位相いそう体たい

位相いそう体たい（いそうたい、英えい: topological field）とは、密着みっちゃく位相いそうではない位相いそうが入はいった位相いそう空間くうかんであり、加法かほう、乗法じょうほう、加法かほう逆ぎゃく元もとをとる操作そうさおよび 0 以外いがいの元もとに対たいする逆数ぎゃくすうをとる操作そうさが連続れんぞくとなる体からだ^[1]のことである。従したがって、位相いそう体たい K は加法かほうに対たいする位相いそう群ぐんであり、K^× は乗法じょうほうに対たいする位相いそう群ぐんとなる。

例れい

任意にんいの体からだ K に対たいして、離散りさん位相いそうを入いれれば位相いそう体たいになる。
実数じっすう体からだは、通常つうじょうの加法かほうと乗法じょうほうに対たいして、ユークリッド距離きょりを入いれることにより位相いそう体たいになる。
有理数ゆうりすう体たいは、通常つうじょうの加法かほうと乗法じょうほうに対たいして、p-進すすむ付値つけねによる距離きょりを入いれることにより位相いそう体たいになる。
位相いそう体たいおよび位相いそう体たいの部分ぶぶん環たまきは位相いそう環たまきであるが、逆ぎゃくは必かならずしも成なり立たつとは限かぎらない。つまり、体からだに位相いそう環たまきとなる様ように位相いそうを入いれても位相いそう体たいになるとは限かぎらない。例たとえば、有理数ゆうりすう体からだ Q の位相いそうとして

{\mathcal {U}}=\{a+b\mathbb {Z} \mid a,\,b\in \mathbb {Q} \}

を開ひらけ集合しゅうごう系けいとなるようなものを考かんがえるとき、Q は位相いそう環たまきであるが位相いそう体たいではない。

性質せいしつ

開ひらき近傍きんぼう

位相いそう体たいは加法かほうおよび乗法じょうほうで連続れんぞくであることから、任意にんいの空そらではない開ひらき集合しゅうごう U と K の点てん a に対たいして、U + a は a の開ひらき近傍きんぼうとなる。また、0 でない K の元もと a に対たいする aU および、U⁻¹ は開ひらけ集合しゅうごうとなる。^[2]

このことから、位相いそう体たいを 0 の基本きほん近傍きんぼう系けいを用もちいて定義ていぎすることができる。つまり、体からだ K が位相いそう体たいになるためには、K 上うえの 0 の基本きほん近傍きんぼう系けいを ${\mathcal {U}}$ としたとき、以下いかの条件じょうけんを全すべて満みたすことが必要ひつよう十分じゅうぶんである。

${\mathcal {U}}$ の任意にんいの元もと U に対たいして、 ${\mathcal {U}}$ の元もと V が存在そんざいして、V + V ⊂ U。
${\mathcal {U}}$ の任意にんいの元もと U に対たいして、 $-U\in {\mathcal {U}}$ 。
${\mathcal {U}}$ の任意にんいの元もと U に対たいして、 ${\mathcal {U}}$ の元もと V が存在そんざいして、 $V\cdot V\subset U$ 。
${\mathcal {U}}$ の任意にんいの元もと U に対たいして、 $(1+U)^{-1}\in 1+{\mathcal {U}}$ 。
K の 0 でない任意にんいの元もと a および ${\mathcal {U}}$ の任意にんいの元もと U に対たいして、 $aUa^{-1}\in {\mathcal {U}}$ 。

上記じょうきの条件じょうけんのうち、1 と 2 は加法かほう群ぐん K が位相いそう群ぐんになるための条件じょうけんであり、3, 4, 5 は乗法じょうほう群ぐん K^× が位相いそう群ぐんになるための条件じょうけんである。

ハウスドルフ性せい

任意にんいの位相いそう体たいはハウスドルフ空間くうかんである。逆ぎゃくに、濃度のうどが2以上いじょうのハウスドルフ空間くうかんは密着みっちゃく空間くうかんにはなりえないので、位相いそう体たいの定義ていぎとして、

加法かほう、乗法じょうほう、および 0 以外いがいの元もとに対たいする除法じょほうが連続れんぞくとなり、ハウスドルフ空間くうかんとなる位相いそうを入いれた体からだ

とすることもできる。

連結れんけつ性せい

任意にんいの位相いそう体たいは連結れんけつであるか完全かんぜん不ふ連結れんけつであるかのいずれかであり、連結れんけつである位相いそう体たいの標しるべ数すうは 0 である。つまり有限ゆうげん体たいである位相いそう体たいは完全かんぜん不ふ連結れんけつとなる。

