調和ちょうわ関数かんすう

数学すうがくにおける調和ちょうわ関数かんすう（ちょうわかんすう、英えい: harmonic function）は、ラプラス方程式ほうていしきを満足まんぞくする二に回かい連続れんぞく的てき微分びぶん可能かのうな関数かんすうのことをいう。

調和ちょうわ関数かんすうに関かんする重要じゅうような問題もんだいはディリクレ問題もんだいである。ディリクレ問題もんだいの解決かいけつ方法ほうほうにはいくつかあるが、その中なかでも重要じゅうような一般いっぱん的てき方法ほうほうはディリクレの原理げんりである。

20世紀せいきには、ウィリアム・ホッジ、ジョルジュ・ド・ラーム、小平こだいら邦彦くにひこらが調和ちょうわ積分せきぶん論ろんの発展はってんの中心ちゅうしん的てきな役割やくわりを果はたした。

導入どうにゅう

物理ぶつり学がくにおいて生しょうじる調和ちょうわ函数かんすうは、その特異とくい点てんと（ディリクレ境界きょうかい条件じょうけんやノイマン境界きょうかい条件じょうけんなどの）境界きょうかい条件じょうけんによって決定けっていされる。さらに、境界きょうかいのない領域りょういき上じょうでは任意にんいの整せい函数かんすうの実じつ部ぶまたは虚きょ部ぶが同おなじ特異とくい点てんを持もつ調和ちょうわ函数かんすうを与あたえるから、この場合ばあい調和ちょうわ函数かんすうをその特異とくい点てんのみで決定けっていすることはできないが、物理ぶつり学がく的てきな要請ようせいとして解かいは無限むげん遠とおにおいて消きえるものと仮定かていすれば、やはり一意的いちいてきな解かいを得えることができる（この一意いちい性せいはリウヴィルの定理ていりによる）。

このような調和ちょうわ函数かんすうの特異とくい点てんは、電気でんき力学りきがくの言葉ことばで言いえば「電荷でんか」や「電荷でんか密度みつど」として解釈かいしゃくすることができて、対応たいおうする調和ちょうわ函数かんすうはこの電荷でんか分布ぶんぷに従したがう電位でんいに比例ひれいするものと理解りかいすることができる。またそのような函数かんすうは定数ていすう倍ばいしたり、回転かいてんしたり、定数ていすうを加くわえたりしても調和ちょうわ函数かんすうを与あたえる。調和ちょうわ函数かんすうの反転はんてん（英語えいご版ばん）もまた調和ちょうわ函数かんすうだが、特異とくい点てんはもとの函数かんすうの（球面きゅうめんに関かんする）「鏡かがみ像ぞう」に写うつる。二ふたつの調和ちょうわ函数かんすうの和わも調和ちょうわ函数かんすうである。

定義ていぎといくつかの事実じじつ

関数かんすう $f : C n (resp. R n) \to C (resp. R)$ がラプラス作用素さようそ

\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}

に対たいし、 $Δ でるた f = 0$ を満みたすとき、関数かんすう $f$ は調和ちょうわ (harmonic) である、あるいは $f$ は調和ちょうわ関数かんすうであるという。

