ベール空間くうかん

数学すうがくの位相いそう空間くうかん論ろんにおけるベール空間くうかん（ベールくうかん、英えい: Baire space）は、直観ちょっかん的てきには非常ひじょうの大おおきくてある種しゅの極限きょくげん操作そうさを行おこなうのに「十じゅう分ふん多おおくの」点てんを持もつような位相いそう空間くうかんである。名称めいしょうはこの概念がいねんを導入どうにゅうしたルネ＝ルイ・ベールに由来ゆらいする。

動機どうき

勝手かってな位相いそう空間くうかんにおいて、内うち点てんを持もたない閉集合しゅうごうのクラスはちょうど稠密ちゅうみつ開ひらけ集合しゅうごうの境界きょうかいを成なしており、これらの集合しゅうごうはある意味いみで「無視むしできる」。いくつか例れいを挙あげれば、有限ゆうげん集合しゅうごう、平面へいめん内ないの滑なめらかな曲線きょくせん、ユークリッド空間くうかん内うちの真しんのアフィン部分ぶぶん空間くうかんなどがそれにあたる。位相いそう空間くうかんがベール空間くうかんであるというのは、それが「十分じゅうぶん大おおきい」こと、つまりは無視むしできる集合しゅうごうの可算かさん個この合併がっぺいになっていないことを意味いみする。例たとえば、三さん次元じげんユークリッド空間くうかんはその中なかの可算かさん個このアフィン平面へいめんの合併がっぺいになってはいない。

定義ていぎ

ベール空間くうかんの詳くわしい定義ていぎは、主おもにその時々ときどきに支配しはい的てきだった需要じゅようと観点かんてんに起因きいんして、時代じだいとともに少すこしずつ変化へんかしてきた。まずは、よくある現代げんだい的てき定義ていぎを述のべ、そのあとベールが与あたえたオリジナルの定義ていぎにより近ちかい歴史れきし的てき定義ていぎを挙あげる。

現代げんだい的てき定義ていぎ

位相いそう空間くうかんがベール空間くうかんであるとは、内部ないぶが空そらであるような閉集合しゅうごうからなる任意にんいの可算かさん族ぞくの合併がっぺいは必かならず内部ないぶが空そらになるときに言いう。

この定義ていぎは以下いかのように同値どうちな条件じょうけんでい換いかえることもできる。

可算かさん個この稠密ちゅうみつ開ひらけ集合しゅうごうの交まじわりは必かならず稠密ちゅうみつになる。
可算かさん個この疎うと閉集合しゅうごうの合併がっぺいの内部ないぶは必かならず空そらになる。
X の可算かさん個この閉集合しゅうごうの合併がっぺいが内うち点てんを持もつ限かぎり常つねに、それら閉集合しゅうごうの中なかに内うち点てんを持もつものがある。

歴史れきし的てき定義ていぎ

詳細しょうさいは「第だい一類いちるい集合しゅうごう」を参照さんしょう

ベールのオリジナルの定義ていぎでは、範疇はんちゅうの概念がいねんが以下いかのように定義ていぎされた。

位相いそう空間くうかん X の部分ぶぶん集合しゅうごうが、

X において疎うとあるいは至いたる所ところ疎うと (nowhere dense) であるとは、その閉包へいほうの内部ないぶが空そらであることを言いう。
X において第だい一類いちるい (first category) または痩やせている (meagre) とは、それが可算かさん個この疎うと集合しゅうごうの和わになっていることを言いう。
X において第だい二に類るい (second category) または痩やせていない (nonmeagre) とは、それが X において第だい一類いちるいでないことを言いう。

これらの言葉ことばでベール空間くうかんの定義ていぎを述のべると次つぎのようになる：「位相いそう空間くうかん X がベール空間くうかんとなるのは、任意にんいの空そらでない開ひらく集合しゅうごうが X において第だい二に類るいであるときである」。この定義ていぎは先述せんじゅつの現代げんだい的てき定義ていぎと同値どうちである。

X の部分ぶぶん集合しゅうごう A が残留ざんりゅう的てき (residual, comeagre) であるとは、その補ほ集合しゅうごう X ∖ A が痩やせていることを言いう。位相いそう空間くうかん X がベール空間くうかんであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、X の任意にんいの残留ざんりゅう的てき部分ぶぶん空間くうかんが稠密ちゅうみつになることである。

