数学 すうがく ハルナックの不等式 ふとうしき （ハルナックのふとうしき、英 えい Harnack's inequality ）とは、ある正 せい 調和 ちょうわ 函数 かんすう 二 に 点 てん 値 ね 関連付 かんれんづ 不等式 ふとうしき A. Harnack (1887 )導入 どうにゅう J. Serrin (1955 )J. Moser (1961 , 1964 )不等式 ふとうしき 楕円 だえん 型 がた 放 ひ 物 もの 型 がた 偏 へん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 解 かい 一般 いっぱん 化 か ポアンカレ予想 よそう に対 たい グリゴリー・ペレルマン の解法 かいほう R. Hamilton (1993 )発見 はっけん リッチフロー に対 たい 不等式 ふとうしき 変形 へんけい 版 ばん 用 もち 不等式 ふとうしき 調和 ちょうわ 函数 かんすう 列 れつ 収束 しゅうそく 関 かん ハルナックの定理 ていり を証明 しょうめい 用 もち 不等式 ふとうしき 偏 へん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 弱 じゃく 解 かい 内部 ないぶ 正則 せいそく 性 せい 示 しめ 使 つか
ハルナックの不等式 ふとうしき は R n 内 うち x 0 を中心 ちゅうしん 半径 はんけい R の閉球上 じょう 定義 ていぎ 非負 ひふ 函数 かんすう f に対 たい 適用 てきよう f がその閉球上 じょう 連続 れんぞく 内部 ないぶ 調和 ちょうわ 的 てき x - x 0 | = r < R を満 み 任意 にんい 点 てん x に対 たい 次 つぎ 成 な 立 た
1
−
(
r
/
R
)
[
1
+
(
r
/
R
)
]
n
−
1
f
(
x
0
)
≤
f
(
x
)
≤
1
+
(
r
/
R
)
[
1
−
(
r
/
R
)
]
n
−
1
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle \displaystyle {{1-(r/R) \over [1+(r/R)]^{n-1}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}}
n = 2 の場合 ばあい 平面 へいめん R 2 に対 たい 不等式 ふとうしき 次 つぎ 書 か 換 か
R
−
r
R
+
r
f
(
x
0
)
≤
f
(
x
)
≤
R
+
r
R
−
r
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0}).}
R
n
{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
内 うち 一般 いっぱん 領域 りょういき
Ω おめが
{\displaystyle \Omega }
対 たい 不等式 ふとうしき 次 つぎ
ω おめが
{\displaystyle \omega }
ω おめが ¯
⊂
Ω おめが
{\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }
満 み 有界 ゆうかい 領域 りょういき 次 つぎ 満 み 定数 ていすう
C
{\displaystyle C}
存在 そんざい
sup
x
∈
ω おめが
u
(
x
)
≤
C
inf
x
∈
ω おめが
u
(
x
)
.
{\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x).}
ただし
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
任意 にんい 二 に 回 かい 微分 びぶん 可能 かのう 非負 ひふ 調和 ちょうわ 函数 かんすう 定数 ていすう
C
{\displaystyle C}
u
{\displaystyle u}
独立 どくりつ 定義 ていぎ 域 いき 依存 いぞん
球 たま 内 ない 不等式 ふとうしき 証明 しょうめい [ 編集 へんしゅう ] ポアソンの公式 こうしき より、
f
(
x
)
=
1
ω おめが
n
−
1
∫
|
y
−
x
0
|
=
R
R
2
−
r
2
R
|
x
−
y
|
n
⋅
f
(
y
)
d
y
{\displaystyle \displaystyle {f(x)={1 \over \omega _{n-1}}\int _{|y-x_{0}|=R}{R^{2}-r^{2} \over R|x-y|^{n}}\cdot f(y)\,dy}}
が成立 せいりつ ω おめが n − 1R n 内 うち 単位 たんい 球面 きゅうめん 面積 めんせき r = |x - x 0 | である。
今 いま
R
−
r
≤
|
x
−
y
|
≤
R
+
r
{\displaystyle \displaystyle {R-r\leq |x-y|\leq R+r}}
であるため、上 うえ 被 ひ 積分 せきぶん 函数 かんすう 中 なか 核 かく 次 つぎ 不等式 ふとうしき 評価 ひょうか 満 み
R
−
r
R
(
R
+
r
)
n
−
1
≤
R
2
−
r
2
R
|
x
−
y
|
n
≤
R
+
r
R
(
R
−
r
)
n
−
1
.
