ノルム線型せんけい空間くうかん

数学すうがくにおけるノルム線型せんけい空間くうかん（ノルムせんけいくうかん、英えい: normed vector space; ノルム付つきベクトル空間くうかん、ノルム付つき線型せんけい空間くうかん）または短みじかくノルム空間くうかんは、ノルムの定義ていぎされたベクトル空間くうかんを言いう^[1]。

各かく成分せいぶんが実数じっすうの、二に次元じげんあるいは三さん次元じげんのベクトルからなる空間くうかんでは、直観ちょっかん的てきにベクトルの「大おおきさ」（長ながさ）の概念がいねんが定義ていぎできる。この直観ちょっかん的てきアイデアを任意にんい有限ゆうげん次元じげんの実み数かずベクトル空間くうかん $R n$ に拡張かくちょうするのは容易たやすい。ベクトル空間くうかんにおけるそのようなベクトルの大おおきさは以下いかのような性質せいしつを持もつ:

零れいベクトル $0$ は大おおきさ零れい、そのほかのベクトルは正せいの大おおきさを持もつ。
ベクトルを正数せいすう倍ばいすると、向むきはそのままに大おおきさだけが変化へんかする。
三角さんかく不等式ふとうしきを満足まんぞくする。つまり、ベクトルの大おおきさを距離きょりと見みて、点てん $A$ から点てん $B$ を経由けいゆしての点てん $C$ まで行いくときの距離きょりは直接ちょくせつ $A$ から $C$ まで行いく距離きょりよりも短みじかくなることはない（任意にんいの二に点てん間あいだの最短さいたん距離きょりは直線ちょくせん距離きょりである）。

これらの三さん性質せいしつをより抽象ちゅうしょう的てきなベクトル空間くうかんへ一般いっぱん化かすることでノルムの概念がいねんは与あたえられる。ノルム空間くうかん（および半はんノルム空間くうかん）は線型せんけい代数だいすう学がくおよび函数かんすう解析かいせき学がくの研究けんきゅうの中核ちゅうかくである。

定義ていぎ

ノルム体たい $K$ 上うえのノルム線型せんけい空間くうかんとは、 $K$ -線型せんけい空間くうかん $V$ と $V$ 上うえのノルム $‖ • ‖$ の組くみ $(V, ‖ • ‖)$ を言いう。ノルムは以下いかの性質せいしつ

半はん正せい値ち性せい: $\|x\|\geq 0\ (\forall x\in V),\quad \|x\|=0\iff x=0$
斉ひとし次つぎ性せい: $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|\quad (\forall x\in V,\alpha \in K)$
劣れつ加法かほう性せい（三角さんかく不等式ふとうしき）: $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad (\forall x,y\in V)$

を満みたす実じつ数値すうち函数かんすう $‖ • ‖: V \to R$ であった。またこの三さん条件じょうけんを、最初さいしょの条件じょうけんのうち $‖ x ‖ = 0 \Rightarrow x = 0$ を除のぞいてすべて満足まんぞくするものは半はんノルムと呼よばれ、 $V$ と半はんノルム $p$ との組くみ $(V, p)$ は同様どうように半はんノルム空間くうかんと呼よばれる（半はんノルム空間くうかんについての詳細しょうさいは半はんノルムおよび局所きょくしょ凸とつ空間くうかんも参照さんしょうのこと）。

文脈ぶんみゃく上じょう、どの（半はん）ノルムを考かんがえているか明あきらかで紛まぎれのおそれの無ない場合ばあいには、 $‖ • ‖$ や $p$ を落おとして、単たんに（半はん）ノルム空間くうかん $V$ のように書かく。

三角さんかく不等式ふとうしきに関かんして、以下いかのような変形へんけい版ばん

逆ぎゃく向むきの三角さんかく不等式ふとうしき:

\|x-y\|\geq {\bigl |}\,\|x\|-\|y\|\,{\bigr |}

も有用ゆうようである。これはベクトルのノルムが連続れんぞく写像しゃぞうであることも示しめしている。

注意ちゅういすべきは、条件じょうけん 2. は係数けいすう体たい上じょうの「ノルム」の取とり方かたに依存いぞんすることである。係数けいすう体たいが実数じっすう体からだ $R$ （やより一般いっぱんに複素数ふくそすう体からだ $C$ の部分ぶぶん体たい）であるときには、普通ふつうは通常つうじょうの絶対ぜったい値ちをとるが、ほかの選択せんたくも可能かのうである。例たとえば $Q$ -線型せんけい空間くうかん上じょうで $|•|$ を $p$ -進すすむノルムとすることができ、異ことなるノルム空間くうかんのクラス（ $p$ -進すすむノルム空間くうかん）が生しょうじる。

