付値つけね

付値つけね（ふち、英えい: valuation、賦ふ値ち、附ふ値ちとも）とは、単位たんい元もと 1 を持もつ環たまき R と順序じゅんじょ加か群ぐん G に対たいして、以下いかの3条件じょうけんを満みたす写像しゃぞう v: R → G ∪ {∞} である。

1. v(1) = 0, v(0) = ∞ である。
2. 任意にんいの R の元もと x, y に対たいして、v(xy) = v(x) + v(y) が成なり立たつ。
3. 任意にんいの R の元もと x, y に対たいして、v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) が成なり立たつ。

但ただし、∞ は G には属ぞくさない元もとで、G の任意にんいの元もと a に対たいして

• $a<\infty ,$
• $a+\infty =\infty ,$
• $\infty +\infty =\infty$

を満みたすものとする。上記じょうき定義ていぎを満みたす付値つけねのことを R の 加法かほう付値つけねまたは一般いっぱん付値つけねともいう。さらに G が実数じっすう体からだの加法かほう部分ぶぶん群ぐんであるとき指数しすう付値つけねという。

特とくに R が体からだであるとき、$v(R\smallsetminus \{0\})$ は G の加法かほう部分ぶぶん群ぐんとなり、これを v の値ね群ぐんという。

加法かほう付値つけね

例れい

1. 1 を含ふくむ環たまき R に対たいして、${\mathfrak {p}}$ を 1 を含ふくまない R の素すイデアルとする。R の元もと a に対たいして
   $v(a)={\begin{cases}0&(a\notin {\mathfrak {p}})\\\infty &(a\in {\mathfrak {p}})\end{cases}}$
   と定さだめれば、R の加法かほう付値つけねとなる。従したがって、1 を含ふくむ任意にんいの環たまきに対たいして、加法かほう付値つけねが一ひとつ以上いじょう存在そんざいする。
2. 体からだ K に対たいして、上記じょうきの例れいを適用てきようすることにより
   $v(a)={\begin{cases}0&(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}$
   は K の加法かほう付値つけねとなる。これを K の自明じめいな加法かほう付値つけねという。
3. 素数そすう p と 0 ではない有理数ゆうりすう a に対たいして、
   $a={\frac {p^{e}b}{p^{f}c}}\quad (e\geq 0,\,f\geq 0,\,(b,c)=1,\,(bc,\ p)=1)$
   と表あらわしたとき、
   $v(a)={\begin{cases}e-f&(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}$
   で定義ていぎすると、v は有理数ゆうりすう体たいの加法かほう付値つけねとなる。これを p-進すすむ加法かほう付値つけねという。
4. より一般いっぱんに、${\mathfrak {p}}$ を代数だいすう体たい K の素すイデアルとする。K の 0 でない元もと αあるふぁ は $(\alpha )={\mathfrak {p}}^{\mu }{\mathfrak {b}}$ （${\mathfrak {b}}$ は ${\mathfrak {p}}$ と互たがいに素そな分数ぶんすうイデアル、μみゅー は有理ゆうり整数せいすう）の形かたちに一意的いちいてきに表あらわせるが、このとき
   $v(a)={\begin{cases}\mu &(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}$
   と定さだめると、v は代数だいすう体たい K の加法かほう付値つけねとなる。これを ${\mathfrak {p}}$-進すすむ加法かほう付値つけね という。
5. 複素ふくそ平面へいめんから複素ふくそ平面へいめんへの有理ゆうり型がた関数かんすうの全体ぜんたいを K とする。複素ふくそ平面へいめん上じょうの点てん P を一ひとつ取とり固定こていする。0 でない 有理ゆうり型がた関数かんすう f に対たいして、点てん P で n-位くらいの零れい点てんであるとき v(f) = n, 零れい点てんでも極ごくでもないとき v(f) = 0, n-位くらいの極きょくであるとき v(f) = −n と定さだめると、v は K の加法かほう付値つけねとなる。
6. 体からだ K の 1-変数へんすう有理ゆうり関数かんすう体からだ K(x) の 0 でない元もと f(x) に対たいして
   $f(x)={g(x) \over h(x)}\quad (g(x),\,h(x)\in K[x])$
   と表あらわしたとき、v(f) = deg h − deg g と定義ていぎすると、v は K(x) の加法かほう付値つけねとなる。
7. αあるふぁ を無理むり数すうとし、体からだ K 係数けいすうの 0 でない多項式たこうしき
   $p(x,y)=\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}y^{m-j}\quad (a_{j}\in K,\ m\geq 0)$
   に対たいして、v(p) = min{j + (m − j)αあるふぁ | a_j ≠ 0, 0 ≤ j ≤ m} とし、K 上うえの 2-変数へんすう有理ゆうり関数かんすう体たい K(x, y) の 0 でない元もと f(x, y) に対たいして
   $f(x,y)={g(x,y) \over h(x,y)}\quad (g(x,y),\ h(x,y)\in K[x,y])$
   と表あらわしたとき、v(f) = v(g) − v(h) と定義ていぎすると、v は K(x, y) の加法かほう付値つけねとなる。
8. 体からだ K の 0 でない n-変数へんすう多項式たこうしき
   $p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{m_{n}}a_{j_{1}\ldots j_{n}}x_{1}^{j_{1}}\cdots x_{n}^{j_{n}}\quad (a_{j_{1}\ldots j_{n}}\in K,\ m_{1},\ldots ,m_{n}\geq 0)$
   に対たいして、Zⁿ の辞書じしょ式しき順序じゅんじょに関かんして
   $v(p)=\min\{(j_{1},\ldots ,j_{n})\mid a_{j_{1}\ldots j_{n}}\neq 0\}\in \mathbb {Z} ^{n}$
   とするとき、K 上うえの n-変数へんすう有理ゆうり関数かんすう体たい K(x₁, ..., x_n) の 0 でない元もと
   $f(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {g(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\quad (g(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,h(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}])$
   に対たいし、v(f) = v(g) − v(h) と定義ていぎすると、v は K(x₁, ..., x_n) の加法かほう付値つけねとなる。
9. 体からだK に対たいして、体からだ L を
   $L=\bigcup _{n\geq 1}K(x_{1},\ldots ,x_{n})$
   とし、一ひとつ上じょうで挙あげた加法かほう付値つけねを v_n としたとき、0 でない L の元もと f に対たいして
   $v(f)=(j_{1},\ldots ,j_{n},0,0,\ldots )\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\quad (f\in K(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ v_{n}(f)=(j_{1},\ldots ,j_{n}))$
   と定さだめれば、v は L の加法かほう付値つけねとなる。

