加か群ぐんの直和なおかず

抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくにおける直和なおかず（ちょくわ、英えい: direct sum）は、いくつかの加か群ぐんを一ひとつにまとめて新あたらしい大おおきな加か群ぐんにする構成こうせいである。加か群ぐんの直和なおかずは、与あたえられた加か群ぐんを「不ふ必要ひつような」制約せいやくなしに部分ぶぶん加か群ぐんとして含ふくむ最小さいしょうの加か群ぐんであり、余よ積せきの例れいである。双対そうつい概念がいねんである直積ちょくせき（英語えいご版ばん）と対照たいしょうをなす。

この構成こうせいの最もっともよく知しられた例れいはベクトル空間くうかん（体からだ上うえの加か群ぐん）やアーベル群ぐん（整数せいすう環たまき Z 上うえの加か群ぐん）を考かんがえるときに起おこる。構成こうせいはバナッハ空間くうかんやヒルベルト空間くうかんをカバーするように拡張かくちょうすることもできる。

ベクトル空間くうかんとアーベル群ぐんに対たいする構成こうせい[編集へんしゅう]

まずこれら二ふたつについて、対象たいしょうが二ふたつだけの場合ばあいと仮定かていして構成こうせいを与あたえ、それからそれらを任意にんいの加か群ぐんの任意にんいの族ぞくに一般いっぱん化かする。一般いっぱん的てきな構成こうせいの重要じゅうような部分ぶぶんは、これら二ふたつのケースを深ふかく考かんがえることによって、よりはっきり浮うかび上あがってくるだろう。

2つのベクトル空間くうかんに対たいする構成こうせい[編集へんしゅう]

V と W を体からだ K 上うえのベクトル空間くうかんとする。カルテジアン積せき V × W に K 上うえのベクトル空間くうかんの構造こうぞうを成分せいぶんごとに演算えんざんを定義ていぎすることによって与あたえることができる (Halmos 1974, §18)： $v, v 1, v 2 \in V$ , $w, w 1, w 2 \in W$ , $α あるふぁ \in K$ に対たいして、

(v₁, w₁) + (v₂, w₂) = (v₁ + v₂, w₁ + w₂)
αあるふぁ (v, w) = (αあるふぁ v, αあるふぁ w)

得えられるベクトル空間くうかんは V と W の直和なおかず (direct sum) と呼よばれ、通常つうじょう円えんの中なかにプラスの記号きごうで表記ひょうきされる：

V\oplus W

順序付じゅんじょづけられた和わの元もとを順序じゅんじょ対たい (v, w) ではなく和わ v + w として書かくのが慣習かんしゅうである。

V ⊕ W の部分ぶぶん空間くうかん V × {0} は V に同型どうけいでありしばしば V と同一どういつ視しされる。{0} × W と W に対たいしても同様どうよう。（以下いかの内部ないぶ直和なおかずを見みよ。）この同どう一いち視しをして、V ⊕ W のすべての元もとは1つ、そしてただ1つの方法ほうほうで V の元もとと W の元もとの和わとして書かくことができる。V ⊕ W の次元じげんは V と W の次元じげんの和わに等ひとしい。

この構成こうせいはただちに任意にんいの有限ゆうげん個このベクトル空間くうかんに一般いっぱん化かする。

2つのアーベル群ぐんに対たいする構成こうせい[編集へんしゅう]

加法かほう的てきに書かかれるアーベル群ぐん G と H に対たいして、G と H の直積ちょくせき (direct product) はまた直和なおかず (direct sum) とも呼よばれる (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6)。したがってカルテジアン積せき G × H は成分せいぶんごとに演算えんざんを定義ていぎすることによってアーベル群ぐんの構造こうぞうが入はいる： $g 1, g 2 \in G$ , $h 1, h 2 \in H$ に対たいして、

(g₁, h₁) + (g₂, h₂) = (g₁ + g₂, h₁ + h₂)

整数せいすうを掛かけることは成分せいぶんごとに次つぎのように同様どうように定義ていぎされる。 $g \in G$ , $h \in H$ と、整数せいすう n に対たいして、

n(g, h) = (ng, nh)