与あたえられた領域りょういき $U$ 上うえの調和ちょうわ函数かんすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうはラプラス作用素さようそ $Δ でるた$ の核かくであり、従したがって実みベクトル空間くうかんとなる。すなわち、調和ちょうわ函数かんすうの和わ・差さ・スカラー倍ばいはまた調和ちょうわ函数かんすうになる。
領域りょういき $U$ 上うえの調和ちょうわ函数かんすう $f$ に対たいし、 $f$ の任意にんいの偏へん導しるべ函数かんすうはまた $U$ 上うえの調和ちょうわ函数かんすうである。ラプラス作用素さようそ $Δ でるた$ と偏へん微分びぶん作用素さようそ $\partial$ は調和ちょうわ函数かんすうのクラスの上うえでは可か換かわになる。
幾いくつかの意味いみにおいて、調和ちょうわ函数かんすうは正則せいそく函数かんすうの実じつ解析かいせきにおける対応たいおう物ぶつと考かんがえることができる。任意にんいの調和ちょうわ函数かんすうは実み解析かいせき的てきである（つまり局所きょくしょ的てきに冪べき級数きゅうすうによって表あらわされる）。これは楕円だえん型がた作用素さようそ（ラプラス作用素さようそはその例れいとしてよく知しられている）に関かんする一般いっぱん的てきな事実じじつである。
調和ちょうわ函数かんすうの一様いちよう極限きょくげん函数かんすうはまた調和ちょうわ函数かんすうである。これは中ちゅう間あいだ値ち性質せいしつをもつ任意にんいの連続れんぞく函数かんすうが調和ちょうわであることから分わかる。 $(-\infty, 0) \times R$ 上うえの函はこ数列すうれつを $f n (x, y) = exp(nx)cos(ny)/ n$ と定さだめればこれは一様いちように零れい函数かんすうに収束しゅうそくするが、注意ちゅういすべきはこれらの偏へん導しるべ函数かんすうの成なす列れつは（零れい函数かんすうの導しるべ函数かんすうとしての）零れい函数かんすうには一様いちよう収束しゅうそくしないことである。つまり、極限きょくげんが調和ちょうわであるというためには連続れんぞく性せいと中間なかま値ち性質せいしつの両方りょうほうを満足まんぞくすることが重要じゅうようであることを示しめしている。

性質せいしつ

以下いかでは $i$ を虚数きょすう単位たんいとして用もちいる。

複素ふくそ関数かんすうと2次元じげん調和ちょうわ関数かんすう

複素数ふくそすう $z = x + iy (x, y \in R)$ を変数へんすうとする複素ふくそ 1 変数へんすう複素ふくそ関数かんすう $f (z)$ について、これを実じつ 2 変数へんすうの関数かんすうとして書かき直なおすことができる。実じつ 2 変数へんすう複素ふくそ関数かんすう $w (x, y) = f (z)$ を、実み部ぶと虚きょ部ぶに分解ぶんかいすると $w (x, y) = u (x, y) + iv (x, y) (u, v \in R),$ 実み部ぶと虚きょ部ぶに対応たいおうする実じつ 2 変数へんすうの実じつ関数かんすうとして $u (x, y)$ と $v (x, y)$ が得えられる。このとき、 $w$ が複素ふくそ微分びぶん可能かのうであれば $u (x, y), v (x, y)$ は実じつ 2 変数へんすうの調和ちょうわ関数かんすうとなる。コーシー・リーマンの関係かんけい式しきより、2 つの関数かんすう $u (x, y), v (x, y)$ は

{\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}(x,y)={\dfrac {\partial v}{\partial y}}(x,y)\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}(x,y)=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}(x,y)\end{cases}}

を満みたすが、これをベクトル解析かいせきの言葉ことばで書かき直なおせば $grad u (x, y) = (\partial y, -\partial x) T v (x, y)$ となり、この湧わき出でし $div grad u (x, y) = Δ でるた u (x, y)$ はゼロなので、関数かんすう $u (x, y)$ は 2 次元じげんのラプラス方程式ほうていしきを満みたす調和ちょうわ関数かんすうであることが分わかる。同様どうようの方法ほうほうでまた $v (x, y)$ も調和ちょうわ関数かんすうであることが導みちびかれる。すなわち、正則せいそくな複素ふくそ関数かんすうの実み部ぶと虚きょ部ぶは実じつ調和ちょうわ関数かんすうとなる。

逆ぎゃくに、2 つの実じつ調和ちょうわ関数かんすうがコーシー・リーマンの関係かんけい式しきを満みたすとき、それらは共役きょうやくであるといい、共役きょうやくな実じつ調和ちょうわ関数かんすうの対たい $u (x, y)$ , $v (x, y)$ が与あたえられると、 $z = x + iy$ を変数へんすうとする正則せいそく関数かんすう $f (z) = u (x, y) + iv (x, y)$ が得えられる。単たん連結れんけつ領域りょういき上うえの実じつ調和ちょうわ関数かんすうは共役きょうやく調和ちょうわ関数かんすうを持もつ（すなわち正則せいそく関数かんすうの実じつ部ぶあるいは虚きょ部ぶである）。