性質せいしつ

環たまき R 上うえの加法かほう付値つけね v に対たいして、以下いかが成立せいりつする。

• R が体からだであるならば、v(x) = ∞ である必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは x = 0 である。
• 任意にんいの R の元もと x, y に対たいして、v(xy) = v(yx) である。
• 任意にんいの R の元もと a に対たいし、v(−a) = v(a) である。
• 逆ぎゃく元もとをもつ R の元もと a に対たいし、v(a⁻¹) = −v(a) である。
• v(x) ≠ v(y) である R の元もと x, y に対たいして、v(x + y) = min(v(x), v(y)) が成なり立たつ。
• x₁ + … + x_n = 0 である R の元もと x₁, ..., x_n に対たいして、v(x_i) = v(x_j) を満みたす i, j (i ≠ j) が存在そんざいする。

付値つけね環たまき

体からだ K の加法かほう付値つけね v に対たいして、R_v = {a ∈ K | v(a) ≥ 0} は賦ふ値ち v に対たいする付値つけね環たまきと呼よばれる環たまきを成なす。このとき、${\mathfrak {m}}_{v}=\{a\in K\mid v(a)>0\}$ は、R_v のイデアルであり、賦ふ値ち v に対たいする付値つけねイデアルと呼よばれる。 付値つけねイデアルは付値つけね環たまきに含ふくまれる唯一ゆいいつの極大きょくだいイデアルであるので、$R_{v}/{\mathfrak {m}}_{v}$ は体からだとなる。この体からだのことを v に関かんする剰余じょうよ体たいまたは剰余じょうよ類るい体からだという。さらに、{a ∈ K | v(a) = 0} は乗法じょうほう群ぐんとなり、これを賦ふ値ち環たまきの単数たんすう群ぐんという。

付値つけね環たまきの性質せいしつ

1. 付値つけね環たまきは局所きょくしょ環たまきである。
2. 付値つけね環たまきは整せい閉である。
3. 体からだ K の付値つけね環たまきの商しょう体たいは K である。
4. 付値つけね環たまき上じょうの有限ゆうげん生成せいせいのイデアルは単項たんこうイデアルである。
5. 体からだ K の 0 でない元もと a に対たいし、a または a⁻¹ は付値つけね環たまきの元もととなる。
6. 付値つけね環たまきのイデアル全体ぜんたいからなる集合しゅうごうは、包含ほうがん関係かんけいで全ぜん順序じゅんじょ集合しゅうごうとなる。つまり、${\mathfrak {a}},\,{\mathfrak {b}}$ を付値つけね環たまきのイデアルとしたとき、${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}$ または ${\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {a}}$ が成立せいりつする。
7. R を体からだ K の部分ぶぶん環たまきとし、R の素すイデアルを ${\mathfrak {p}}$ とすれば、K の加法かほう付値つけね v が存在そんざいして、R ⊂ R_v および ${\mathfrak {m}}_{v}\cap R={\mathfrak {p}}$ が成立せいりつする。
8. R を体からだ K の部分ぶぶん環たまきとし、S を R の K における整せい閉包へいほうとすれば、$\textstyle R=\bigcap _{v}R_{v}$ と表あらわせる。但ただし、v は付値つけね環たまきが S を含ふくむ様ような加法かほう付値つけね全すべてを動うごくものとする。