{\displaystyle \displaystyle {{R-r \over R(R+r)^{n-1}}\leq {R^{2}-r^{2} \over R|x-y|^{n}}\leq {R+r \over R(R-r)^{n-1}}.}}
この不等式 ふとうしき 上述 じょうじゅつ 積分 せきぶん 代入 だいにゅう 調和 ちょうわ 函数 かんすう 球面 きゅうめん 平均 へいきん 球面 きゅうめん 中心 ちゅうしん 函数 かんすう 値 ね 等 ひと
f
(
x
0
)
=
1
R
n
−
1
ω おめが
n
−
1
∫
|
y
−
x
0
|
=
R
f
(
y
)
d
y
{\displaystyle \displaystyle {f(x_{0})={1 \over R^{n-1}\omega _{n-1}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy}}
という事実 じじつ 用 もち 不等式 ふとうしき 示 しめ
楕円 だえん 型 がた 偏 へん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 対 たい 不等式 ふとうしき 連結 れんけつ 開 ひらけ 領域 りょういき 内 ない 正 せい 解 かい 上限 じょうげん 下限 かげん 汎 ひろし 函数 かんすう 含 ふく 項 こう 和 わ 定数 ていすう 掛 か 上 うえ 評価 ひょうか
sup
u
≤
C
(
inf
u
+
|
|
f
|
|
)
{\displaystyle \sup u\leq C(\inf u+||f||)}
が成 な 立 た 定数 ていすう 方程式 ほうていしき 楕円 だえん 度 ど 連結 れんけつ 開 ひらけ 領域 りょういき 依存 いぞん
熱 ねつ 方程式 ほうていしき 線型 せんけい 放 ひ 物 もの 型 がた 偏 へん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 対 たい 不等式 ふとうしき 存在 そんざい
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
内 うち 滑 なめ 領域 りょういき 次 つぎ 線型 せんけい 放 ひ 物 もの 型 がた 作用素 さようそ 考 かんが
L
u
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
(
t
,
x
)
∂
2
u
∂
x
i
∂
x
j
+
∑
i
=
1
n
b
i
(
t
,
x
)
∂
u
∂
x
i
+
c
(
t
,
x
)
u
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u.}
ここで各 かく 係数 けいすう 滑 なめ 有界 ゆうかい 行列 ぎょうれつ
(
a
i
j
)
{\displaystyle (a_{ij})}
正 せい 定値 ていち
u
(
t
,
x
)
∈
C
2
(
(
0
,
T
)
×
M
)
{\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})}
不等式 ふとうしき
∂
u
∂
t
−
L
u
≥
0
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u\geq 0}
および
u
(
t
,
x
)
≥
0
{\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0}
を満 み
(
0
,
T
)
×
M
{\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}}
内 うち 解 かい
K
{\displaystyle K}
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
部分 ぶぶん 空間 くうかん
τ たう ∈
(
0
,
T
)
{\displaystyle \tau \in (0,T)}
選 えら
K
{\displaystyle K}
τ たう
{\displaystyle \tau }
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
係数 けいすう 依存 いぞん 定数 ていすう
C
>
0
{\displaystyle \quad C>0}
存在 そんざい 各 かく
t
∈
(
τ たう ,
T
)
{\displaystyle \quad t\in (\tau ,T)}
対 たい 次 つぎ 成立 せいりつ
sup
K
u
(
t
−
τ たう ,
⋅
)
≤
C
inf
K
u
(
t
,
⋅
)
.
{\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).\,}
Caffarelli, Luis A.; Xavier Cabre (1995), Fully Nonlinear Elliptic Equations , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 31–41, ISBN 0-8218-0437-5 Folland, Gerald B. (1995), Introduction to partial differential equations (2nd ed.), Princeton University Press , ISBN 0-691-04361-2 Gilbarg, David; Neil S. Trudinger (1988), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order , Springer, ISBN 3-540-41160-7 Hamilton, Richard S. (1993), “The Harnack estimate for the Ricci flow”, Journal of Differential Geometry 37 (1): 225–243, ISSN 0022-040X , MR 1198607 Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene , https://archive.org/details/vorlesunganwend00weierich John, Fritz (1982), Partial differential equations , Applied Mathematical Sciences, 1 (4th ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 Kamynin, L.I. (2001), “Harnack theorem” , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Harnack_theorem Kamynin, L.I.; Kuptsov, L.P. (2001), “Harnack inequality” , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Harnack_inequality Moser, Jürgen (1961), “On Harnack's theorem for elliptic differential equations”, Communications on Pure and Applied Mathematics 14 (3): 577–591, doi :10.1002/cpa.3160140329 , MR 0159138 Moser, Jürgen (1964), “A Harnack inequality for parabolic differential equations”, Communications on Pure and Applied Mathematics 17 (1): 101–134, doi :10.1002/cpa.3160170106 , MR 0159139 Serrin, James (1955), “On the Harnack inequality for linear elliptic equations”, Journal d'Analyse Mathématique 4 (1): 292–308, doi :10.1007/BF02787725 , MR 0081415 L. C. Evans (1998), Partial differential equations . American Mathematical Society, USA. For elliptic PDEs see Theorem 5, p. 334 and for parabolic PDEs see Theorem 10, p. 370. 
![{\displaystyle \displaystyle {{1-(r/R) \over [1+(r/R)]^{n-1}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7262549bdfc40c3bb75e1c1868683aaaa3e2d524)