これはベクトル空間くうかんの直和なおかずに対たいするスカラー倍ばいと同様どうようの定義ていぎである。

得えられるアーベル群ぐんは G と H の直和なおかず (direct sum) と呼よばれ、通常つうじょう円えんの中なかにプラスの記号きごうで表記ひょうきされる：

G\oplus H

順序付じゅんじょづけられた和わの元もとを順序じゅんじょ対たい (g, h) ではなく和わ g + h として書かくのが慣習かんしゅうである。

G ⊕ H の部分ぶぶん群ぐん G × {0} は G に同型どうけいでありしばしば G と同一どういつ視しされる。{0} × H と H に対たいしても同様どうよう。（以下いかの「内部ないぶ直和なおかず」を参照さんしょう。）この同どう一いち視しをして、G ⊕ H のすべての元もとは1つ、ただ1つの方法ほうほうでG の元もとと H の元もとの和わとして書かけるということが正ただしい。G ⊕ H のランクは G と H のランクの和わに等ひとしい。

この構成こうせいは直ただちに有限ゆうげん個このアーベル群ぐんに一般いっぱん化かする。

加か群ぐんの任意にんいの族ぞくに対たいする構成こうせい[編集へんしゅう]

2つのベクトル空間くうかんの直和なおかずと2つのアーベル群ぐんの直和なおかずの定義ていぎの間あいだの明あきらかな同様どうよう性せいに気付きづくべきである。実際じっさい、それぞれは2つの加か群ぐんの直和なおかずの構成こうせいの特別とくべつな場合ばあいである。さらに、定義ていぎを修正しゅうせいすることによって加か群ぐんの無限むげん族ぞくの直和なおかずに適用てきようすることもできる。正確せいかくな定義ていぎは以下いかのようである (Bourbaki 1989, §II.1.6)。

R を環たまきとし {M_i : i ∈ I} を集合しゅうごう I で添そえ字じづけられた左ひだり R-加か群ぐんの族ぞくとする。すると {M_i} の直和なおかず (direct sum) はすべての列れつ $(\alpha _{i})$ の集合しゅうごう、ただし $\alpha _{i}\in M_{i}$ であり有限ゆうげん個こを除のぞくすべての添そえ字じ i にたいして $\alpha _{i}=0$ 、と定義ていぎされる。（直積ちょくせき（英語えいご版ばん） (direct product) は類似るいじだが添そえ字じは有限ゆうげん個こを除のぞくすべてで消きえる必要ひつようはない。）

それはまた次つぎのようにも定義ていぎできる。I から加か群ぐん M_i の非ひ交和への関数かんすう αあるふぁであって、すべての i ∈ I に対たいして αあるふぁ(i) ∈ M_i であり有限ゆうげん個こを除のぞくすべての添そえ字じ i に対たいして αあるふぁ(i) = 0 であるようなもの。これらの関数かんすうは $i\in I$ 上うえのファイバーを $M_{i}$ として添そえ字じ集合しゅうごう I 上うえのファイバー束たばの有限ゆうげん台だい断面だんめんとして同値どうちに見みなすことができる。

この集合しゅうごうは成分せいぶんごとの和わとスカラー倍ばいを経由けいゆして加か群ぐんの構造こうぞうを引ひき継つぐ。具体ぐたい的てきには、2つのそのような列れつ（あるいは関数かんすう） αあるふぁと βべーたはすべての i に対たいして $(\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}$ （これは再ふたたび有限ゆうげん個こを除のぞくすべての添そえ字じに対たいして 0 であることに注意ちゅういする）と書かくことによって足たすことができ、そのような関数かんすうは R の元もと r によってすべての i に対たいして $r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}$ と定義ていぎすることによって掛かけることができる。このようにして、直和なおかずは左ひだり R-加か群ぐんになり、それは

\bigoplus _{i\in I}M_{i}.