位相いそう構造こうぞう

$(V, ‖ • ‖)$ がノルム空間くうかんならば、ノルム $‖ • ‖$ は距離きょり函数かんすう（および距離きょりの概念がいねん）を誘導ゆうどうし、 $V$ 上うえの位相いそうを定義ていぎする。この距離きょり函数かんすうは自然しぜんな仕方しかたで定義ていぎされる（すなわち、二ふたつのベクトル $u, v$ の絶対ぜったい差さ $‖ u - v ‖$ で与あたえられる）。この位相いそうは、ちょうど $‖ • ‖$ を連続れんぞくにする最さい弱じゃくの位相いそうであり、以下いかの性質せいしつ

ベクトルの加法かほう（英語えいご版ばん） $+: V \times V \to V$ はこの位相いそうに関かんして二に変数へんすうの連続れんぞく写像しゃぞうである（これは三角さんかく不等式ふとうしきから直接ちょくせつに従したがう）。
スカラー乗法じょうほう $\cdot: K \times V \to V$ はこの位相いそうに関かんして二に変数へんすうの連続れんぞく写像しゃぞうである（これは三角さんかく不等式ふとうしきとノルムの斉ひとし次つぎ性せいから従したがう）。ここに $K$ は $V$ の係数けいすう体たいとする。

が成なり立たつという意味いみで $V$ の線型せんけい構造こうぞうとも両立りょうりつする。

同様どうように、半はんノルム空間くうかんにおいても $p (u - v)$ とおけば擬なずらえ距離きょり空間くうかんの構造こうぞうが入はいり、連続れんぞく性せいや極限きょくげんなどの概念がいねんを定義ていぎすることができるようになる。もう少すこし抽象ちゅうしょう的てきに言いえば、任意にんいの半はんノルム空間くうかんは位相いそう線型せんけい空間くうかんであり、半はんノルムの誘導ゆうどうする位相いそう構造こうぞうが入はいる。

特別とくべつな興味きょうみがもたれるのは完備かんびなノルム空間くうかんで、バナッハ空間くうかんと呼よばれる。任意にんいのノルム線型せんけい空間くうかん $V$ は適当てきとうなバナッハ空間くうかんに稠密ちゅうみつ部分ぶぶん空間くうかんとして含ふくまれる。そのようなバナッハ空間くうかんは $V$ に対たいして本質ほんしつ的てきに一意いちいに定さだまり、 $V$ の完備かんび化かと呼よばれる。

有限ゆうげん次元じげん線型せんけい空間くうかんの全すべてのノルムは、それが同おなじ位相いそうを誘導ゆうどうするという位相いそう的てきな観点かんてんから同値どうちである（ただし、得えられる距離きょり空間くうかんは同おなじとは限かぎらない）^[2]。また、任意にんいのユークリッド空間くうかんは完備かんびであるから、任意にんいの有限ゆうげん次元じげんノルム空間くうかんがバナッハであることが帰結きけつできる。ノルム空間くうかん $V$ が局所きょくしょコンパクトとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、単位たんい球体きゅうたい $B = {x : ‖ x ‖ \leq 1}$ がコンパクトとなることであり、それはまた $V$ が有限ゆうげん次元じげんであることと同値どうちである（これはリースの補題ほだいの帰結きけつである）。実じつはより一般いっぱんの結果けっかとして「位相いそう線型せんけい空間くうかんが局所きょくしょコンパクトとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それが有限ゆうげん次元じげんとなることである」が成なり立たつ。

半はんノルム空間くうかんの位相いそうは多おおくの良よい性質せいしつを満足まんぞくする。零れいベクトル $0$ の近傍きんぼう系けい $N (0)$ は、各かく点てん $x$ の近傍きんぼう系けいを

{\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N\mid N\in {\mathcal {N}}(0)\}\quad (x+N:=\{x+n\mid n\in N\})

とおくことにより構成こうせいできる。さらに、併呑へいどん凸とつ集合しゅうごうからなる $0$ の近傍きんぼう基もとが存在そんざいする。この性質せいしつがあることは函数かんすう解析かいせき学がくにおいて有用ゆうようであり、ノルム空間くうかんを一般いっぱん化かする概念がいねんとしてこの性質せいしつを満足まんぞくするような位相いそう線型せんけい空間くうかんを局所きょくしょ凸とつ空間くうかんと呼よぶ。

線型せんけい写像しゃぞうと双対そうつい空間くうかん

ノルム空間くうかんの間あいだの写像しゃぞうで最もっとも重要じゅうようなのは、連続れんぞくな線型せんけい写像しゃぞうである。すべてのノルム空間くうかんとそれらの間あいだのすべての連続れんぞく線型せんけい写像しゃぞうは圏けんを成なす。

ノルムはそのベクトル空間くうかん上じょうの連続れんぞく函数かんすうであり、また有限ゆうげん次元じげん線型せんけい空間くうかんの間あいだの任意にんいの線型せんけい写像しゃぞうは連続れんぞくである。