平均へいきん値ちの性質せいしつ

$φ ふぁい (x)$ を $R n$ 内うちの領域りょういき $U$ で定義ていぎされた調和ちょうわ関数かんすうとする。このとき、ある点てん $x \in U$ における値ね $φ ふぁい (x)$ は、点てん $x$ を中心ちゅうしんとして $U$ に含ふくまれる任意にんいの半径はんけい $r$ を持もつ $(n - 1)$ -次元じげん球面きゅうめん $\partialB(x, r)$ 上うえでの $φ ふぁい$ の平均へいきん値ちに等ひとしい^[1]。すなわち、

\phi (x)={\frac {1}{\omega (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}\!\!\phi (y)dS(y)

が成なり立たつ。但ただし、 $ω おめが (n)$ は

\omega (n)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}

で与あたえられる n − 1 次元じげん単位たんい球面きゅうめんの面積めんせきである。これは調和ちょうわ関数かんすうの平均へいきん値ちの性質せいしつ (mean value property)、あるいはガウスの平均へいきん値ち定理ていり (Gauss' mean value theorem)、または単たんに調和ちょうわ関数かんすうに関かんする平均へいきん値ち定理ていり (mean value theorem for harmonic functions) と呼よばれる。この結果けっかから調和ちょうわ関数かんすう $φ ふぁい (x)$ は点てん $x$ を中心ちゅうしんとして $U$ に含ふくまれる任意にんいの半径はんけい $r$ を持もつ $n$ -次元じげん球体きゅうたい $B(x, r)$ での平均へいきんにも一致いっちする。すなわち、

\phi (x)={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x,r)}\!\!\phi (y)dy

が成なり立たつ。但ただし、 $α あるふぁ (n)$ は

\alpha (n)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}

で与あたえられる $n$ -次元じげん単位たんい球だまの体積たいせきである。

逆ぎゃくに $φ ふぁい \in C 2 (U)$ は、 $φ ふぁい (x)$ が $U$ 内うちの任意にんいの球面きゅうめん $\partial B(x, r)$ 上うえの平均へいきんと一致いっちするならば、 $φ ふぁい$ は調和ちょうわ関数かんすうとなる^[2]。

ディリクレ問題もんだいとランダムウォーカー

平均へいきん値ちの性質せいしつから、点てん $x$ における調和ちょうわ関数かんすうの値ね $φ ふぁい (x)$ は、点てん $x$ から出発しゅっぱつしたランダムウォーカーが領域りょういき $U$ の境界きょうかい $\partialU$ に到達とうたつしたとき、到達とうたつした点てんでの調和ちょうわ関数かんすうの境界きょうかい $φ ふぁい (y \in \partialU)$ の期待きたい値ちに対応たいおうしていることが分わかる。逆ぎゃくに、任意にんいのディリクレ境界きょうかい条件じょうけんに対たいして、任意にんいの点てん $x$ の調和ちょうわ関数かんすうの値ね $φ ふぁい (x)$ を見積みつもるには、 $x$ を出発しゅっぱつして到達とうたつした点てんでの境界きょうかい値ちの算術さんじゅつ平均へいきんをとればよい。

最大さいだい値ち原理げんり

詳細しょうさいは「最大さいだい値ち原理げんり」を参照さんしょう

調和ちょうわ関数かんすうの平均へいきん値ちの性質せいしつは、最大さいだい値ち（最小さいしょう値ち）に強つよい制約せいやくを課かすため、調和ちょうわ関数かんすうは領域りょういきの境界きょうかいで最大さいだい値ち（最小さいしょう値ち）をとる^[3]。正確せいかくには、 $U$ を $R n$ の有界ゆうかいな開ひらき集合しゅうごうとし、φふぁいが U 上うえの調和ちょうわ関数かんすうで、φふぁいを境界きょうかいに連続れんぞくに拡張かくちょうできるならば、

\max _{\overline {U}}\phi =\max _{\partial U}\phi

が成なり立たつ。この性質せいしつを調和ちょうわ関数かんすうの最大さいだい値ち原理げんりと呼よぶ。 $U$ が連結れんけつ開ひらけ集合しゅうごうである場合ばあいに、 $\max _{U}\phi$ が存在そんざいすれば、 $φ ふぁい$ は定数ていすう関数かんすうとなる。この性質せいしつを調和ちょうわ関数かんすうの強つよ最大さいだい値ち原理げんりと呼よぶ。