上うえの性質せいしつの 4, 5, 6 は、環たまきが付値つけね環たまきとなる条件じょうけんを与あたえている。つまり、商しょう体たいが K となる、K の部分ぶぶん環たまき R が下記かきのいずれかが(したがってすべてが)満みたされるとき、K の加法かほう付値つけねが存在そんざいして、R はその加法かほう付値つけねで付値つけね環たまきとなる。

• R は局所きょくしょ環たまきであり、R 上うえの有限ゆうげん生成せいせいのイデアルは単項たんこうイデアルである。
• 0 でない K の任意にんいの元もと a に対たいして、a または $a^{-1}$ が R の元もととなる。
• R のイデアル全体ぜんたいからなる集合しゅうごうは、包含ほうがん関係かんけいで全ぜん順序じゅんじょ集合しゅうごうとなる。

このことより、付値つけね環たまきを付値つけねを用もちいずに定義ていぎすることができる。

階数かいすう

加法かほう付値つけね v の付値つけね環たまきの Krull-次元じげんを v の階数かいすうという。 つまり、加法かほう付値つけね v の付値つけね環たまき R_v 上うえの素すイデアル ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,\ {\mathfrak {p}}_{n}$ が存在そんざいして

$R_{v}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\supsetneq (0)$

が成立せいりつするような n の最大さいだい値ちを階数かいすうという。階数かいすうは必かならずしも有限ゆうげんとは限かぎらない。例たとえば、先さきに挙あげた加法かほう付値つけねの例れい9. の階数かいすうは ∞ である。また、任意にんいの正せい整数せいすう n に対たいして、例れい8. の階数かいすうは n であり、自明じめいな加法かほう付値つけねは 0 である。

自明じめいではない加法かほう付値つけねの階数かいすうは 1 以上いじょうであり、特とくに指数しすう付値つけねの階数かいすうは 1 である。より一般いっぱんに、値ね群ぐんが実数じっすうの 0 ではない加法かほう部分ぶぶん群ぐんと順序じゅんじょ同型どうけいであるならば、階数かいすうは 1 であり、逆ぎゃくに階数かいすうが 1 である加法かほう付値つけねの値ね群ぐんは実数じっすうの加法かほう部分ぶぶん群ぐんと順序じゅんじょ同型どうけいである。

体からだ K の加法かほう付値つけね v の階数かいすうは次つぎの様ようにい換いかえることができる。

• 階数かいすうとは、v の付値つけね環たまきを含ふくむ K と異ことなる K の部分ぶぶん環たまきの個数こすうである。
• 階数かいすうとは、v の値ね群ぐんを G とし、G の部分ぶぶん群ぐん H で
  0 ≤ y ≤ x を満みたす G の元もと x, y に対たいし、x が H の元もとであれば、y も H の元もとである
  という条件じょうけんを満みたすものの個数こすうである。

離散りさん付値つけね

体からだ K の加法かほう付値つけね v の値ね群ぐん v(K^×) が、辞書じしょ式しき順序じゅんじょで Zⁿと順序じゅんじょ同型どうけいであるとき離散りさん的てきであるといい、この様ような加法かほう付値つけねを離散りさん的てき加法かほう付値つけねまたは離散りさん的てき一般いっぱん付値つけねという。 特とくに、上記じょうき n が 1 である離散りさん的てき加法かほう付値つけねのことを離散りさん付値つけねという。 さらに、値ね群ぐんが Z となる離散りさん付値つけねを正規せいき離散りさん付値つけねまたは正規せいき指数しすう付値つけねという。

例たとえば、先さきに挙あげた加法かほう付値つけねの例れいの 2., 3., 4., 5., 6. は正規せいき離散りさん付値つけねであり、n ≥ 2 に対たいして、例れい8. は離散りさん付値つけねではない離散りさん的てき加法かほう付値つけねである。例れい7. の様ように離散りさん付値つけねにならない加法かほう付値つけねも存在そんざいする。

体からだ K の正規せいき離散りさん付値つけね v に対たいして、v(πぱい) = 1 を満みたす K の元もと πぱい を v の 素もと元もとという。すると、K^× の元もと αあるふぁ は、素もと元もとと K の単元たんげんを用もちいて、αあるふぁ = εいぷしろんπぱいⁿ と一意的いちいてきに表現ひょうげんされる。但ただし、εいぷしろん は K の単元たんげんであり、n は整数せいすうである。

離散りさん付値つけね v に関かんして、以下いかのことが成なり立たつ。但ただし、付値つけねイデアルを ${\mathfrak {m}}$ とする。

• 付値つけね環たまきはネーター環たまきである。
• 任意にんいの付値つけね環たまきのイデアル ${\mathfrak {a}}\neq 0$ に対たいして、ある非負ひふ整数せいすう n が存在そんざいして、${\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}^{n}$ と表あらわされる。つまり、付値つけね環たまきは単項たんこうイデアル環たまきである。

特とくに、v が正規せいき離散りさん付値つけねであるならば、0 ではないイデアルは、n ≥ 0 に対たいして {x ∈ K | v(x) ≥ n} のかたちに表あらわされる。

