ノルム (体からだ論ろん)

体からだ論ろんにおいて、ノルム (norm) は、体からだの拡大かくだい（とくにガロア拡大かくだいなどの代数だいすう拡大かくだい）に付随ふずいして現あらわれる写像しゃぞうの一種いっしゅで、拡大かくだい体たいの元もとをもとの体からだの元もとに移うつす性質せいしつを持もつ。

定義ていぎ

体からだの有限ゆうげん次元じげん拡大かくだい L / K に対たいし、L の元もと αあるふぁ のノルム N_L/K(αあるふぁ) は以下いかのように定義ていぎされる。

K の L を含ふくむ代数だいすう閉包へいほう K^a を固定こていし、σしぐま_i : L → K ^a (1 ≤ i ≤ n) を K の元もとを固定こていする相そう異ことなる中なかへの同型どうけいの全体ぜんたいとするとき

$N_{L/K}(\alpha ):=\left(\sigma _{1}(\alpha )\cdots \sigma _{n}(\alpha )\right)^{[L:K]_{i}}$:

ここで、[L:K]_i は非ひ分離ぶんり次数じすうである。

例れい

L を複素数ふくそすう体たい C, K を実数じっすう体たい R とすると、R の代数だいすう閉包へいほうは C であり、R を固定こていする C の自己じこ同型どうけいは恒等こうとう写像しゃぞうと複素ふくそ共役きょうやくをとる写像しゃぞうの 2 つであるから、任意にんいの複素数ふくそすう αあるふぁ = a + ibに対たいして

$N_{\mathbb {C/R} }(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=|\alpha |^{2}=a^{2}+b^{2}$

が拡大かくだい C / R に関かんする αあるふぁ のノルムである。

性質せいしつ

• 拡大かくだい L / K について、L の任意にんいの元もと αあるふぁ に対たいし、N_L/K(αあるふぁ) は K の元もとになる。
• 拡大かくだい L / K と L の元もと αあるふぁ, βべーた に対たいし

$N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )\cdot N_{L/K}(\beta ).$

• 拡大かくだいの列れつ L / M / K と L の元もと αあるふぁ に対たいし

$N_{L/K}(\alpha )=N_{M/K}(N_{L/M}(\alpha )).$

• 拡大かくだい L / K について L を K-ベクトル空間くうかんと見みると αあるふぁ∈L に対たいしαあるふぁ倍ばい写像しゃぞう：L → L は K-線型せんけい写像しゃぞうであるが、この写像しゃぞうを行列ぎょうれつ表示ひょうじしたときの行列ぎょうれつ式しきは体からだの拡大かくだいのノルムと一致いっちする。
• ヒルベルトの定理ていり90: 体からだの拡大かくだい L / K が有限ゆうげん次じ巡回じゅんかい拡大かくだいでそのガロア群ぐんが σしぐま で生成せいせいされるとき、以下いかの 2 つの条件じょうけんが同値どうちである。
  1. N_L/K(αあるふぁ) = 1.
  2. αあるふぁ = βべーた / σしぐま(βべーた) を満みたす L の元もと βべーた が存在そんざいする。

一般いっぱん化か

有限ゆうげん群ぐん G と G 上うえの加か群ぐん M に対たいして、写像しゃぞう

$N_{G}:M\to M;\,x\mapsto \sum _{g\in G}gx$

を G-加か群ぐん M のノルム写像しゃぞうという。x の "ノルム"

$\sum _{g\in G}gx$

は G の作用さように対たいして不変ふへんである。すなわち、M の G-不変ふへんな元もと全体ぜんたいのなす部分ぶぶん加か群ぐんを M^G とあらわすと Im(N_G) ⊂ M^G が成なり立たつ。

ガロア拡大かくだい L / K に対たいして、乗法じょうほう群ぐん L^* をガロア群ぐん G = Gal(L / K) 上じょうの加か群ぐんと見みなすとノルム写像しゃぞう N_G は拡大かくだいのノルム N_L/K となる。

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