最大さいだい値ち原理げんりの直接的ちょくせつてきな応用おうようとしては、ポアソン方程式ほうていしきの境界きょうかい値ち問題もんだいにおける解かいの一意いちい性せいの証明しょうめいがある。 $R n$ の有界ゆうかいな開ひらき集合しゅうごう $U$ とその境界きょうかい $\partialU$ において、 $f \in C (U)$ と $g \in C (\partialU)$ を与あたえ、ポアソン方程式ほうていしきの境界きょうかい値ち問題もんだいを考かんがえる。この境界きょうかい値ち問題もんだいの二ふたつの解かいに対たいし、差さを取とったものは調和ちょうわ関数かんすうであり、最大さいだい値ち原理げんりより、その最大さいだい値ち、最小さいしょう値ちはゼロとなる。すなわち、二ふたつの解かいは一致いっちする。

正則せいそく性せい

調和ちょうわ関数かんすうは2階かい連続れんぞく微分びぶん可能かのう性せいのみを仮定かていしているに関かかわらず、無限むげん回かい微分びぶん可能かのうである^[4]。これは調和ちょうわ関数かんすうに球たま対称たいしょうな軟化なんか子こを作用さようさせたものが、平均へいきん値ちの性質せいしつから調和ちょうわ関数かんすう自身じしんに一致いっちすることから示しめされる。この性質せいしつは、より一般いっぱん的てきな条件じょうけんの下したでワイルの補題ほだいとして知しられる。さらに、調和ちょうわ関数かんすうは解析かいせき的てきである^[5]。

リウヴィルの定理ていり

全ちょん $R n$ 上うえで定義ていぎされた有界ゆうかいな調和ちょうわ関数かんすうは定数ていすう関数かんすうとなる^[6]。この定理ていりは、全ぜん複素ふくそ平面へいめんで正則せいそくな複素ふくそ関数かんすう（整せい関数かんすう）が有界ゆうかいならば定数ていすう関数かんすうであるという、関数かんすう論ろんにおけるリウヴィルの定理ていりの類似るいじを与あたえている。

ハルナックの不等式ふとうしき

詳細しょうさいは「ハルナックの不等式ふとうしき」を参照さんしょう

一般いっぱん化か

弱じゃく調和ちょうわ函数かんすう

詳細しょうさいは「弱じゃく調和ちょうわ函数かんすう（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

函数かんすう（あるいはより一般いっぱんにシュヴァルツ超ちょう函数かんすう）がラプラス方程式ほうていしき $Δ でるた f = 0$ の弱じゃく解かい（シュヴァルツ超ちょう函数かんすうの意味いみでの解かい）となるとき弱じゃく調和ちょうわ（英語えいご版ばん）であるという。

弱じゃく調和ちょうわ函数かんすうは殆ほとんど至いたる所ところ真しんの調和ちょうわ函数かんすうに一致いっちし、特とくに滑なめらかである。弱じゃく調和ちょうわ超ちょう函数かんすうとは、真しんの調和ちょうわ函数かんすうに同伴どうはんするシュヴァルツ超ちょう函数かんすうのことであり、従したがってこれもまた滑なめらかである。これラプラス方程式ほうていしきに関かんするワイルの補題ほだいという。

このほかにもラプラス方程式ほうていしきの弱じゃくバージョンで有用ゆうようなものがたくさんある。そういったものの一ひとつはディリクレの原理げんりで、これはソボレフ空間くうかん $H 1 (Ω おめが)$ に属ぞくする調和ちょうわ函数かんすうをディリクレエネルギー積分せきぶん

J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx

を局所きょくしょ変へん分ぶんに関かんして最小さいしょう化かするものとして表現ひょうげんする。すなわち、調和ちょうわ函数かんすう $u \in H 1 (Ω おめが)$ は、任意にんいの $v \in C \infty c (Ω おめが)$ に対たいして（あるいは同おなじことだが $v \in H 10 (Ω おめが)$ に対たいして $J (u) \leq J (u + v)$ を満みたす。

多様たよう体たい上じょうの調和ちょうわ函数かんすう

任意にんいのリーマン多様たよう体たい上うえの調和ちょうわ函数かんすうは、ラプラス・ベルトラミ作用素さようそ（英語えいご版ばん） $Δ でるた$ を用もちいて定義ていぎすることができる。すなわち、この文脈ぶんみゃくにおける函数かんすうが調和ちょうわであるとはラプラス・ベルトラミ作用素さようそに関かんする方程式ほうていしき $Δ でるた f = 0$ を満足まんぞくすることを言いう。