局所きょくしょコンパクト性せい

任意にんいの局所きょくしょコンパクトな位相いそう体たいは第だい一いち可算かさん公理こうりを満みたす。しかし、逆ぎゃくは必かならずしも成なり立たつとは限かぎらない。例たとえば、有理数ゆうりすう体たいに絶対ぜったい値ちにより得えられる距離きょりによる位相いそうを入いれた場合ばあい、第だい一いち可算かさん公理こうりを満みたすが局所きょくしょコンパクトではない。

一般いっぱんに第だい一いち可算かさん公理こうりを満みたす位相いそう体たいに対たいしては、以下いかのことが成立せいりつする。

第だい一いち可算かさん公理こうりを満みたす位相いそう体たいを K とし、局所きょくしょコンパクトな位相いそう体たいを K′ とする。 R を K の稠密ちゅうみつな部分ぶぶん環たまきとし、R′ を K′ の部分ぶぶん環たまきで、R と同型どうけいであるとする。 f を R から R′ への同型どうけい写像しゃぞうとしたとき、K から K′ の中なかへの同型どうけい写像しゃぞう φふぁいで、φふぁいを R に制限せいげんしたものが f に一致いっちするものが唯一ゆいいつ存在そんざいする。

例れい

以下いかの位相いそう体たいは局所きょくしょコンパクトである。

離散りさん位相いそうによる位相いそう体たい
実数じっすう体たい R に通常つうじょうの位相いそう（絶対ぜったい値ちが導みちびく距離きょりに関かんする距離きょり空間くうかんとしての位相いそう）を入いれたもの
複素数ふくそすう体からだ C に通常つうじょうの位相いそう（絶対ぜったい値ちによって導みちびかれる距離きょり空間くうかんの位相いそう）を入いれたもの
p-進数しんすう体たい Q_p に p-進すすむ位相いそう（p-進すすむ付値つけねの導みちびく距離きょり位相いそう）を入いれたもの

分類ぶんるい

任意にんいの体からだに対たいして、離散りさん位相いそうを入いれた位相いそう体たいは局所きょくしょコンパクトになるので、この様ような位相いそう体たいを分類ぶんるいすることはできないが、離散りさん位相いそう以外いがいの位相いそうを入いれた位相いそう体たいが局所きょくしょコンパクトになるのは、かなり限定げんていされることが知しられている。そこで、以下いかにおいて、位相いそうは離散りさん位相いそうではないとすると、局所きょくしょコンパクト位相いそう体たいは以下いかの様ように分類ぶんるいすることができる（以下いか体からだとして非ひ可か換かわ体からだも考かんがえているので注意ちゅういされたい。四よん元げん数すう体たいなどがそうである）。

まず、連結れんけつである局所きょくしょコンパクト位相いそう体たいは、以下いかのいずれかの体からだと同型どうけいとなる。

実数じっすう体たい R
複素数ふくそすう体たい C
四よん元げん数すう体からだ H

さらに、これらの体からだの位相いそうは、それぞれの体からだの絶対ぜったい値ちで与あたえられる距離きょり空間くうかんと同相どうしょうである。

次つぎに連結れんけつではない連続れんぞく体たいは、以下いかのいずれかの体からだと同型どうけいである。

p-進すすむ体からだ Q_p 上うえの有限ゆうげん次じ拡大かくだい体たい
p-進すすむ体からだ Q_p 上うえの有限ゆうげん階数かいすうの斜体しゃたい
有限ゆうげん体たい F_q 上うえの一変いっぺん数すうローラン級数きゅうすう体からだ F_q((t)) の有限ゆうげん次じ拡大かくだい体たい
F_q((t)) の有限ゆうげん階数かいすうの斜体しゃたい

さらに、これらの体からだの位相いそうは、p-進すすむ体からだもしくは有限ゆうげん体たい上じょうの一変いっぺん数すうローラン級きゅう数すう体たい上じょうの非ひアルキメデス付値つけねによって得えられる距離きょりによる距離きょり空間くうかんと同相どうしょうである。

以上いじょうの結果けっか、位相いそう体たいが連結れんけつであるかないかによらず、局所きょくしょコンパクトな位相いそう体たいは乗法じょうほう付値つけねで得えられる距離きょりの距離きょり空間くうかんに同相どうしょうであり、さらにその距離きょりで完備かんびとなる。従したがって局所きょくしょコンパクトな位相いそう体たいは、完備かんびな付値つけね体たいである。逆ぎゃくに完備かんびな付値つけね体たいは局所きょくしょコンパクトであるので、位相いそう体たいの局所きょくしょコンパクト性せいと付値つけね体たいの完備かんび性せいは同おなじになる。

