出典 しゅってん 列挙 れっきょ 脚注 きゃくちゅう 用 もち どの記述 きじゅつ 情報 じょうほう 源 げん 明記 めいき してください。記事 きじ 信頼 しんらい 性 せい 向上 こうじょう 協力 きょうりょく 願 ねが （2019年 ねん 月 がつ ）
A が B の部分 ぶぶん 集合 しゅうごう A の測度 そくど B と等 ひと 小 ちい 空 そら 集合 しゅうごう 測度 そくど 0 でなければならない。測度 そくど 論 ろん 英 えい measure theory 数学 すうがく 実 じつ 解析 かいせき 一 いち 分野 ぶんや 測度 そくど 関連 かんれん 概念 がいねん 完全 かんぜん 加法 かほう 族 ぞく 可 か 測 はか 関数 かんすう 積分 せきぶん 等 ひとし 研究 けんきゅう 測度 そくど 英 えい measure 面積 めんせき 体積 たいせき 個数 こすう 大 おお 関 かん 概念 がいねん 精緻 せいち 化 か 一般 いっぱん 化 か 知 し 積分 せきぶん 面積 めんせき 関係 かんけい 積分 せきぶん 厳密 げんみつ ルベーグ積分 せきぶん ）も測度 そくど 論 ろん 基盤 きばん 定式 ていしき 化 か 研究 けんきゅう [1]
また、測度 そくど 概念 がいねん 確 かく 率 りつ 数学 すうがく 的 てき 定式 ていしき 化 か 際 さい 用 もち コルモゴロフの公理 こうり ）、確率 かくりつ 論 ろん 統計 とうけい 学 がく 測度 そくど 論 ろん 重要 じゅうよう サイコロの目 め 偶数 ぐうすう 確 かく 率 りつ 」は目 め 事象 じしょう 集合 しゅうごう 中 なか 分 ぶん 大 おお 持 も 測度 そくど 概念 がいねん 記述 きじゅつ
与 あた 集合 しゅうごう 上 じょう 測度 そくど 段階 だんかい 定義 ていぎ 集合 しゅうごう 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 測度 そくど 定義 ていぎ 可能 かのう 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 決 き 次 つぎ 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 対 たい 具体 ぐたい 的 てき 測度 そくど 定義 ていぎ 測度 そくど 定義 ていぎ 形式 けいしき 的 てき 与 あた 要件 ようけん 空 そら 集合 しゅうごう 測度 そくど 0 であることと、n 個 こ 互 たが 素 そ 集合 しゅうごう 測度 そくど 和 わ 集合 しゅうごう 和 わ 集合 しゅうごう 測度 そくど 一致 いっち 前述 ぜんじゅつ 面積 めんせき 体積 たいせき 個数 こすう 測度 そくど 容易 ようい 確 たし
重要 じゅうよう 上 うえ 定義 ていぎ n が可算 かさん 個 こ 測度 そくど 論 ろん 積分 せきぶん 定義 ていぎ ルベーグ積分 せきぶん ）を従来 じゅうらい 定義 ていぎ リーマン積分 せきぶん ）よりも使 つか 易 やす 前者 ぜんしゃ 適切 てきせつ 条件 じょうけん 積分 せきぶん 可算 かさん 和 わ 順番 じゅんばん 交換 こうかん 保証 ほしょう 有界 ゆうかい 収束 しゅうそく 定理 ていり 後者 こうしゃ 場合 ばあい 同 おな 条件下 じょうけんか 種 たね 交換 こうかん 有限 ゆうげん 和 わ 保証 ほしょう
この測度 そくど 概念 がいねん 測度 そくど 定義 ていぎ 集合 しゅうごう 存在 そんざい 知 し 例 たと
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
上 うえ 測度 そくど 面積 めんせき 考 かんが 場合 ばあい 面積 めんせき 定義 ていぎ 集合 しゅうごう 存在 そんざい 面積 めんせき 定義 ていぎ 集合 しゅうごう 通常 つうじょう 方法 ほうほう 作 つく 集合 しゅうごう 作 つく 選択 せんたく 公理 こうり 必要 ひつよう 知 し 面積 めんせき 定義 ていぎ 集合 しゅうごう 事実 じじつ
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
上 うえ 測度 そくど 論 ろん 展開 てんかい 上 じょう 障害 しょうがい 面積 めんせき 定義 ていぎ 集合 しゅうごう 存在 そんざい 利用 りよう 非常 ひじょう 不可解 ふかかい 性質 せいしつ 導 みちび 知 し バナッハ＝タルスキーのパラドックス ）。
歴史 れきし 的 てき 微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく 扱 あつか 素朴 そぼく 意味 いみ 体積 たいせき 一般 いっぱん 多次元 たじげん 体積 たいせき リーマン積分 せきぶん を用 もち 表 あらわ 有限 ゆうげん 加法 かほう 的 てき 1902年 ねん 、アンリ・ルベーグ は彼 かれ 学位 がくい 論文 ろんぶん 積分 せきぶん 長 なが 体積 たいせき Intégrale, longueur, aire 測度 そくど 概念 がいねん 確立 かくりつ 新 あら 定義 ていぎ 体積 たいせき 完全 かんぜん 加法 かほう 的 てき 積極 せっきょく 的 てき 要求 ようきゅう 極限 きょくげん 概念 がいねん 親和 しんわ 性 せい 高 たか 積分 せきぶん 測度 そくど 場合 ばあい 多 おお 集合 しゅうごう 体積 たいせき 定義 ていぎ 可能 かのう 測度 そくど 論 ろん 始 はじ