二ふたつのノルム空間くうかんの間あいだの等とう距写像ぞう (isometry) は、線型せんけい写像しゃぞう $f$ でノルムを保たもつものを言いう（すなわち、 $‖ f (v) ‖ = ‖ v ‖ (\forall v \in V)$ ）。等とう距写像ぞうは常つねに連続れんぞくかつ単たん射いである。ノルム空間くうかん $V$ と $W$ の間あいだの全ぜん射い等とう距写像ぞうは等とう距同型がた写像しゃぞうと言いい、 $V$ と $W$ とは互たがいに等とう距同型がたであると言いう。等とう距同型がたなノルム空間くうかんは実用じつよう上じょうは同おなじものと考かんがえられる。

ノルム空間くうかんについて考かんがえるとき、双対そうつい空間くうかんの概念がいねんに関かんする議論ぎろんはそのノルムも勘案かんあんした意味いみで言いう。すなわち、ノルム空間くうかん $V$ の双対そうつい空間くうかん $V'$ は $V$ から係数けいすう体たい（それは普通ふつう実数じっすう体たい $R$ または複素数ふくそすう体たい $C$ ）への連続れんぞく線型せんけい写像しゃぞう（この場合ばあい、線型せんけい写像しゃぞうのことを（線型せんけい）汎ひろし函数かんすうと言いう）。汎ひろし函数かんすう $φ ふぁい$ のノルムは、 $V$ の全すべての単位たんいベクトル（ノルム $1$ のベクトル） $v$ に亙わたって取とった $| φ ふぁい (x)|$ の上限じょうげん（上限じょうげんノルム）として定義ていぎされる。これにより双対そうつい空間くうかん $V'$ はノルム空間くうかんとなる。ノルム空間くうかん上じょうの連続れんぞく線型せんけい汎ひろし函数かんすうに関かんする重要じゅうような定理ていりに、ハーン–バナッハの定理ていりがある。

半はんノルム空間くうかんの商しょう

多おおくのノルム空間くうかん（特とくにバナッハ空間くうかん）の定義ていぎとして、まずベクトル空間くうかん上じょうに半はんノルムを定義ていぎして、それから半はんノルム $0$ の元もとの成なす部分ぶぶん空間くうかんによる商しょう空間くうかんとしてノルム空間くうかんを作つくるという方法ほうほうが見みられる。例たとえば、 $L p$ -空間くうかんは

\|f\|_{p}={\Bigl (}\int |f(x)|^{p}\;dx{\Bigr )}^{1/p}

で定義ていぎされる函数かんすうを半はんノルムとする、右辺うへんのルベーグ積分せきぶんが定義ていぎされて有限ゆうげんとなる函数かんすう全体ぜんたいの成なす線型せんけい空間くうかんである。ただし、ルベーグ測度そくどに関かんする零れい集合しゅうごう上うえに台だいを持もつ任意にんいの函数かんすうは、半はんノルム $0$ である。そのような函数かんすうの全体ぜんたいは部分ぶぶん空間くうかんを成なすが、その部分ぶぶん空間くうかんで「割わって」しまえば、それらの函数かんすうは全すべて零れい函数かんすうに同値どうちとすることができる。

ノルム空間くうかんの有限ゆうげん直積ちょくせき

$n$ 個この半はんノルム空間くうかん $(X i, q i)$ が与あたえられたとき、ノルム空間くうかんとしての直積ちょくせき空間くうかんは、ベクトル空間くうかんとしては

X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}\times X_{2}\times \dotsb \times X_{n}

は元もとごとの和わ

(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})

とスカラー倍ばい

\alpha (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})

で与あたえられる直積ちょくせきである。さらにその上うえに函数かんすう

q\colon X\to \mathbb {R}

を例たとえば

q\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})

.

と定さだめれば、この $q$ は $X$ 上うえの半はんノルムとなる。これがノルムとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、任意にんいの $q i$ がノルムとなることである。

より一般いっぱんに、任意にんいの実数じっすう $p \geq 1$ に対たいして半はんノルム

q\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\to {\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})^{p}{\Bigr )}^{1/p}

を得えることができる。どの $p$ についてもこの半はんノルムから得えられる位相いそう空間くうかんは同おなじである。

初等しょとう的てきな線型せんけい代数だいすう学がくの直接的ちょくせつてきな議論ぎろんにより、自明じめいな半はんノルムを備そなえたノルム空間くうかんの直積ちょくせき空間くうかんとして生しょうじるノルム空間くうかんは有限ゆうげん次元じげん半はんノルム空間くうかんに限かぎることが示しめせる。その帰結きけつとして、半はんノルム空間くうかんのより興味深きょうみぶかい例れいや応用おうようの多おおくは無限むげん次元じげん線型せんけい空間くうかんに対たいして起おきる。