• $\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=(0)$ が成立せいりつする。
• 任意にんいの付値つけね環たまきの元もと a と 0 でない K の元もと b に対たいして、ある正せい整数せいすう n が存在そんざいして、nv(a) ≥ v(b) が成立せいりつする。

付値つけねの合成ごうせい

体からだ K の加法かほう付値つけね v に対たいして、v の剰余じょうよ体たい $R_{v}/{\mathfrak {m}}_{v}$ の加法かほう付値つけねを v′ とする。このとき

$R''=\{a\in R_{v}\mid a\ {\bmod {\ }}{\mathfrak {m}}_{v}\in R_{v'}\}$

は、K の付値つけね環たまきとなる。そこで、K の加法かほう付値つけね v′′ を R_v′′ = R′′ を満みたす様ように取とったとき、v′′ を v と v′ との合成ごうせいという。(v′′ の階数かいすう) = (v の階数かいすう) + (v′ の階数かいすう) が成なり立たつ。

加法かほう付値つけねの合成ごうせいを用もちいて、体からだ K の加法かほう付値つけねを w、K の拡大かくだい体たいを L とし、 L の加法かほう付値つけね v を、剰余じょうよ体たいが K と同型どうけいになるようにとれば、L の加法かほう付値つけね v′ として

$v'(a)={\begin{cases}w(a)&(a\in K)\\v(a)&(a\in L\setminus K)\end{cases}}$

が成なり立たつものを得えることができる。

乗法じょうほう付値つけね

体からだ K に対たいして、以下いかの3条件じょうけんを満みたす |•|: K → R を、乗法じょうほう付値つけねという。

1. K の任意にんいの元もと x に対たいして |x| ≥ 0 であり、|x| = 0 であるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは x = 0 である。
2. K の任意にんいの元もと x, y に対たいして、|xy| = |x||y| が成なり立たつ。
3. ある正数せいすう c が存在そんざいして、K の任意にんいの元もと x, y に対たいして、|x + y| ≤ c max(|x|, |y|) が成なり立たつ。

上記じょうき条件じょうけん3 の代かわりに、下記かきの条件じょうけん

• K の任意にんいの元もと x, y に対たいして、|x + y| ≤ |x| + |y| が成立せいりつする。

を満みたすものも（このとき c = 2 とおけば条件じょうけん3 を満みたすので）乗法じょうほう付値つけねとなるが、これを三角さんかく不等式ふとうしきを満みたす乗法じょうほう付値つけねという。

乗法じょうほう付値つけねの例れい

1. 体からだ K に対たいして
   $|a|_{0}={\begin{cases}1&(a\in K^{\times })\\0&(a=0)\end{cases}}$
   と定さだめれば、乗法じょうほう付値つけねとなる。これを自明じめいな付値つけねという。つまり、任意にんいの体からだ K に対たいして、乗法じょうほう付値つけねはひとつ以上いじょう存在そんざいする。
2. 実数じっすう体からだまたは複素数ふくそすう体たい上じょうの絶対ぜったい値ちは乗法じょうほう付値つけねである。絶対ぜったい値ちのことを他たの乗法じょうほう付値つけねと区別くべつするために |•|_∞ と書かかれることもある。
3. 素数そすう p と 0 ではない有理数ゆうりすう
   $a={p^{e}b \over p^{f}c}\quad (e\geq 0,\ f\geq 0,\ (b,c)=1,\ (bc,\ p)=1)$
   に対たいして、|a|_p = p^f−e で与あたえられる |•|_p: Q → R は、有理数ゆうりすう体たい上じょうの乗法じょうほう付値つけねとなる。これを p-進すすむ付値つけねという。これは上記じょうきの p-進すすむ加法かほう付値つけねを使つかって、|a|_p = p^{− v( a)} とあらわすことができる。
4. より一般いっぱんに、上記じょうきの${\mathfrak {p}}$-進すすむ加法かほう付値つけね v に対たいして、|a|_{${\mathfrak {p}}$} = N${\mathfrak {p}}$ ^{− v ( a )} で与あたえられる|•|_{${\mathfrak {p}}$}: K → R は、代数だいすう体たい K 上うえの乗法じょうほう付値つけねとなる。ここで N${\mathfrak {p}}$ は素もとイデアル ${\mathfrak {p}}$ のノルムである。これを ${\mathfrak {p}}$-進すすむ付値つけねという。

乗法じょうほう付値つけねの性質せいしつ

体からだ K 上うえの乗法じょうほう付値つけね |•| に対たいして、以下いかが成立せいりつする。

• |1| = 1 である。
• 任意にんいの K の元もと a に対たいし、|−a| = |a| である。
• 0 でない任意にんいの K の元もと a に対たいし、|a⁻¹| = |a|⁻¹ である。
• K の元もと a を |a| ≤ 1 となる様ようにとれば、|1 + a| ≤ c である。
• 離散りさん付値つけねではない乗法じょうほう付値つけね

アルキメデス付値つけね

乗法じょうほう付値つけねの定義ていぎにおいて、条件じょうけん3 の定数ていすう c は、常つねに c ≥ 1 であるが、c = 1 と選えらぶことができるとき、非ひアルキメデス付値つけねまたは非ひアルキメデス的てき付値つけねという。非ひアルキメデス付値つけねでない乗法じょうほう付値つけねのことをアルキメデス付値つけねまたはアルキメデス的てき付値つけねという。