完備かんび化か

局所きょくしょコンパクトである離散りさんではない位相いそう体たいは完備かんびであったが、今度こんどは、局所きょくしょコンパクトではない位相いそう体たいの完備かんび化かを考かんがえる。

位相いそう体たい K を位相いそう環たまきとみなすことにより、K の完備かんびな位相いそう環たまき $\scriptstyle {\widehat {\!K}}$ が同型どうけいを除のぞいて一意的いちいてきに得えることができるが、 $\scriptstyle {\widehat {\!K}}$ は、一般いっぱんには体からだにならず、たとえ体からだであったとしても位相いそう体たいであるとは限かぎらない。また位相いそう体たいであっても乗法じょうほうに対たいして完備かんびになるとは限かぎらない。 K^× は乗法じょうほう群ぐんであるので、K^× の完備かんび化か K′ が得えられるが、これが体からだもしくは加法かほうに対たいして完備かんびな位相いそう体たいになるとは限かぎらない。

例たとえば、素数そすう p に対たいして、 ${\mathcal {U}}_{p}$ を p 進すすむ付値つけねによって得えられる距離きょりに対たいする有理数ゆうりすう体たいの距離きょり位相いそうとしたとき、相そう異ことなる素数そすう p, q に対たいして、 ${\mathcal {U}}$ を ${\mathcal {U}}_{p}\cup {\mathcal {U}}_{q}$ の有限ゆうげん個この元もとの共通きょうつう部分ぶぶん全体ぜんたいからなる集合しゅうごうとすれば、 $(\mathbb {Q} ,\ {\mathcal {U}})$ は位相いそう体たいであるが、完備かんび化かは Q_p × Q_q と同相どうしょうであり、体からだではない。

しかし、 $\scriptstyle {\widehat {\!K}}$ が加法かほうに対たいして完備かんびな位相いそう体たいで、局所きょくしょコンパクトであるか、または可か換かわ体からだである場合ばあい、 $\scriptstyle {\widehat {\!K}}$ は乗法じょうほうに対たいしても完備かんびとなる。従したがって、K が可か換かわ体からだである場合ばあい、K の完備かんびな位相いそう環たまき $\scriptstyle {\widehat {\!K}}$ が位相いそう体たいであれば、乗法じょうほうに対たいしても完備かんびとなる。このことから、例たとえば、乗法じょうほうが可か換かわである標しるべ数すうが 0 である位相いそう体たいの完備かんび化かが位相いそう体たいであるならば、複素数ふくそすう体からだまたは、ある素数そすう p に対たいする p-進すすむ体たいの部分ぶぶん体たいと同型どうけいとなる。

注釈ちゅうしゃく

^ 注意ちゅうい：この項こうでは、例れいとして挙あげた具体ぐたい的てきな場合ばあいを除のぞいて、体からだの乗法じょうほうの可か換かわ性せいは必かならずしも仮定かていしていない。つまり体からだを可か換かわ体からだもしくは斜体しゃたいの総称そうしょうとして使用しようしている。
^ 空そらではない集合しゅうごう A, B に対たいして、A + B := {x + y | x ∈ A, y ∈ B, A · B := {xy | x ∈ A, y ∈ B}, A⁻¹ := {x⁻¹ | x ≠ 0} と定義ていぎする。特とくに一元いちげん集合しゅうごう A = {a} でに対たいしては括弧かっこを略りゃくして、a + B, aB などと記述きじゅつする（B が一元いちげん集合しゅうごうである場合ばあいも同様どうよう）。

参考さんこう文献ぶんけん

ブルバキ, N. 著ちょ、土川つちかわ真夫まさお・村田むらた全あきら訳やく『ブルバキ数学すうがく原論げんろん位相いそう2』東京とうきょう図書としょ、東京とうきょう、1968年ねん。
ポントリャーギン, L. 著ちょ、柴しば岡おか泰光やすみつ・杉浦すぎうら光夫みつお・宮崎みやざき功いさお訳やく『連続れんぞく群ぐん論ろん上じょう』岩波書店いわなみしょてん、東京とうきょう、1957年ねん。
ポントリャーギン, L. 著ちょ、宮本みやもと敏雄としお・保坂ほさか秀正ひでまさ訳やく『数すう概念がいねんの拡張かくちょう実数じっすう・複素数ふくそすうから4元げん数すう・多元たげん数すうまでポントリャーギン数学すうがく入門にゅうもん双書そうしょ第だい5巻かん』森北もりきた出版しゅっぱん、東京とうきょう、1995年ねん。
彌永やなが, 昌吉しょうきち編へん『数かず論ろん』岩波書店いわなみしょてん、東京とうきょう、1969年ねん。

例れい