例れい

実数じっすうの全体ぜんたい R に通常つうじょうの位相いそうを考かんがえたものはベール空間くうかんであり、したがって自分じぶん自身じしんにおいて第だい二に類るいである。有理数ゆうりすうの全体ぜんたい Q は R において第だい一類いちるいであり、無理むり数すうの全体ぜんたい P は R において第だい二に類るいである。
カントル集合しゅうごう C はベール空間くうかんであり、したがって自分じぶん自身じしんにおいて第だい二に類るいだが、C は単位たんい閉区間あいだ [0, 1] に通常つうじょうの位相いそうを入いれたものにおいて第だい一類いちるいである。
R において第だい二に類るいかつルベーグ測度そくどが 0 であるような例れいが、
$\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-{1 \over 2^{n+m}},r_{n}+{1 \over 2^{n+m}}\right)$
で与あたえられる。ただし、{r_n}∞
n=1 は有理数ゆうりすうを全すべて数かぞえ上あげる数列すうれつとする。
有理数ゆうりすうの全体ぜんたい Q に R からくる通常つうじょうの位相いそうを入いれた空間くうかんはベール空間くうかんでない。これは Q が可算かさん個こある各かく点てん q に対応たいおうする一元いちげん集合しゅうごう {q}（これは内うち点てんを持もたない閉集合しゅうごうになっている）の合併がっぺいとして書かけることによる。

ベールの範疇はんちゅう定理ていり

詳細しょうさいは「ベールの範疇はんちゅう定理ていり」を参照さんしょう

ベールの範疇はんちゅう定理ていりは位相いそう空間くうかんがベール空間くうかんであるための十分じゅうぶん条件じょうけんを与あたえるものである。位相いそう空間くうかん論ろんおよび函数かんすう解析かいせき学がくで重要じゅうようなツールとなっている。

(BCT1) 任意にんいの完備かんび距離きょり空間くうかんはベール空間くうかんである。より一般いっぱんに、何なんらかの完備かんび擬なずらえ距離きょり空間くうかんの開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうに同相どうしょうな任意にんいの位相いそう空間くうかんはベール空間くうかんになる。特とくに任意にんいの位相いそう的てき完備かんび空間くうかんはベール空間くうかんである。
(BCT2) 任意にんいの局所きょくしょコンパクトハウスドルフ空間くうかんはベール空間くうかんである。

BCT1 は以下いかの空間くうかんがベール空間くうかんであることを示しめす：

実数じっすうの全体ぜんたい R に通常つうじょうの位相いそうを入いれた空間くうかん
無理むり数すうの全体ぜんたい P に R からくる通常つうじょうの位相いそうを入いれた空間くうかん
カントル集合しゅうごう C
任意にんいのポーランド空間くうかん

BCT2 は任意にんいの多様たよう体たいがベール空間くうかんであることを示しめす。これは多様たよう体たいがパラコンパクトでなく、したがって距離きょり化か可能かのうでない場合ばあいでも成なり立たつ。例たとえば長ながい直線ちょくせんは第だい二に類るいである。

性質せいしつ

任意にんいの空そらでないベール空間くうかん X は、自分じぶん自身じしんにおいて第だい二に類るいである。また、X の稠密ちゅうみつ開ひらけ集合しゅうごうからなる任意にんいの可算かさん族ぞくの交まじわりは空そらでない。しかしこれら二ふたつの主張しゅちょうの逆ぎゃくは何いずれも成なりたない。なんとなれば、有理数ゆうりすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう Q と単位たんい閉区間あいだ [0, 1] との位相いそう的てき直和なおかずを考かんがえればわかる。
ベール空間くうかんの任意にんいの開ひらき部分ぶぶん空間くうかんはまたベール空間くうかんである。
連続れんぞく写像しゃぞうの族ぞく f_n: X → Y とその各かく点てん収斂しゅうれん極限きょくげん f: X → Y が与あたえられたとき、X がベール空間くうかんならば極限きょくげん写像しゃぞう f が連続れんぞくでない点てんの全体ぜんたいは X において痩やせた集合しゅうごうであり、f が連続れんぞくになる点てんの全体ぜんたいは X において稠密ちゅうみつである。このことの特別とくべつな場合ばあいが一様いちよう有界ゆうかい性せい原理げんりである。

参考さんこう文献ぶんけん

Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000.
Baire, René-Louis (1899), Sur les fonctions de variables réelles, Annali di Mat. Ser. 3 3, 1--123.