである。整せい函数かんすうの増大ぞうだい度どと零れい点てん分布ぶんぷの間あいだの関係かんけいとして

定理ていり

有限ゆうげん増ぞう大度たいど ρろー および精密せいみつ増ぞう大度たいど ρろー(r) の函数かんすうが、絶対ぜったい値ち r 以下いかの零れい点てんを n(r) 個こ持もつとすれば、不等式ふとうしき $$n(r)<\left(1+o(1)\right)\rho \,e\,r^{\rho (r)}$$ が成なり立たつ

は、整せい函数かんすう論ろんの主しゅ定理ていりの一ひとつに挙あげられる。

イェンゼンの公式こうしきは、それを陽ひに述のべなくとも、整せい函数かんすう論ろんの一部いちぶを成なすものである。それは例たとえばグリーンの公式こうしきから示しめされる。

与あたえられた函数かんすうが a_k に零れい点てんを持もち、r < ρろー の円えん板ばん上じょうに極きょくを持もたないとして、x ≔ re^iφふぁい とおくと $$\ln |f(re^{i\varphi })|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln |f(\rho e^{iu})|{\frac {(\rho ^{2}-r^{2})}{\rho ^{2}+r^{2}-2r\rho \cos(u-\varphi )}}du-\sum _{k}\ln \left|{\frac {\rho ^{2}-{\bar {a_{k}}}x}{\rho (x-a_{k})}}\right|$$ が成なり立たつ。これをポワソン–イェンゼンの公式こうしきという。ここからイェンゼンの公式こうしき:

命題めいだい (Jensen)

解析かいせき函数かんすう f が円えん板ばん |z| < r の内部ないぶに零れい点てん a₁, a₂, …, a_n を持もつならば $$\ln |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\ln \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln |f(re^{i\theta })|d\theta$$ が成なり立たつ。

が導みちびかれる。この公式こうしきにより、零れい点てんの個数こすうと整せい函数かんすうの増大ぞうだい度どを結むすびつけることが可能かのうである。すなわち、f(s) が整せい函数かんすうで、その任意にんいの零れい点てん a_k が半径はんけい r の円えん板いた内ないに含ふくまれるとき、絶対ぜったい値ちが x 以下いかの零れい点てんの個数こすうを n(x) と書かけば、$$\sum _{k}\ln {\frac {r}{|a_{k}|}}=\int _{0}^{r}n(u){\frac {du}{u}}(=:W(r))$$ が成なり立たち、したがって 0 において非ひ零れいな整せい函数かんすうに対たいして、イェンゼンの公式こうしきを $$W(r)+\ln |f(0)|<\ln M(r)$$ の形かたちで与あたえることができる。有限ゆうげん増ぞう大度たいど ρろー の整せい函数かんすうに対たいしては　n(r) < r^{ρろー+εいぷしろん} が示しめせる。

級数きゅうすう ${\textstyle \sum _{k}|a_{k}|^{-\tau }}$ は τたう > ρろー に対たいして収束しゅうそくし、この級数きゅうすうが収束しゅうそくするような最小さいしょうの τたう の値ねを、これら零れい点てん列れつの（ボレルの）実じつ位い数すう (ordre réel) または収束しゅうそく冪べき数すう (exposant de convergence) と言いう。そのとき以下いかのボレルの定理ていりが成なり立たつ:

定理ていり (Borel)

整せい函数かんすうの零れい点てん列れつの収束しゅうそく冪べき数すうはその整せい函数かんすうの増大ぞうだい度ど以上いじょうである。

種たね数すう

整せい函数かんすう f が種たね数すう p であるとは、ラゲールによれば、それが ${\textstyle f(z)=e^{Q(z)}P(z)}$ または ${\textstyle f(z)=z^{s}e^{Q(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)e^{({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {z^{2}}{2a_{n}^{2}}}+\dots +{\frac {z^{p}}{pa_{n}^{p}}})}}$ の形かたちに書かけて、かつ p − 1 に対たいしては同様どうようの形かたちに書かけない場合ばあいであることを言いう。ただし、Q は次数じすうが高々たかだか p の多項式たこうしきであり、P は任意にんいの多項式たこうしきであり、無限むげん積せきはヴァイヤシュトラスの積せきであるとする。

収束しゅうそく冪べき数すうを上うえから抑おさえる最小さいしょうの整数せいすうも函数かんすうの「種たね数すう」と呼よばれる。

種たね数すうはラゲールの公式こうしきによって決定けっていできる:

定理ていり (Laguerre)

整せい函数かんすう f が種たね数すう n であるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは |s| を無限むげん大だいに飛とばす極限きょくげんで ${\textstyle s^{n}{\frac {f'(s)}{f(s)}}}$ が一様いちように 0 に収束しゅうそくすることである。