と表記ひょうきされる。列れつ $(\alpha _{i})$ を和わ $\textstyle \sum \alpha _{i}$ として書かくのが慣習かんしゅうである。ときどき有限ゆうげん個こを除のぞくすべての項こうが 0 であることを示しめすためにプライム付づけ総和そうわ $\textstyle \sum '\alpha _{i}$ が使つかわれる。

性質せいしつ[編集へんしゅう]

直和なおかずは加か群ぐん M_i の直積ちょくせき（英語えいご版ばん）の部分ぶぶん加か群ぐんである(Bourbaki 1989, §II.1.7)。直積ちょくせきは I から加か群ぐん M_i の非ひ交和へのすべての関数かんすう αあるふぁ で αあるふぁ(i)∈M_i となるものの集合しゅうごうであるが、有限ゆうげん個こを除のぞくすべての i で消きえる必要ひつようはない。添そえ字じ集合しゅうごう I が有限ゆうげんであれば、直和なおかずと直積ちょくせきは等ひとしい。
加か群ぐんの各かく M_i は i とは異ことなるすべての添そえ字じ上じょうで消きえる関数かんすうからなる直和なおかずの部分ぶぶん加か群ぐんと同一どういつ視しできる。これらの同どう一いち視しをして、直和なおかずのすべての元もと x は1つ、そしてただ1つの方法ほうほうで加か群ぐん M_i たちの有限ゆうげん個この元もとの和わとして書かける。
M_i が実じつはベクトル空間くうかんであれば、直和なおかずの次元じげんは M_i の次元じげんの和わに等ひとしい。同おなじことはアーベル群ぐんのランクと加か群ぐんの長ながさに対たいしても正ただしい。
体からだ K 上うえのすべてのベクトル空間くうかんは十じゅう分ふんたくさんの K のコピーの直和なおかずに同型どうけいであり、したがってある意味いみ考かんがえられなければならないのはこれらの直ちょく和わだけである。これは任意にんいの環たまき上じょうの加か群ぐんに対たいしては正ただしくない。
テンソル積せきは次つぎの意味いみで直ちょく和上わじょう分配ぶんぱいする： N が右みぎ R-加か群ぐんであれば、N の M_i とのテンソル積せき（これはアーベル群ぐん）の直和なおかずは自然しぜんに N の M_i の直和なおかずとのテンソル積せきと同型どうけいである。
直和なおかずはまた（同型どうけいを除のぞいて）可か換かわであり結合けつごう的てきである、つまりどんな順番じゅんばんで直和なおかずを作つくろうが関係かんけいない。
直和なおかずからある左ひだり R-加か群ぐん L への R-線型せんけい準じゅん同型どうけいの群ぐんは自然しぜんに M_i から L への R-線型せんけい準じゅん同型どうけいの群ぐんの直積ちょくせきに同型どうけいである：
$\operatorname {Hom} _{R}\!{\bigg (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}(M_{i},L).$

実際じっさい、明あきらかに左辺さへんから右辺うへんへの準じゅん同型どうけい τたう が存在そんざいする、ただし τたう(θしーた)(i) は（M_i の直ちょく和わへの自然しぜんな包含ほうがんを使つかって） x∈M_i を θしーた(x) に送おくる R-線型せんけい準じゅん同型どうけいである。準じゅん同型どうけい τたう の逆ぎゃくは加か群ぐん M_i の直和なおかずの任意にんいの αあるふぁ に対たいして

$\tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))$

で定義ていぎされる。重要じゅうような点てんは αあるふぁ(i) が有限ゆうげん個こを除のぞくすべての i に対たいして 0 でありしたがって和わが有限ゆうげんであるから τたう⁻¹ の定義ていぎは意味いみをなすということである。

とくに、ベクトル空間くうかんの直和なおかずの双対そうついベクトル空間くうかんはそれらの空間くうかんの双対そうついの直積ちょくせきに同型どうけいである。
加か群ぐんの有限ゆうげん直和なおかずは双そう積せき（英語えいご版ばん）である：
$p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}$

が自然しぜんな射影しゃえい写像しゃぞうであり
$i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}$

が包含ほうがん写像しゃぞうであれば、
$i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}$

は A₁ ⊕ ··· ⊕ A_n の恒等こうとう射しゃに等ひとしく、
$p_{k}\circ i_{l}$

は l=k のとき A_k の恒等こうとう射しゃでありそれ以外いがいでは零れい写像しゃぞうである。

内部ないぶ直和なおかず[編集へんしゅう]

