本質ほんしつ的てき上限じょうげんと本質ほんしつ的てき下限かげん

数学すうがくにおける本質ほんしつ的てき上限じょうげん（ほんしつてきじょうげん、英えい: essential supremum）と本質ほんしつ的てき下限かげん（ほんしつてきかげん、英えい: essential infimum）の概念がいねんは、上限じょうげんと下限かげんの概念がいねんと関連かんれんするものであるが、測度そくど論ろんにおいては前者ぜんしゃの方ほうがより意義いぎ深ふかいものとなる。なぜならば測度そくど論ろんにおいては、ある集合しゅうごうのすべての元もとに対たいしては有効ゆうこうではないが、ほとんどすべての元もとに対たいして、すなわち測度そくど 0 の集合しゅうごうに含ふくまれないすべての元もとに対たいして有効ゆうこうとなるような議論ぎろんが行おこなわれるからである。

(X, Σしぐま, μみゅー) を測度そくど空間くうかんとし、f: X → R を必かならずしも可か測はかではない X 上うえの実じつ数値すうち函数かんすうとする。ある実数じっすう a が f の上うえ界かいであるとは、X 内うちのすべての x に対たいして f(x) ≤ a が成立せいりつすること、すなわち、集合しゅうごう

{x ∈ X  |  f(x) > a}

が空そらであることを言いう。それと比くらべて、a が本質ほんしつ的てき上うえ界かいであるとは、集合しゅうごう

{x ∈ X  |  f(x) > a}

が測度そくど 0 の集合しゅうごうに含ふくまれることを言いう。すなわち、X 内うちのほとんどすべての x に対たいして f(x) ≤ a が成立せいりつすることを言いう。すると、最小さいしょうの上うえ界かいとして f の上限じょうげんが定義ていぎされるように、本質ほんしつ的てき上限じょうげんは、最小さいしょうの本質ほんしつ的てき上うえ界かいとして定義ていぎされる。

より正式せいしきに言いうと、f の本質ほんしつ的てき上限じょうげん ess sup f は、その本質ほんしつ的てき上うえ界かいの集合しゅうごう {a ∈ R } が空そらでないときには

ess sup f = inf {a ∈ R  |  μみゅー({x  |  f(x) > a}) = 0}

で定義ていぎされ、空そらであるときには ess sup f = ∞ で定義ていぎされる。

全まったく同様どうように、本質ほんしつ的てき下限かげんは最大さいだいの本質ほんしつ的てき下界げかいとして定義ていぎされる。すなわち、本質ほんしつ的てき下界げかいの集合しゅうごうが空そらでないときには

ess inf f = sup {b ∈ R  |  μみゅー({x  |  f(x) < b}) = 0}

で定義ていぎされ、空そらであるときには ess inf f = −∞ で定義ていぎされる。

例れい

実数じっすう直線ちょくせん上じょうのルベーグ測度そくどと、それに対応たいおうする σしぐま-代数だいすう Σしぐま を考かんがえる。函数かんすう f を

$f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}$

で定義ていぎする。この函数かんすうの上限じょうげん（最大さいだい値ち）は 5 であり、下限かげん（最小さいしょう値ち）は −4 である。しかし、それらの値ねは測度そくどゼロの集合しゅうごう {1} および {−1} の上うえでしか取とられない。その他たのすべての集合しゅうごう上じょうでは、この函数かんすうの値ねは 2 である。したがって、この函数かんすうの本質ほんしつ的てき上限じょうげんと本質ほんしつ的てき下限かげんは、ともに 2 である。

別べつの例れいとして、次つぎの函数かんすう

$f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}$

を考かんがえる。ここで Q は有理数ゆうりすうの集合しゅうごうを表あらわす。この函数かんすうは上下じょうげともに非ひ有界ゆうかいであるため、その上限じょうげんと下限かげんはそれぞれ ∞ と −∞ になる。しかし、ルベーグ測度そくどの観点かんてんからすると、有理数ゆうりすうの集合しゅうごうは測度そくど 0 である。したがって、本当ほんとうに重要じゅうようなのはその集合しゅうごうの補ほ集合しゅうごう上じょうで起おこっていることである。そこでの値ねは arctan x となっているため、この函数かんすうの本質ほんしつ的てき上限じょうげんは πぱい / 2 であり、本質ほんしつ的てき下限かげんは −πぱい / 2 である。

最後さいごに、すべての実数じっすう x に対たいして定義ていぎされる函数かんすう f(x) = x³ を考かんがえる。その本質ほんしつ的てき上限じょうげんは ∞ であり、本質ほんしつ的てき下限かげんは −∞ である。

性質せいしつ

• inf f ≤ lim inf f ≤ ess inf f ≤ ess sup f ≤ lim sup f ≤ sup f
• ess sup (fg) ≤ (ess sup f)(ess sup g)（但ただし右辺うへんの2つの項こうがいずれも非負ひふであるとき）

参考さんこう文献ぶんけん

この記事きじは、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示ひょうじ-継承けいしょう 3.0 非ひ移植いしょくのもと提供ていきょうされているオンライン数学すうがく辞典じてん『PlanetMath』の項目こうもくEssential supremumの本文ほんぶんを含ふくむ