種たね数すうの概念がいねんに注意深ちゅういぶかくなりすぎる必要ひつようはない。リンデレーフは函数かんすう $$f(z)=\prod _{n=2}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n(\ln n)^{\alpha }}}\right)\quad (1<\alpha <2)$$ は増大ぞうだい度ど 1 かつ種たね数すう 0 だが、f(z) − 1 は種たね数すう 1 となることを示しめした。同様どうように f(z) + f(−z) は種たね数すう 1 だが f′(z) は種たね数すう 0 となる。しかしヴァリロンは以下いかの定理ていりを証明しょうめいした:

定理ていり (Valiron)

f が種たね数すう n の函数かんすうであるとき、高々たかだか一ひとつの値ねを除のぞく任意にんいの a に対たいして、函数かんすう f − a は、やはり種たね数すう n である。

Dans ses investigations sur les fonctions entières à la suite du mémoire fondateur de Weierstrass, エドモン・ラゲールは

定理ていり (Laguerre)

整せい函数かんすう f が任意にんいの実じつ引数ひきすうにおいて零れい点てんを持もち、その導しるべ函数かんすうもそうであるならば、f の種たね数すうは 0 または 1 である

ことを示しめした。（※校正こうせい意見いけん、この定理ていり(Laguerre)の記述きじゅつは意味いみが不明ふめいである）

漸近ぜんきん値ち

「定数ていすうでない整せい函数かんすうが、適当てきとうな領域りょういきにおいて有限ゆうげんな漸近ぜんきん値ちをもつことがあるか、常つねに有限ゆうげんな極限きょくげんを持もつかの何いずれであるか」を問題もんだいにすることができる。リウヴィルの定理ていりにより、任意にんいの方向ほうこうにおいて有限ゆうげんな漸近ぜんきん値ちを持もつということが不可能ふかのうであることは既知きちである。 f が漸近ぜんきん値ちを許ゆるすとは、適当てきとうな方向ほうこうの経路けいろが存在そんざいして s がその経路けいろに沿そって無限むげん大だいに発散はっさんするとき f(s) が値ね a に収束しゅうそくするときに言いう（そのような経路けいろは「a の決定けってい路ろ」(chemin de détermination a) と呼よぶ）。したがって定数ていすうでない任意にんいの整せい函数かんすうは、少すくなくとも一ひとつ ∞ の決定けってい路ろを持もつ。

増大ぞうだい度どが 1/2 より小ちいさい整せい函数かんすう f に対たいしては、原点げんてん中心ちゅうしんかつ半径はんけいが限かぎりなく大おおきくなる無限むげん個この円えんが存在そんざいして、その上うえでの f の最小さいしょう絶対ぜったい値ちは無限むげん大だいに発散はっさんする。したがって、増大ぞうだい度どが 1/2 より小ちいさい整せい函数かんすうに対たいしては、有限ゆうげんな漸近ぜんきん値ちは存在そんざいしない。実じつはワイマンは以下いかの定理ていりを示しめした:

定理ていり (Wiman)

増大ぞうだい度ど ρろー < 1/2 かつ精密せいみつ増ぞう大度たいど ρろー(r) の整せい函数かんすう f に対たいして、εいぷしろん > 0 は任意にんいとして、不等式ふとうしき ${\textstyle \ln |f(s)|>(\cos(\pi \rho )-\epsilon )r^{\rho (r)}}$ が、無限むげん大だいに発散はっさんする半はん直線ちょくせんに沿そって分布ぶんぷする無限むげん個この円上えんじょうで成なり立たつ。したがって、それらの円上えんじょうで $$\ln |f(s)|>(\cos(\pi \rho )-\epsilon )\ln M(r)$$ である。

いま、整せい函数かんすうが二ふたつの値ね a, b の決定けってい路ろを持もつとすれば、それら二ふたつの決定けってい路ろに挟はさまれた領域りょういきに ∞ の決定けってい路ろが存在そんざいするか、あるいは a = b であって二ふたつの決定けってい路ろに挟はさまれた無限むげん大だいへ向むかう任意にんいの経路けいろが a（したがって b）の決定けってい路ろとなる。

ダンジョワは有限ゆうげん増ぞう大度たいど ρろー の整せい函数かんすうは高々たかだか 2ρろー 個この漸近ぜんきん値ちを持もつと予想よそうした。この予想よそうはアールフォルスの定理ていりとなった。