自明じめいな付値つけねや、任意にんいの素数そすう p に対たいする有理数ゆうりすう体たい上じょうの p-進すすむ付値つけねは非ひアルキメデス付値つけねである。 また、実数じっすう体からだまたは複素数ふくそすう体たい上じょうの絶対ぜったい値ちはアルキメデス付値つけねである。

任意にんいの非ひアルキメデス付値つけね |•| は、任意にんいの正せい整数せいすう n に対たいして、|n 1| ≤ 1 を満みたす。逆ぎゃくに、任意にんいの正せい整数せいすう n に対たいして、|n 1| ≤ c となる n に無関係むかんけいな定数ていすう c が存在そんざいする乗法じょうほう付値つけねは非ひアルキメデス付値つけねである。

このことから、アルキメデス付値つけねを持もつ体からだの標しるべ数すうは 0 である。従したがって、有限ゆうげん体たいの乗法じょうほう付値つけねは全すべて非ひアルキメデス付値つけねである。より正確せいかくには、有限ゆうげん体たいの乗法じょうほう付値つけねは自明じめいな付値つけねだけである。

しかし、標しるべ数すうが 0 であっても、アルキメデス付値つけねを持もたない場合ばあいがある。体からだの（集合しゅうごう論ろん的てき）濃度のうどが連続れんぞく体たい濃度のうどよりも真しんに大おおきい体からだは、アルキメデス付値つけねを持もたない。このことは次つぎの定理ていりからの帰結きけつである。

オストロフスキーの定理ていり

必かならずしも可か換かわとは限かぎらない体からだ K がアルキメデス付値つけね |•| を持もつとする。このとき、K から複素数ふくそすう体たい（K が可か換かわ体からだであるとき）または四よん元げん数すう体たい（K が斜体しゃたいのとき）の中なかへの同型どうけい写像しゃぞう φふぁい と正数せいすう ρろー が存在そんざいして、

$|\alpha |=|\varphi (\alpha )|_{\infty }^{\rho }\quad (\alpha \in K)$

が成立せいりつする。ここで |•|_∞ は複素数ふくそすう体からだまたは四よん元げん数すう体たいの絶対ぜったい値ちである。従したがって、四よん元げん数すう体たいの部分ぶぶん体たいと同型どうけいな体からだはアルキメデス付値つけねを持もつ。

非ひアルキメデス付値つけねと指数しすう付値つけね

q > 1 を１ひとつ取とり固定こていする。|•| を体からだ K の非ひアルキメデス付値つけねとしたとき v: K → R ∪ {∞} を

$v(x)={\begin{cases}-\log _{q}|x|&(x\neq 0)\\\infty &(x=0)\end{cases}}$

で定さだめると、v は K の指数しすう付値つけねとなる。

逆ぎゃくに、K の指数しすう付値つけね v に対たいして |•|_v: K → R を

$|x|_{v}={\begin{cases}q^{-v(x)}&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{cases}}$

で定さだめると、|•|_v は K の非ひアルキメデス付値つけねとなる。

従したがって q を固定こていするとき、非ひアルキメデス付値つけねと指数しすう付値つけねの間あいだには一対一いちたいいちの対応たいおうを付つけることができる。しかし、アルキメデス付値つけねに対たいしては、上うえの様ように v を定義ていぎしても加法かほう付値つけねにはならない。

さらに、上うえで定義ていぎされた非ひアルキメデス付値つけね |•| に対たいする加法かほう付値つけね v に対たいして、v の付値つけね環たまき、付値つけねイデアルを R_v, ${\mathfrak {m}}_{v}$ とし、

$R_{|\bullet |}=\{\alpha \in K\mid |\alpha |\leq 1\},\quad {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}=\{\alpha \in K\mid |\alpha |<1\}$

とおくと、R_v = R_|•|, ${\mathfrak {m}}_{v}={\mathfrak {m}}_{|\bullet |}$ が成なり立たち、R_|•|, ${\mathfrak {m}}_{|\bullet |}$ はそれぞれ K の部分ぶぶん環たまき、R_|•| のイデアルになる。このとき、R_|•|, ${\mathfrak {m}}_{|\bullet |},\,R_{|\bullet |}/{\mathfrak {m}}_{|\bullet |}$ を非ひアルキメデス付値つけね |•| に対たいする付値つけね環たまき、付値つけねイデアル、剰余じょうよ体たいという。

この様ように得えられた付値つけね環たまき、付値つけねイデアルに対たいしても、先さきに挙あげた加法かほう付値つけねに対たいする付値つけね環たまき、付値つけねイデアルと同おなじ性質せいしつが成なり立たつ。

また、v が離散りさん付値つけねであるとき、|•| を離散りさん付値つけねという。このとき、うまく q を選えらべば v は正規せいき離散りさん付値つけねとなるので、v(πぱい) = 1 となる K の元もと πぱい が存在そんざいする。この πぱい のことを |•| に関かんする素もと元もとという。