「内部ないぶ直和なおかず（英語えいご版ばん）」も参照さんしょう

$M$ を $R$ -加か群ぐんとし、 $M i (i \in I)$ はすべて $M$ の部分ぶぶん加か群ぐんとする。すべての $x \in M$ が $M i$ の有限ゆうげん個この元もとの和わとして一いち通とおり、かつ一いち通とおりに限かぎり書かくことができるならば、 $M$ は部分ぶぶん加か群ぐんの族ぞく $M i$ の内部ないぶ直和なおかず (internal direct sum) であると言いう (Halmos 1974, §18)。この場合ばあい、 $M$ は、上うえで定義ていぎされた $M i$ たちの（外部がいぶ）直和なおかずと自然しぜん同型どうけいである (Adamson 1972, p.61)。

$M$ の部分ぶぶん加か群ぐん $N$ が $M$ の直和なおかず成分せいぶんまたは直和なおかず因子いんし (direct summand) であるとは、 $M$ の別べつの部分ぶぶん加か群ぐん $N'$ が存在そんざいして $M$ は $N$ と $N'$ の内部ないぶ直和なおかずとなるときにいう。このとき、 $N$ と $N'$ は互たがいに補ほ（complementary submodule; 相補そうほ部分ぶぶん加か群ぐん、ベクトル空間くうかんの場合ばあい相補そうほ部分ぶぶん空間くうかん）であるという。

普遍ふへん性せい[編集へんしゅう]

圏けん論ろんの言葉ことばでは、直和なおかずは余よ積せきでありしたがって左ひだり R-加か群ぐんの圏けんの余よ極限きょくげんである、つまりそれは以下いかの普遍ふへん性せいによって特徴とくちょうづけられる。すべての i ∈ I に対たいして、 M_i の元もとを i を除のぞくすべての変数へんすうに対たいして 0 である関数かんすうに送おくる自然しぜんな埋うめ込こみ

j_{i}\colon M_{i}\to \bigoplus _{k\in I}M_{k}

を考かんがえよ。f_i : M_i → M がすべての i に対たいして任意にんいの R-線型せんけい写像しゃぞうであれば、ちょうど1つの R-線型せんけい写像しゃぞう

f\colon \bigoplus _{i\in I}M_{i}\to M

が存在そんざいして、すべての i に対たいして f o j_i = f_i である。

双対そうつい的てきに、直積ちょくせきは積せきである。

グロタンディーク群ぐん[編集へんしゅう]

直和なおかずは対象たいしょうの集合しゅうごうに可か換かわモノイドの構造こうぞうを対象たいしょうの和わは定義ていぎされるが差さはされないという意味いみで与あたえる。実じつは、差さを定義ていぎすることができ、すべての可か換かわモノイドはアーベル群ぐんに拡張かくちょうすることができる。この拡張かくちょうはグロタンディーク群ぐんとして知しられている。拡張かくちょうは対象たいしょうのペアの同値どうち類るいを定義ていぎすることによってされる、これによってあるペアを逆ぎゃく元もととして扱あつかうことができる。この構成こうせい（詳細しょうさいはグロタンディーク群ぐんの項こうを見みよ）は、一意いちいであるという普遍ふへん性せいをもつ点てんで「普遍ふへん的てき」であり、アーベルモノイドのアーベル群ぐんへの任意にんいの他ほかの埋うめ込こみに準じゅん同型どうけいである。

付加ふか的てきな構造こうぞうをもった加か群ぐんの直和なおかず[編集へんしゅう]

考かんがえている加か群ぐんが付加ふか的てきな構造こうぞう（例たとえばノルムや内積ないせき）をもっていれば、加か群ぐんの直和なおかずもしばしばこの付加ふか的てきな構造こうぞうをもつようにできる。この場合ばあい、付加ふか的てきな構造こうぞうをもっているすべての対象たいしょうの適切てきせつな圏けんにおける余よ積せきを得える。2つの顕著けんちょな例れいはバナッハ空間くうかんとヒルベルト空間くうかんに対たいして起おこる。

古典こてん的てきなテクストには、さらに体からだ上じょうの多元たげん環たまきの直和なおかずの概念がいねんを導入どうにゅうするものもある。しかしながらその構成こうせいは、多元たげん環たまきの圏けんにおける余よ積せきではなくて直積ちょくせきを与あたえるものになる（次つぎの節ふしの注意ちゅういを参照さんしょう、あるいは自明じめいでない単位たんい的てき環たまきの無限むげん族ぞくに加法かほう群ぐんとしての直ちょく和わをとり成分せいぶんごとの積せきを入いれたものは単位たんい元もとを持もたないことを想起そうきせよ）。