したがって、0 から無限むげん大だいを結むすぶ異ことなる漸近ぜんきん値ちを導みちびく直線ちょくせんが ρろー 本ほんよりも多おおく存在そんざいすることは不可能ふかのうである。結果けっかとしてそのような二に直線ちょくせんのなす角かくは πぱい/ρろー 以上いじょうである。

フラグメン–リンデレーフの指示しじ函数かんすう

有限ゆうげん増ぞう大度たいど整せい函数かんすうの増大ぞうだい度ど ρろー の定義ていぎとフラグメン–リンデレーフの原理げんりの示唆しさするところにより、ひとつの半はん直線ちょくせん上じょうの増大ぞうだいはその近傍きんぼうにある直線ちょくせん上じょうのそれに影響えいきょうされるのだから、函数かんすう $$h(\theta )=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left|f(re^{i\theta })\right|}{r^{\rho }}}\quad (\theta \in [-\pi ,\pi ])$$ を調しらべることには意義いぎがある。この函数かんすう h(θしーた) をフラグメン–リンデレーフの指示しじ函数かんすうと呼よぶ。この函数かんすうは周期しゅうきが 2πぱい の周期しゅうき函数かんすうで、実じつ数値すうち以外いがいに −∞ または +∞ も値ねとして取とりうる。これに関かんして

f は増大ぞうだい度ど ρろー の整せい函数かんすうで、h(θしーた) は上記じょうきの指示しじ函数かんすうとする。h が閉区間あいだ [a, b] 上うえ有限ゆうげんならば、任意にんいの εいぷしろん₀ に対たいし r₀ = r₀(εいぷしろん) が存在そんざいして、r > r₀ ならば必かならず$$\ln \left|f(re^{i\theta })\right|<r^{\rho }\left(h(\theta )+\epsilon \right)$$ が (a, b) の任意にんいの小しょう区間くかんに関かんして一様いちように成なり立たつ。

が言いえる。したがって同おなじ仮定かていのもとで

h(θしーた) > 0 となる任意にんいの小しょう区間くかんは πぱい/ρろー より大おおきい長ながさを持もち、h(θしーた) < 0 となる任意にんいの小しょう区間くかんの長ながさは πぱい/ρろー 以下いかである。さらに言いえば、h(θしーた) < 0 となる任意にんいの小しょう区間くかんは h(θしーた) = 0 なる点てんと h(θしーた) > 0 となる任意にんいの区間くかんから得えられる。

「整せい函数かんすうが可算かさん集合しゅうごう上じょうでとる値ねから一意いちいに決定けっていされることが保証ほしょうされる条件じょうけんはあるか」という問といは自然しぜんである。集合しゅうごうをこのように制限せいげんしない場合ばあいには、この問といはアプリオリに否決ひけつされるものと思おもわれ、実際じっさい成なりたないことが示しめせる。この種たねの問といにおいて、カールソンの結果けっかは tout un pan de recherche に起源きげんを持もつ。それは以下いかのように述のべられる:

定理ていり (Carlson)

増大ぞうだい度ど 1 かつ型かた σしぐま_f < πぱい の整せい函数かんすう f は n = 1, 2, … に対たいする函はこ数値すうち f(n) によって完全かんぜんに決定けっていされる。さらに言いえば、型かたが ln 2 よりも真しんに小ちいさいならば $$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {z(z-1)\ldots (z-n+1)}{n!}}(\Delta ^{n}f)(0)}$$ と書かける。

証明しょうめいにはフラグメン–リンデレーフの指示しじ函数かんすうを用もちいる。

ポーヤの定理ていり

整せい函数かんすうが適当てきとうな集合しゅうごう上じょうで整数せいすう値ちをとるという条件じょうけんは、その増大ぞうだいに制限せいげんを課かす。Pólya (1915) は例たとえば以下いかの定理ていりを証明しょうめいした:

定理ていり (Pólya)

f は非負ひふ整数せいすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう上じょうで整数せいすう値ちをとる整せい函数かんすうとする。$$\limsup _{r\to \infty }{\frac {M_{f}(r)}{2^{r}}}<1$$ ならば f は多項式たこうしきである。

い換いかえれば、自然しぜん数すう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう上じょうで整数せいすう値ちをとる多項式たこうしきでない整せい函数かんすうとして（増大ぞうだい度どの意味いみで）最小さいしょうのものは、函数かんすう 2^s である。