なお、アルキメデス付値つけねに対たいしては、非ひアルキメデス付値つけねと同様どうようにして R_|•|, ${\mathfrak {m}}_{|\bullet |}$ を定義ていぎすることができるが、R_|•| は K の部分ぶぶん環たまきにはならず、${\mathfrak {m}}_{|\bullet |}$ もイデアルにはならない。

しかし、{x ∈ K | |x| = 1} はアルキメデス付値つけね、非ひアルキメデス付値つけねに関かかわらず乗法じょうほう群ぐんとなる。これを乗法じょうほう付値つけね |•| に対たいする単数たんすう群ぐんという。

付値つけねの同値どうち性せい

体からだ K 上うえの２ふたつの加法かほう付値つけね v, v′ に対たいして両者りょうしゃの付値つけね環たまきが等ひとしいとき、すなわち

$v(a)\geq 0\iff v'(a)\geq 0$

が全すべての K の元もと a に対たいして成なり立たつとき v と v′ は同値どうちであるという。

また、乗法じょうほう付値つけね v, v′ が同値どうちであるとは、正数せいすう r > 0 が存在そんざいして、K の任意にんいの元もと a に対たいして

$v(a)=v'(a)^{r}$

が成なり立たつときにいう。これは

$v(a)<1\iff v'(a)<1$

が任意にんいの K の元もと a に対たいして成なり立たつときとい換いかえることもできる。従したがって、v, v′ が非ひアルキメデス付値つけねであるならば、両者りょうしゃの付値つけね環たまきは一致いっちする。

付値つけねの同値どうちについて、以下いかのことが成立せいりつする。

• 付値つけねの同値どうちは、加法かほう付値つけねもしくは乗法じょうほう付値つけねの同値どうち関係かんけいとなる。
• 自明じめいな（加法かほう）付値つけねは、自明じめいではない（加法かほう）付値つけねとは同値どうちにはならない。
• 任意にんいの乗法じょうほう付値つけねは、三角さんかく不等式ふとうしき |x + y| ≤ |x| + |y| を満みたす乗法じょうほう付値つけね |•| に同値どうちである。
• ２ふたつの乗法じょうほう付値つけねが同値どうちであれば、共ともにアルキメデス付値つけねであるか、もしくは共ともに非ひアルキメデス付値つけねであるかのどちらか一方いっぽうが成立せいりつする

オストロフスキーの定理ていり

有理数ゆうりすう体たい上じょうの乗法じょうほう付値つけねは、以下いかのいずれかと同値どうちである。

• 自明じめいな付値つけね
• 素数そすう p に対たいする p-進すすむ付値つけね
• 絶対ぜったい値ち

付値つけねの延長えんちょう

体からだ L の部分ぶぶん体たいと同型どうけいとなる体からだを K とする。K の付値つけね v_K に対たいして、L の付値つけね v_L が存在そんざいして

$v_{K}(a)=v_{L}(a)\quad (\forall a\in K)$

を満みたすとき、賦ふ値ち v_L は賦ふ値ち v_K の L への延長えんちょうまたは拡張かくちょうであるといい、v_K は v_L の K への縮小しゅくしょうまたは制限せいげんであるという。

付値つけねの延長えんちょうの存在そんざい性せいについて、加法かほう付値つけねに対たいしては、体からだ K の任意にんいの拡大かくだい体たい L と K の加法かほう付値つけね v に対たいして、v の L への延長えんちょうとなる、階数かいすうが v の階数かいすうと等ひとしい付値つけね v_L が存在そんざいする。 また、乗法じょうほう付値つけねに関かんしては、非ひアルキメデス付値つけねは（階数かいすうが 1 以下いかの加法かほう付値つけねである）指数しすう付値つけねと一対一いちたいいちの対応たいおうが付つけられるので、上記じょうきのことから、任意にんいの拡大かくだい体たいに対たいして与あたえられた非ひアルキメデス付値つけねの（非ひアルキメデス付値つけねである）延長えんちょうが存在そんざいする。 アルキメデス付値つけねに関かんしては、任意にんいの代数だいすう拡大かくだい体たいに対たいして、与あたえられたアルキメデス付値つけねの（アルキメデス付値つけねである）延長えんちょうが存在そんざいするが、非ひアルキメデス付値つけねの場合ばあいと異ことなり、代数だいすう拡大かくだいではない拡大かくだい体たいに対たいして与あたえられたアルキメデス付値つけねの延長えんちょうが存在そんざいするとは限かぎらない。

例たとえば、複素数ふくそすう体たい上じょうの絶対ぜったい値ちを、複素数ふくそすう体たい上じょうの 1-変数へんすう有理ゆうり関数かんすう体たい C(t) に延長えんちょうすることはできない。しかし、有理数ゆうりすう体たい上じょうの絶対ぜったい値ちは実数じっすう体たい上じょうに延長えんちょうできるので、代数だいすう拡大かくだい以外いがいの拡大かくだい体たいへの延長えんちょうが全まったく存在そんざいしないというわけではない。