多元たげん環たまきの直和なおかず[編集へんしゅう]

多元たげん環たまき $X$ と $Y$ の直和なおかずとは、ベクトル空間くうかんの直和なおかずに積せきを

(x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})

で入いれたものをいう。これらの古典こてん的てきな例れいを考かんがえよう：

$\mathbb {R\oplus R}$ は分解ぶんかい型がた複素数ふくそすうに環かん同型どうけいであり、区間くかん算術さんじゅつ（英語えいご版ばん）においても使つかわれる。
$\mathbb {C\oplus C}$ は 1848 年ねんにジェームズ・コックル（英語えいご版ばん）によって導入どうにゅうされたテッサリンの多元たげん環たまきである。
$\mathbb {H\oplus H}$ は、分解ぶんかい型がた双そう四よん元げん数すう（英語えいご版ばん）と呼よばれ、1873 年ねんにクリフォード（英語えいご版ばん）によって導入どうにゅうされた。

ジョゼフ・ウェダーバーン（英語えいご版ばん）は、自身じしんの超ちょう複素数ふくそすうの分類ぶんるいにおいて、多元たげん環たまきの直和なおかずの概念がいねんを利用りようした (Wedderburn, Lectures on Matrices (1934), page 151)。ウェダーバーンは多元たげん環たまきの直和なおかずと直積ちょくせきの違ちがいを以下いかのように明あきらかにしている。すなわち、直和なおかずに対たいして係数けいすう体たいは両方りょうほうの成分せいぶんに同時どうじに作用さようする ( $\lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y$ ) が、一方いっぽうで直積ちょくせきに対たいしては両方りょうほうではなく一方いっぽうのみがスカラー倍ばいされる ( $\lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y)$ ).

Ian R. Porteous は上記じょうきの直和なおかず三みっつをそれぞれ ${}^{2\!}{\boldsymbol {R}},\,{}^{2\!}{\boldsymbol {C}},\,{}^{2\!}{\boldsymbol {H}}$ と書かいて、自身じしんの Clifford Algebras and the Classical Groups (1995) で係数けいすう体たいとして用もちいた。

注意ちゅうい: 上記じょうきの構成こうせいは、ウェダーバーンの用もちいた直和なおかずと直積ちょくせきの語法ごほうに従したがったものだが、これは圏けん論ろんで用もちいる直和なおかずと直積ちょくせきの慣習かんしゅうとは異ことなる。圏けん論ろん的てきな用語ようごでは、ウェダーバーンの意味いみでの直和なおかずは圏けん論ろん的てき直積ちょくせきであり、一方いっぽうウェダーバーンの意味いみでの直積ちょくせきは余よ積せき（圏けん論ろん的てき直和なおかず）である（実じつはこれは（可か換かわ多元たげん環たまきに対たいして）多元たげん環たまきのテンソル積せきに対応たいおうする）。

合成ごうせい代数だいすう[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「合成ごうせい代数だいすう」を参照さんしょう

合成ごうせい代数だいすう $(A, *, N)$ は体からだ上じょうの多元たげん環たまき $A$ , 対たい合ごう $*$ および「ノルム」 $N (x) = xx *$ からなる。任意にんいの体からだ $K$ に対たいして、 $K$ と自明じめいなノルム（つまり $N (x) = x 2$ ）から始はじまる合成ごうせい代数だいすうの系列けいれつが生しょうじてくる。この系列けいれつは、多元たげん環たまきの直和なおかず $A \oplus A$ を作つくって新あらたな対たい合ごう $(x, y)* = x * - y$ を入いれるという帰納的きのうてきな手続てつづきによって得えられる。

レオナード・E・ディクソンが四よん元げん数すうを二重化にじゅうかして八はち元げん数すうを得えるためにこの構成こうせいを発明はつめいしており、直和なおかず $A \oplus A$ を利用りようするこの二重化にじゅうか法ほうはケイリー–ディクソン構成こうせいと呼よばれる。実例じつれいとして、 $K = ℝ$ （実数じっすう体からだ）から始はじめれば、系列けいれつとして複素数ふくそすう、四よん元げん数すう、八はち元げん数すう、十じゅう六ろく元げん数すうが生成せいせいされる。また $K = ℂ$ （複素数ふくそすう体からだ）と自明じめいなノルム $N (z) = z 2$ から始はじめれば、以下いか双そう複素数ふくそすう、双そう四よん元げん数すう（英語えいご版ばん）、双そう八はち元げん数すうと続つづく。