形式 けいしき 的 てき 定義 ていぎ [ 編集 へんしゅう ] 形式 けいしき 的 てき 集合 しゅうごう X の部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 完全 かんぜん 加法 かほう 族 ぞく A 上 うえ 定義 ていぎ 可算 かさん 加法 かほう 的 てき 測度 そくど μ みゅー 拡張 かくちょう 区間 くかん [0, ∞] に値 ね 持 も 無限 むげん 大 だい 許 ゆる 非負 ひふ 値 ち 関数 かんすう 次 つぎ 性質 せいしつ 満 み
空 そら 集合 しゅうごう 測度 そくど 0 である。
μ みゅー (
∅
)
=
0.
{\displaystyle \mu (\emptyset )=0.}
完全 かんぜん 加法 かほう 性 せい 可算 かさん 加法 かほう 性 せい E 1 , E 2 , E 3 , ...どの二 ふた 互 たが 共通 きょうつう 部分 ぶぶん 持 も A 属 ぞく 集合 しゅうごう 列 れつ
μ みゅー
(
⋃
i
E
i
)
=
∑
i
μ みゅー (
E
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i}E_{i}\right)=\sum _{i}\mu (E_{i})}
A 元 もと 可 か 測 はか 集合 しゅうごう measurable sets 呼 よ 数学 すうがく 的 てき 構造 こうぞう (X , A , μ みゅー は 測度 そくど 空間 くうかん measure space 呼 よ 次 つぎ 性質 せいしつ 上 うえ 定義 ていぎ 導 みちび
単調 たんちょう 性 せい E 1 E 2 可 か 測 はか 集合 しゅうごう E 1 ⊆ E 2 満 み
μ みゅー (
E
1
)
≤
μ みゅー (
E
2
)
{\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}
E 1 , E 2 , E 3 , ...可 か 測 はか 集合 しゅうごう 列 れつ 各 かく n において En ⊆ E n +1En たちの和 わ 集合 しゅうごう 可 か 測 はか
μ みゅー
(
⋃
i
E
i
)
=
lim
i
μ みゅー (
E
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i}E_{i}\right)=\lim _{i}\mu (E_{i})}
E 1 , E 2 , E 3 , ...可 か 測 はか 集合 しゅうごう 列 れつ 各 かく n において En ⊇ E n +1En たちの共通 きょうつう 部分 ぶぶん 可 か 測 はか 少 すく n について En の測度 そくど 有限 ゆうげん 値 ち
μ みゅー
(
⋂
i
E
i
)
=
lim
i
μ みゅー (
E
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i}E_{i}\right)=\lim _{i}\mu (E_{i})}
σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど [ 編集 へんしゅう ] 測度 そくど 空間 くうかん Ω おめが 有限 ゆうげん μ みゅー Ω おめが 有限 ゆうげん 値 ち Ω おめが 測度 そくど 有限 ゆうげん 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 可算 かさん 和 わ 表 あらわ Ω おめが σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 空間 くうかん 属 ぞく 集合 しゅうごう 測度 そくど 有限 ゆうげん 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 可算 かさん 和 やわ σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 持 も
例 たと 実数 じっすう 全体 ぜんたい 集合 しゅうごう 標準 ひょうじゅん ルベーグ測度 そくど を考 かんが 測度 そくど 空間 くうかん σ しぐま 有限 ゆうげん 有限 ゆうげん 実際 じっさい 任意 にんい 整数 せいすう k に対 たい 閉区間 あいだ [k , k + 1] を考 かんが 可算 かさん 個 こ 測度 そくど 1 であって、和 わ 集合 しゅうごう 考 かんが 実数 じっすう 直線 ちょくせん 尽 つ