体からだ L の付値つけね v の部分ぶぶん体たい K への縮小しゅくしょうで得えられる付値つけね v_K は、v に対たいして一意的いちいてきに決きまるが、付値つけね v_K の L への延長えんちょうで得えられる付値つけねは v だけとは限かぎらない。L が K の有限ゆうげん次じ拡大かくだい体たいであるとき、最大さいだい [L : K] 個この互たがいに同値どうちではない v_K の延長えんちょうとなる付値つけねが存在そんざいする。より正確せいかくには次つぎが成立せいりつする。

体からだ K に対たいする加法かほう付値つけねを v とする。L を K の有限ゆうげん次代じだい数すう拡大かくだい体たいとし、w₁, ... , w_n を v の L への互たがいに同値どうちではない延長えんちょう全体ぜんたいとする。v, w_i それぞれの剰余じょうよ体たい、値ね群ぐんをそれぞれ F, F_i, G, G_i とし、e_i = #(G_i/G), f_i = [F_i  : F] とおくと、

$\sum _{i=1}^{n}e_{i}f_{i}\leq [L:K]$

が成立せいりつする。 なお上うえ式しきにおいて、例たとえば v が離散りさん付値つけねであり L が K 上うえ分離ぶんり拡大かくだいであるならば、等号とうごうが成立せいりつする。

この定理ていりに現あらわれる e_i, f_i を w_i の v に対たいする分岐ぶんき指数しすう、剰余じょうよ次数じすう（または相対そうたい次数じすう）という。

ある i に対たいして e_i = 1 となるとき、w_i は不ふ分岐ぶんきであるといい、e_i > 1 であるとき分岐ぶんきするという。さらに f_i = 1 となるとき、w_i は完全かんぜん分岐ぶんきであるという。 特とくに g = 1 つまり、v の延長えんちょうが同値どうちなものを除のぞいて w しか存在そんざいしないとき、w の v に対たいする分岐ぶんき指数しすう e および剰余じょうよ次数じすう f を、L の K に対たいする分岐ぶんき指数しすうおよび剰余じょうよ次数じすう（または相対そうたい次数じすう）という。さらに L の剰余じょうよ体たいが K の剰余じょうよ体たいの分離ぶんり拡大かくだいであるとき、e = 1, f = [L : K] であるならば拡大かくだい L/K は不ふ分岐ぶんき、e = [L : K], f = 1 であるならば拡大かくだい L/K は完全かんぜん分岐ぶんきであるという。

近似きんじ定理ていり

どのふたつも互たがいに同値どうちではない、体からだ K の非ひ自明じめいな乗法じょうほう付値つけね |•|₁, ... , |•|_n に対たいし、K の任意にんいの元もと a₁, ... , a_n と正数せいすう εいぷしろん₁, ... , εいぷしろん_n に対たいして、K の元もと b が存在そんざいして

$|b-a_{i}|_{i}<\varepsilon _{i}$

が全すべての i に対たいして成立せいりつする。これを乗法じょうほう付値つけねに対たいする近似きんじ定理ていりという。

上記じょうきの乗法じょうほう付値つけねの組くみを相あい異ことなる素数そすう p からなる p-進すすむ付値つけねとすれば、この定理ていりは、中国ちゅうごく剰余じょうよ定理ていりを表あらわしている。

独立どくりつ性せい定理ていり

どのふたつも互たがいに同値どうちではない、体からだ K の非ひ自明じめいな乗法じょうほう賦ふ値ち |•|₁, ... , |•|_n にたいし、実数じっすう c₁, ... ,c_n が存在そんざいして、K の 0 でない任意にんいの元もと a に対たいし

$\prod _{i=1}^{n}|a|_{i}^{c_{i}}=1$

が成立せいりつするならば、c₁ = … = c_n = 0 である。これを乗法じょうほう付値つけねに対たいする独立どくりつ性せい定理ていりという。

積せき公式こうしき

詳細しょうさいは「積せき公式こうしき」を参照さんしょう

V を体からだ K の自明じめいな付値つけね以外いがいの互たがいに同値どうちではない乗法じょうほう付値つけねからなる集合しゅうごうとする。上述じょうじゅつの独立どくりつ性せい定理ていりにより、V が有限ゆうげん集合しゅうごうであれば、

$\prod _{|\bullet |\in V}|a|\neq 1$

となる K の元もと a が必かならず存在そんざいする。そこで、V を無限むげん集合しゅうごうとし、K の元もと a ごとに、積せきをとる乗法じょうほう付値つけねを V からうまく選えらぶことにすれば

$\prod _{|\bullet |_{i}\in V \atop i=1,\ldots ,n}|a|_{i}=1$

が 0 でない全すべての元もと a に対たいして成なり立たつ様ようにできる可能かのう性せいがある。もし、この様ようなことができる場合ばあい、K と V に対たいして、積せき公式こうしきが成なり立たつという。

例たとえば K を有理数ゆうりすう体たいとし、V を全すべての素数そすうに対たいする p-進すすむ付値つけねと、絶対ぜったい値ちからなる集合しゅうごうとすれば、積せき公式こうしきが成なり立たつ。