マックス・ツォルンは、古典こてん的てきなケイリー–ディクソン構成こうせいでは先さきの $(ℂ, z 2)$ の系列けいれつに属ぞくする代数だいすうの部分ぶぶん多元たげん環たまきとして生しょうじるいくつかの合成ごうせい代数だいすう（特とくに分解ぶんかい型がた八はち元げん数すう）を取とりこぼしてしまうことに気きが付ついた。そのために修正しゅうせいされたケイリー–ディクソン構成こうせい（これもまたもとの多元たげん環たまき $A$ から直和なおかず $A \oplus A$ を作つくる方法ほうほうに基もとづく）は、実数じっすう、分解ぶんかい型がた複素数ふくそすう、分解ぶんかい型がた四よん元げん数すう（英語えいご版ばん）、分解ぶんかい型がた八はち元げん数すうの系列けいれつを作つくるのに利用りようされる。

バナッハ空間くうかんの直和なおかず[編集へんしゅう]

二ふたつのバナッハ空間くうかん $X, Y$ の直和なおかずとは、 $X$ と $Y$ を単たんにベクトル空間くうかんと見みなしてとった直和なおかずに、ノルムを

\|(x,y)\|:=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}\quad (\forall x\in X,\forall y\in Y)

によって定さだめたものをいう。

一般いっぱんに、バナッハ空間くうかんの族ぞく $X i$ で、添字そえじ $i$ は添字そえじ集合しゅうごう $I$ をわたるものとするとき、直和なおかず $\textstyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}$ は、 $I$ 上うえで定義ていぎされた函数かんすう $x$ であって、 $x (i) \in X i (\forall i \in I)$ かつ

\|x\|:=\sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty

を満みたすものすべてからなる加か群ぐんである。ノルム $‖ x ‖$ は上記じょうきの和わで与あたえるものとすれば、このノルムを伴ともなった直和なおかずは再ふたたびバナッハ空間くうかんとなる。

例たとえば、添字そえじ集合しゅうごうを $I = N$ にとり $X i = R$ であれば、直和なおかず $\oplus i \in N X i$ はノルム $‖ a ‖ ≔ \sum i | a i |$ が有限ゆうげんとなる実じつ数列すうれつ $(a i)$ 全体ぜんたいの成なす数列すうれつ空間くうかん $l 1$ である。

バナッハ空間くうかん $X$ の閉部分ぶぶん空間くうかん $A$ が補ほ空間くうかんを持もつ (complemented) とは、 $X$ の別べつの閉部分ぶぶん空間くうかん $B$ が存在そんざいして $X$ は内部ないぶ直和なおかず $A \oplus B$ に等ひとしいことをいう。必かならずしもすべての閉部分ぶぶん空間くうかんが補ほ空間くうかんを持もつわけでないことに注意ちゅういしよう、例たとえば零れい列れつの空間くうかん $c 0$ は有界ゆうかい数列すうれつの空間くうかん $l \infty$ において補ほ空間くうかんを持もたない。

双そう線型せんけい形式けいしき付つき加か群ぐんの直和なおかず[編集へんしゅう]

$I$ を添字そえじ集合しゅうごうとする、双そう線型せんけい形式けいしきを備そなえた加か群ぐんの族ぞく ${(M i, b i) : i \in I}$ に対たいし、それらの直交ちょっこう直和なおかず (orthogonal direct sum) とは、単たんに加か群ぐんとしてのそれらの直和なおかずであって、

B((x_{i}),(y_{i}))=\sum _{i\in I}b_{i}(x_{i},y_{i})

で定義ていぎされる双そう線型せんけい形式けいしき $B$ をもったものを言いう^[1]。

ここで、上記じょうきの和わに非ひ零れいの項こうは有限ゆうげん個こしか現あらわれないから、この和わは添字そえじ集合しゅうごう $I$ が無限むげん集合しゅうごうであっても意味いみを成なす。また、複素ふくそ係数けいすうの場合ばあいには双そう線型せんけいを半双はんそう線型せんけいに置おき換かえて同様どうようのことができる。