対 たい 実数 じっすう 全体 ぜんたい 集合 しゅうごう 数 かぞ 上 あ 測度 そくど 考 かんが 実数 じっすう 有限 ゆうげん 集合 しゅうごう 集合 しゅうごう 入 はい 点 てん 数 かず 対応 たいおう 測度 そくど 空間 くうかん σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 有限 ゆうげん 集合 しゅうごう 有限 ゆうげん 個 こ 点 てん 持 も 可算 かさん 個 こ 和 わ 集合 しゅうごう 高々 たかだか 可算 かさん 非 ひ 可算 かさん 集合 しゅうごう 数 すう 直線 ちょくせん 被覆 ひふく 尽 つ
σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 空間 くうかん 非常 ひじょう 性質 せいしつ 持 も σ しぐま 有限 ゆうげん 性 せい 位相 いそう 空間 くうかん 可分 かぶん 性 せい
可 か 測 はか 集合 しゅうごう S が μ みゅー S ) = 0零 れい 集合 しゅうごう null set 測度 そくど μ みゅー 完備 かんび complete 零 れい 集合 しゅうごう 全 すべ 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 可 か 測 はか 自動的 じどうてき 零 れい 集合 しゅうごう 自身 じしん 可 か 測 はか
測度 そくど 完備 かんび 測度 そくど 拡張 かくちょう 簡単 かんたん 単純 たんじゅん 可 か 測 はか 集合 しゅうごう S と零 れい 集合 しゅうごう 分 ぶん 異 こと 集合 しゅうごう S' たち（すなわち、そのような S と S' の対称 たいしょう 差 さ 零 れい 集合 しゅうごう 合 あ 成 な 完全 かんぜん 加法 かほう 族 ぞく 考 かんが
零 れい 測度 そくど 全 すべ 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 対 たい μ みゅー S ) = 0測度 そくど 以下 いか 重要 じゅうよう 測度 そくど 掲 かか
目的 もくてき 測度 そくど 値域 ちいき 非負 ひふ 実数 じっすう 無限 むげん 大 だい 制限 せいげん 有用 ゆうよう 可算 かさん 加法 かほう 的 てき 集合 しゅうごう 関数 かんすう 負 ふ 符号 ふごう 許 ゆる 実数 じっすう 値 ね 符号 ふごう 付 づけ 測度 そくど 呼 よ 同様 どうよう 関数 かんすう 複素数 ふくそすう 値 ね 複素 ふくそ 測度 そくど 呼 よ バナッハ空間 くうかん に値 ね 測度 そくど スペクトル測度 そくど (spectral measure 呼 よ 主 おも 関数 かんすう 解析 かいせき 学 がく スペクトル定理 ていり (spectral theorem ) などに用 もち 一般 いっぱん 化 か 測度 そくど 区別 くべつ 通常 つうじょう 測度 そくど 正 せい 値 ち 測度 そくど 呼 よ
ほかの一般 いっぱん 化 か 有限 ゆうげん 加法 かほう 的 てき 測度 そくど premeasure 完全 かんぜん 加法 かほう 性 せい 代 か 有限 ゆうげん 加法 かほう 性 せい 課 か 除 のぞ 測度 そくど 同 おな 歴史 れきし 的 てき 定義 ていぎ 方 ほう 先 さき 使 つか 有用 ゆうよう 証明 しょうめい
ハドヴィガーの定理 ていり (Hadwiger's theorem ) として知 し 積分 せきぶん 幾何 きか 学 がく 注目 ちゅうもく 結果 けっか R n 凸 とつ 集合 しゅうごう 有限 ゆうげん 和 わ 上 うえ 定義 ていぎ 平行 へいこう 移動 いどう 不変 ふへん 有限 ゆうげん 加法 かほう 的 てき 必 かなら 非負 ひふ 集合 しゅうごう 関数 かんすう 空間 くうかん 倍 ばい 違 ちが 除 のぞ 各 かく k = 0, 1, 2, ..., n 対 たい 次数 じすう k の斉 ひとし 次 つぎ 測度 そくど 測度 そくど 線型 せんけい 結合 けつごう 次数 じすう k の斉 ひとし 次 つぎ 任意 にんい 集合 しゅうごう c > 0倍 ばい 測度 そくど ck 倍 ばい 次数 じすう n の斉 ひとし 次 つぎ 測度 そくど 通常 つうじょう n 次元 じげん 体積 たいせき 次数 じすう n − 1斉 ひとし 次 つぎ 測度 そくど 表面積 ひょうめんせき 次数 じすう 1 の斉 ひとし 次 つぎ 測度 そくど 平均 へいきん 幅 はば 誤 あやま 称 しょう 不思議 ふしぎ 関数 かんすう 次数 じすう 0 の斉 ひとし 次 つぎ 測度 そくど オイラー標 しるべ 数 すう である。
P. Halmos (1950). Measure theory . D. van Nostrand and Co. M. E. Munroe (1953). Introduction to Measure and Integration . Addison Wesley 