この結果けっかは幾何きか数列すうれつ上じょう整数せいすう値ちをとる整せい函数かんすうに対たいするものに一般いっぱん化かできる。

クラフト–ブルメンタール理論りろん

増大ぞうだい度どが有限ゆうげんでない整せい函数かんすうは無限むげん増ぞう大度たいどであるという。有限ゆうげん増ぞう大度たいど ρろー の場合ばあいには、エミール・ボレルにより「その上うえで増大ぞうだい度どが exp(r^ρろー) となる半径はんけい r の円えんが無限むげん個こ存在そんざいするならば、それら以外いがいの無限むげん個この円上えんじょうで増大ぞうだい度どが著いちじるしく低ひくくなることが起おこり得える」（そのような整せい函数かんすうは異常いじょう増大ぞうだい (irregular growth) であるという）という言及げんきゅうがかなり早はやい時期じきに与あたえられているが、同おなじ現象げんしょうは無限むげん増ぞう大度たいどの場合ばあいにも存在そんざいする。

そのような理論りろんは、整せい函数かんすうの型かたの存在そんざいと公式こうしき ${\textstyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|=e^{r^{\rho (r)}}}$ に従したがって与あたえられる増大ぞうだい度ど ρろー = ρろー(r) に基もとづく。

整せい函数かんすう論ろんの応用おうよう

整せい函数かんすう論ろんは、リウヴィルの定理ていりにより、代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりのシンプルでエレガントな証明しょうめいを可能かのうにする。

増大ぞうだい度どが整数せいすうでない整せい函数かんすうは無限むげん個この零れい点てんを持もつという性質せいしつにより、リーマンゼータ函数かんすうが 0 < ℜe(z) < 1 に無限むげん個この零れい点てんを持もつことの証明しょうめいにも整せい函数かんすう論ろんはあらわれる。

二ふたつの整せい函数かんすうの商しょうである有理ゆうり型がた函数かんすうの研究けんきゅうにも整せい函数かんすう論ろんは応用おうようされる。有理ゆうり型がた函数かんすうはさまざまな微分びぶん方程式ほうていしきに関かんする問題もんだいに自然しぜんにあらわれる。

整せい函数かんすうや有理ゆうり型がた函数かんすうに対たいする方法ほうほう論ろんは、より複雑ふくざつな（複数ふくすうの変数へんすうなどに関かんする……）解析かいせき函数かんすうの研究けんきゅうに対たいする重要じゅうような示唆しさや直観ちょっかんの源みなもとを与あたえるものでもある。

参考さんこう文献ぶんけん

• Boas, Ralph P. (1954), Entire Functions, Pure and applied mathematics, 5, New York: Academic Press, ISBN 978-0121081508, OCLC 847696, https://books.google.co.jp/books?id=MVk5jCQVuiYC 

関連かんれん文献ぶんけん

• Barnes, Ernest W. (1902), “A memoir of integral functions”, philosophical transactions of the royal society of London, series A 199: 411–500 
• Borel, Émile (1900), Leçons sur les fonctions entières, Paris: Gauthier-Villars, JFM 31.0392.02 
• Blumenthal, Otto (1910), Principes de la théorie des fonctions entières d’ordre infini., Paris: Gauthier-Villars., JFM 41.0462.01 
• Levin, Boris Yakovlevich (1996), Lectures on entire functions, Translations of Mathematical Monographs, 150, American Mathematical Soc., ISBN 9780821808979 
• Nevanlinna, Rolf H. (1929), Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes, Collection de Monographies sur la Théorie des Fonctions sous la direction de Emile Borel, Paris: Gauthier-Villars, OCLC 432684946 
• Valiron, G. (1932), “Fonctions convexes et fonctions entières”, Bulletin de la Société Mathématique de France 60: 278-287, http://www.numdam.org/article/BSMF_1932__60__278_0.pdf 
• Valiron, G. (1914), Sur les fonctions entières d’ordre nul et d’ordre fini et en particulier les fonctions à correspondance régulière, Thèses de l’entre-deux-guerres, http://www.numdam.org/article/THESE_1914__4__1_0.pdf 
• Valiron, G. (1960), Fonctions entières d'ordre fini et fonctions méromorphes, Monographie ... de l'Enseignement mathématique, 8, Inst. de Mathématiques, Univ., https://books.google.co.jp/books?id=FNvuAAAAMAAJ 
• Valiron, G. (1949). Lectures on the general theory of integral functions. Chelsea Publishing. https://books.google.co.jp/books?id=KqgrAAAAYAAJ 
• Valiron, G. (1925), Fonctions entières et fonctions méromorphes d’une variable, Mémorial des sciences mathématiques, fascicule, 2, Paris: Gauthier-Villars, http://www.numdam.org/issue/MSM_1925__2__1_0.pdf 

外部がいぶリンク

• entire function in nLab
• Weisstein, Eric W. "Entire Function". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Entire Function - PlanetMath.（英語えいご）
• Definition:Entire Function at ProofWiki
• Leont'ev, A.F. (2001), “Entire function”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Entire_function 
• https://kotobank.jp/word/seikansu