ヒルベルト空間くうかんの直和なおかず[編集へんしゅう]

「正せい定値ていち核かく函数かんすう#直和なおかずとテンソル積せき（英語えいご版ばん）」も参照さんしょう

前節ぜんせつと同様どうようの仕方しかたで、有限ゆうげん個このヒルベルト空間くうかん $H 1, \dots, H n$ が与あたえられたとき、

\langle (x_{1},...,x_{n}),(y_{1},...,y_{n})\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +...+\langle x_{n},y_{n}\rangle

を内積ないせきとして直交ちょっこう直和なおかずが定義ていぎできる。得えられる直和なおかずは与あたえられたヒルベルト空間くうかんを互たがいに直交ちょっこうする部分ぶぶん空間くうかんとして含ふくむヒルベルト空間くうかんである。

無限むげん個このヒルベルト空間くうかん $H i (i \in I)$ が与あたえられたときにも、同おなじ構成こうせいを行おこなうことができる（内積ないせきの定義ていぎに際さいして、非ひ零れいな成分せいぶんは有限ゆうげん個こゆえ実質じっしつ有限ゆうげん和わとなることに注意ちゅういする）。ただし得えられるのは内積ないせき空間くうかんにはなるけれども、必かならずしも完備かんびにならない。そこで、この内積ないせき空間くうかんの完備かんび化かをヒルベルト空間くうかん $H i$ のヒルベルト空間くうかんとしての直和なおかずと定義ていぎする。

あるいは同おなじことだが、 $I$ 上うえ定義ていぎされた函数かんすう $α あるふぁ$ で

\alpha _{i}:=\alpha (i)\in H_{i}\quad (\forall i\in I)\quad {\text{ and }}\quad \sum _{i}\left\|\alpha _{i}\right\|^{2}<\infty

を満みたすもの全体ぜんたいの成なす空間くうかんとして $H i$ たちのヒルベルト空間くうかんの直ちょく和わを定義ていぎすることもできる。このとき、そのような函数かんすう $α あるふぁ$ と $β べーた$ の内積ないせきは

\langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle

で与あたえられる。この空間くうかんは完備かんびであり、確たしかにヒルベルト空間くうかんが得えられている。

例たとえば、添字そえじ集合しゅうごうを $I = N$ にとり $X i = R$ とすれば、直和なおかず $\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbf {N} }X_{i}$ はノルム $‖ a ‖ ≔ \sqrt \sum i | a i |$ が有限ゆうげんとなる実じつ数列すうれつ $(a i)$ 全体ぜんたいの成なす空間くうかん $l 2$ である。これをバナッハ空間くうかんの例れいと比くらべると、バナッハ空間くうかんの直和なおかずとヒルベルト空間くうかんの直和なおかずは必かならずしも同おなじではないことがわかる。しかし有限ゆうげん個この成分せいぶんしかないならば、バナッハ空間くうかんの直和なおかずはヒルベルト空間くうかんの直和なおかずと同型どうけいである（ノルムは異ことなるかもしれないが）。

すべてのヒルベルト空間くうかんは基礎きそ体たい（R か C）の十じゅう分ふんたくさんのコピーの直和なおかずに同型どうけいである。これはすべてのヒルベルト空間くうかんは正規せいき直交ちょっこう基底きていをもつという主張しゅちょうと同値どうちである。より一般いっぱんに、ヒルベルト空間くうかんの任意にんいの閉部分ぶぶん空間くうかんは補ほ空間くうかんをもつ（とくに直交ちょっこう補ほ空間くうかんがとれる）。逆ぎゃくに、リンデンシュトラウス–ツァフリーリの定理ていり（英語えいご版ばん）の述のべるとおり、与あたえられたバナッハ空間くうかんの任意にんいの閉部分ぶぶん空間くうかんが補ほ空間くうかんを持もつならば、そのバナッハ空間くうかんは（位相いそう的てきに）ヒルベルト空間くうかんに同型どうけいである。

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

^ Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. pp. 4–5. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016

Iain T. Adamson (1972), Elementary rings and modules, University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3
Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
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Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999), Algebra, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2 .

[1] Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. pp. 4–5. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016

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