既すでに述のべたユークリッド空間くうかん内ないの領域りょういき上じょう定義ていぎされた調和ちょうわ函数かんすうが持もつ多おおくの性質せいしつは、このより一般いっぱんの状況じょうきょうに於おいても満足まんぞくされ、例たとえば（測地そくち的てき球体きゅうたい上じょうの）平均へいきん値ちの定理ていり、最大さいだい値ち原理げんり、ハルナックの不等式ふとうしきなどが成立せいりつする。平均へいきん値ちの定理ていりを除のぞけば、これらは二に階かいの線型せんけい楕円だえん型がた偏へん微分びぶん方程式ほうていしき一般いっぱんに対たいする対応たいおうする結果けっかの簡単かんたんな帰結きけつである。

劣れつ調和ちょうわ函数かんすう

詳細しょうさいは「劣れつ調和ちょうわ函数かんすう」を参照さんしょう

ラプラス方程式ほうていしきの代かわりに、 $Δ でるた f \geq 0$ を満足まんぞくする $C 2$ -級きゅう函数かんすうは劣れつ調和ちょうわであると言いう。この条件じょうけんのもとでも最大さいだい値ち原理げんりは保証ほしょうされるが、調和ちょうわ函数かんすうが持もつ他ほかの性質せいしつは満みたされるとは限かぎらない。より一般いっぱんに、劣れつ調和ちょうわ函数かんすうとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、定義ていぎ域内いきないの任意にんいの球体きゅうたいの内部ないぶにおいてその函数かんすうのグラフがその球体きゅうたいの境界きょうかい値ちを補間ほかんする調和ちょうわ函数かんすうのグラフの下したにあることである。

調和ちょうわ形式けいしき

詳細しょうさいは「ホッジ理論りろん」を参照さんしょう

調和ちょうわ函数かんすうに関かんする研究けんきゅうを一般いっぱん化かするものの一ひとつとして、リーマン多様たよう体たい上うえの調和ちょうわ形式けいしき及およびそれに関連かんれんしたコホモロジー論ろんがある（同様どうようにベクトル値ち調和ちょうわ函数かんすうや二ふたつのリーマン多様たよう体たい間あいだの調和ちょうわ写像しゃぞうなども定義ていぎできる）。例たとえば、リーマン多様たよう体内たいないの曲線きょくせん（つまり、実数じっすう直線ちょくせん $R$ 内うちの区間くかんからリーマン多様たよう体たいへの写像しゃぞう）が調和ちょうわとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんはそれが測地そくち的てきであることである。

滑なめらかな計量けいりょうを持もつ向むき付づけ可能かのうなコンパクト多様たよう体たい $M$ 上うえの微分びぶん作用素さようその成なすド・ラム複ふく体たい

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d_{0}}{{}\to {}}}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d_{1}}{{}\to {}}}\dotsb {\stackrel {d_{n-1}}{{}\longrightarrow {}}}\Omega ^{n}(M){\stackrel {d_{n}}{{}\to {}}}0

（ここで $Ω おめが k$ は次数じすう $k$ の滑なめらかな微分びぶん形式けいしきの層そう、 $d k$ は $Ω おめが k (M)$ 上うえの外そと微分びぶんである）に対たいして、ベクトル空間くうかんの系列けいれつ

H^{k}(M)=\ker d_{k}/\operatorname {im} d_{k-1}

はド・ラムコホモロジーと呼よばれる。 $M$ の計量けいりょうが誘導ゆうどうする内積ないせきに関かんして、外そと微分びぶん $d$ に対たいする形式けいしき的てきな随伴ずいはん作用素さようそとして余よ微分びぶん $δ でるた$ を定義ていぎすることができる。

このとき、微分びぶん形式けいしき上じょうのラプラス作用素さようそが $Δ でるた = d δ でるた + δ でるた d$ で定義ていぎされ、調和ちょうわ形式けいしきの空間くうかん

{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}

が定義ていぎされる。 $d{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=0$ であるから自然しぜんな写像しゃぞう