素もと点てん

体からだ K の自明じめいではない乗法じょうほう付値つけね全体ぜんたいの集合しゅうごうを付値つけねの同値どうちで類別るいべつした集合しゅうごうを V としたとき、V の元もとを K の素もと点てんもしくは素す因子いんしという。素もと点てんの元もとにアルキメデス付値つけねが含ふくまれている場合ばあい、その素もと点てんに含ふくまれている乗法じょうほう付値つけねはすべてアルキメデス付値つけねであり、その様ような素もと点てんを無限むげん素もと点てんもしくは無限むげん素もと因子いんしという。 オストロフスキーの定理ていりより、アルキメデス付値つけねを持もつ体からだは実数じっすう体からだもしくは複素数ふくそすう体たいに埋うめ込こまれ、どちらの体からだに埋うめ込こまれるかはアルキメデス付値つけねによって決きまる。このことから無限むげん素もと点てんの代表だいひょう元もとが実数じっすう体たいの中なかへの同型どうけい写像しゃぞうによって得えられるとき、この無限むげん素もと点てんを実じつ無限むげん素もと点てんもしくは実じつ無限むげん素もと因子いんしといい、実数じっすう体たいではなく、複素数ふくそすう体たいの中なかへの同型どうけい写像しゃぞうによって得えられるとき、複素ふくそ無限むげん素もと点てんもしくは複素ふくそ無限むげん素もと因子いんしという。実じつ無限むげん素もと点てんとなるか複素ふくそ無限むげん素もと点てんとなるかは、無限むげん素もと点てんの代表だいひょう元もとによらない。 また、素もと点てんが非ひアルキメデス付値つけねを含ふくむ場合ばあい、その素もと点てんに含ふくまれている乗法じょうほう付値つけねはすべて非ひアルキメデス付値つけねであり、その様ような素もと点てんを有限ゆうげん素もと点てんもしくは有限ゆうげん素もと因子いんしという。 素もと点てんの例れいとしては、例たとえば代数だいすう体たいの素もと点てんを参照さんしょうのこと。

体からだ K の拡大かくだい体たいを L とする。K の素もと点てん ${\mathfrak {p}}$ に含ふくまれる付値つけね v に対たいして、v の L への延長えんちょうが存在そんざいし、そのうちの１ひとつを wとし、w を含ふくむ L の素もと点てんを ${\mathfrak {P}}$ とすれば、素もと点てん ${\mathfrak {P}}$ を素もと点てん ${\mathfrak {p}}$ の L への延長えんちょうといい、${\mathfrak {p}}$ を ${\mathfrak {P}}$ の縮小しゅくしょうという。

任意にんいの体からだおよび素もと点てんに対たいして、部分ぶぶん体たいへの素もと点てんの縮小しゅくしょうは必かならず存在そんざいして、素もと点てんの代表だいひょう元もとによらず一意的いちいてきに決きまるが、素もと点てんの延長えんちょうに対たいしては存在そんざいしたとしても一般いっぱん的てきには複数ふくすう存在そんざいする。しかし、ある素もと点てんに対たいする素もと点てんの延長えんちょうの集合しゅうごうは、元もとの素もと点てんの代表だいひょう元もとによらず一意的いちいてきに決きまる。

参考さんこう文献ぶんけん

• ニコラ・ブルバキ 著しる、中沢なかざわ英昭ひであき 訳わけ『ブルバキ数学すうがく原論げんろん 可か換かわ代数だいすう3』東京とうきょう図書としょ、東京とうきょう、1971年ねん。 
• 藤崎ふじさき源みなもと二郎じろう『体からだとガロア理論りろん』岩波書店いわなみしょてん、東京とうきょう〈岩波いわなみ基礎きそ数学すうがく選書せんしょ〉、1991年ねん。 
• 松村まつむら英之ひでゆき『可か換かわ環たまき論ろん』共立きょうりつ出版しゅっぱん、東京とうきょう、1980年ねん。 
• 永田ながた雅みやび宜よろし『可か換かわ環たまき論ろん』紀伊國屋きのくにや書店しょてん、東京とうきょう、1985年ねん。 
• 永田ながた雅みやび宜むべ『可か換かわ体からだ論ろん（新版しんぱん）』裳も華はな房ぼう、東京とうきょう、1985年ねん。 
• 斎藤さいとう秀司しゅうじ『整数せいすう論ろん』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈共立きょうりつ講座こうざ21世紀せいきの数学すうがく(20)〉、1997年ねん。ISBN 978-4320015722。 
• ユルゲン・ノイキルヒ『代数だいすう的てき整数せいすう論ろん』梅垣うめがき敦あつし紀き訳やく、足立あだち恒雄つねお監修かんしゅう、シュプリンガーフェアラーク東京とうきょう、2003年ねん。 

関連かんれん項目こうもく

• 絶対ぜったい値ち
• ノルム
• 付値つけね体たい
• 代数だいすう的てき整数せいすう論ろん