参考さんこう文献ぶんけん

^ Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X
^ Kedlaya, Kiran S. (2010), p-adic differential equations, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 125, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76879-5 , Theorem 1.3.6

Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, ISBN 90-277-2186-6, MR920371, OCLC 13064804

外部がいぶリンク

Weisstein, Eric W. "Normed Space". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
normed vector space - PlanetMath.（英語えいご）
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Normed space”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
norm in nLab
Banach space in nLab

[text-1] Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X

[2] Kedlaya, Kiran S. (2010), p-adic differential equations, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 125, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76879-5 , Theorem 1.3.6

[1]

[2]

表ひょう話はなし編へん歴れき関数かんすう解析かいせき学がく
集合しゅうごう / 部分ぶぶん集合しゅうごうのタイプ	均衡きんこう星ほし状じょう絶対ぜったい凸とつ凸とつ併呑へいどん有界ゆうかい（英語えいご版ばん）放射状ほうしゃじょう（英語えいご版ばん）対称たいしょう（英語えいご版ばん）線型せんけい錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）凸とつ錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）
線型せんけい位相いそう空間くうかんのタイプ	バナッハ樽たる型がた界さかい相しょう Brauner（英語えいご版ばん） F-空間くうかん有限ゆうげん次元じげんフレシェ (tame) ヒルベルト LF空間くうかん局所きょくしょ凸とつマッキー（英語えいご版ばん）モンテル核かく型がたノルム付つき（ノルム）準じゅんノルム付つき回帰かいき的てきリーススミス（英語えいご版ばん） Stereotype（英語えいご版ばん）ウェブ付つき位相いそうテンソル積せき（英語えいご版ばん）（ヒルベルト空間くうかんの（英語えいご版ばん））
位相いそう	双対そうつい双対そうつい空間くうかん作用素さようそ強つよ（極ごく作用素さようそ） Ultrastrong（英語えいご版ばん）弱じゃく（作用素さようそ） Ultraweak（英語えいご版ばん）一様いちよう収束しゅうそく（英語えいご版ばん）
線型せんけい作用素さようそ	随伴ずいはん双そう線型せんけい（形式けいしき）有界ゆうかい / 非ひ有界ゆうかい閉（英語えいご版ばん）連続れんぞく / 不連続ふれんぞくコンパクトフレドホルムヒルベルト＝シュミット汎ひろし関数かんすう（正ただし（英語えいご版ばん））正規せいき核かく自己じこ共役きょうやく Strictly singular（英語えいご版ばん）トレースクラス転置てんちユニタリ
集合しゅうごうの操作そうさ	代数だいすう的てき内部ないぶ（核かく）内部ないぶミンコフスキー和わ（英語えいご版ばん）極ごく
バナッハ環たまき	C-環たまきスペクトル（C-環たまき（英語えいご版ばん）半径はんけい) スペクトル理論りろん
定理ていり	Eberlein–Šmulian（英語えいご版ばん）開ひらけ写像しゃぞう角谷かどやの不動点ふどうてんゲルファント＝マズールコーシー＝シュワルツの不等式ふとうしき Goldstine（英語えいご版ばん）シャウダーの不動点ふどうてんパーセヴァルの等式とうしきハーン–バナッハ（分離ぶんり超ちょう平面へいめん）バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語えいご版ばん） Banach–Mazur（英語えいご版ばん）フロイデンタールのスペクトル閉値域ちいき閉グラフベッセルの不等式ふとうしきマッキー＝アレンスマズールの補題ほだいリースの拡張かくちょう Lomonosov's invariant subspace（英語えいご版ばん）ニュートン＝カントロビッチ
解析かいせき	ボホナー空間くうかんフレシェ空間くうかんにおける微分びぶん（英語えいご版ばん）微分びぶん（フレシェガトー汎ひろし函数かんすう holomorphic（英語えいご版ばん））積分せきぶん（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス方正ほうせい弱じゃく) 汎ひろし函数かんすう計算けいさん（Borel（英語えいご版ばん） continuous（英語えいご版ばん） holomorphic（英語えいご版ばん））逆ぎゃく函数かんすう定理ていり（Nash–Moser theorem（英語えいご版ばん））ベクトル測度そくど
応用おうよう	量子力学りょうしりきがくの数学すうがく的てき定式ていしき化か有限ゆうげん要素ようそ法ほう偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいに対たいする精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん
日本人にっぽんじん研究けんきゅう者しゃ	加藤かとう敏夫としお吉田よしだ耕作こうさく藤田ふじた宏ひろし増田ますだ久弥ひさや
海外かいがいの研究けんきゅう者しゃ	リース・フリジェシュステファン・バナフダフィット・ヒルベルトイズライル・ゲルファントピーター・ラックス
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