\varphi \colon {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M)

が存在そんざいするが、ホッジの定理ていりの第だい一部いちぶはこの $φ ふぁい$ がベクトル空間くうかんの同型どうけいとなることを述のべる。すなわち、 $M$ 上うえの各かくド・ラムコホモロジー類るいに対たいし、その代表だいひょう元もととして調和ちょうわ形式けいしきが一意的いちいてきに取とれる。

同様どうようのことは、コンパクト多様たよう体たい上じょうの楕円だえん型がた複ふく体たいに対たいして述のべられる。すなわち、楕円だえん型がた複ふく体たいのコホモロジーは調和ちょうわ切断せつだんの空間くうかんと自然しぜんに同型どうけいであり、各かくコホモロジー類るいは調和ちょうわな代表だいひょう元もとを一意いちいに持もつ。

多様たよう体たい間あいだの調和ちょうわ写像しゃぞう

詳細しょうさいは「調和ちょうわ写像しゃぞう（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

ふたつのリーマン多様たよう体たい $M, N$ に対たいし、調和ちょうわ写像しゃぞう $u : M \to N$ は、一般いっぱん化かディリクレエネルギー汎ひろし函数かんすう

D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\|du\|^{2}\,dV

の臨界りんかい点てんとして定義ていぎされる。ここで $du : TM \to TN$ は $u$ の微分びぶんであり、ノルムは $M$ および $N$ の距離きょりから誘導ゆうどうされるテンソル積せき束たば $T * M \otimes u -1 TN$ 上うえのノルムである。

上述じょうじゅつのように、これに特別とくべつの場合ばあいとして調和ちょうわ函数かんすうが含ふくまれることはディリクレの原理げんりに他たならない。

多様たよう体たい間あいだの調和ちょうわ写像しゃぞうの特別とくべつの場合ばあいとして重要じゅうようなものに極小きょくしょう曲面きょくめんがある。これは曲面きょくめんの三さん次元じげんユークリッド空間くうかんへの調和ちょうわはめ込こみ (harmonic immersion) に一致いっちする（より一般いっぱんに、極小きょくしょう部分ぶぶん多様たよう体たいは多様たよう体たいから別べつの多様たよう体たいへの調和ちょうわはめ込こみになる）。調和ちょうわ座標ざひょう系けい（英語えいご版ばん）とは、多様たよう体たいから同おなじ次元じげんのユークリッド空間くうかんの開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうへの調和ちょうわ微分びぶん同相どうしょう写像しゃぞうのことである。

脚注きゃくちゅう

^ Evans 2010, Theorem 2 (Mean-value formulas for Laplace's equation).
^ Evans 2010, Theorem 3 (Converse to mean-value property).
^ Evans 2010, Theorem 4 (Strong maximum principle).
^ Evans 2010, Theorem 6 (Smoothness).
^ Evans 2010, Theorem 10 (Analyticity).
^ Evans 2010, Theorem 8 (Liouville's Theorem).

参考さんこう文献ぶんけん

Evans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations. Graduate Students in Mathematics. 19 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4974-3

外部がいぶリンク

『調和ちょうわ関数かんすう』 - コトバンク
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Harmonic function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. "Harmonic Function". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Harmonic Function Theory by S.Axler, Paul Bourdon, and Wade Ramey

[FOOTNOTEEvans2010Theorem_2_(Mean-value_formulas_for_Laplace&#039;s_equation)-1] Evans 2010, Theorem 2 (Mean-value formulas for Laplace's equation).

[FOOTNOTEEvans2010Theorem_3_(Converse_to_mean-value_property)-2] Evans 2010, Theorem 3 (Converse to mean-value property).

[FOOTNOTEEvans2010Theorem_4_(Strong_maximum_principle)-3] Evans 2010, Theorem 4 (Strong maximum principle).

[FOOTNOTEEvans2010Theorem_6_(Smoothness)-4] Evans 2010, Theorem 6 (Smoothness).

[FOOTNOTEEvans2010Theorem_10_(Analyticity)-5] Evans 2010, Theorem 10 (Analyticity).

[FOOTNOTEEvans2010Theorem_8_(Liouville&#039;s_Theorem)-6] Evans 2010, Theorem 8 (Liouville's Theorem).

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